药学高数15有理函数与简单无理函数的积分ppt课件

1、 第四节第四节 有理函数与有理函数与 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 二、简单无理函数的积分二、简单无理函数的积分 一、有理函数的积分一、有理函数的积分 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：具有如下形式：其中其中 n , m 为非负整数为非负整数 , a0 , a1 , , an 和和 b0 , b1 , , bm 都是实数，且都是实数，且 a00 , b00 。 假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式10111011( )( )nnnnmmmma xa xaxaP

2、xQ xb xb xbxb,) 1 (mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式。这有理函数是假分式。 定理定理: 如果真分式的分母可分解为两个因式如果真分式的分母可分解为两个因式 Q(x) 与与 R(x)的乘积的乘积, 则此真分式等于两个部分分式之和则此真分式等于两个部分分式之和 (1) 如果分母的因式中含有单因子如果分母的因式中含有单因子 x-a , 则部分分式则部分分式中含有中含有 的项，其中的项，其中 A 为待定常数。为待定常数。 例例12( )( )( )( ) ( )( )( )P xP xP xQ x R xQ xR x321021022(1)

3、(2)12xxABCxxxx xxxxxAxa (2) 分母中含有因子分母中含有因子 (x-a)k (k 1), 则部分分式中含有则部分分式中含有其中其中 A1 , A2 , ，Ak 为待定常数。为待定常数。 例例 (3) 如果分母的因式中含有如果分母的因式中含有 x2+px+q, 则部分分式中则部分分式中含含有有其中其中 p2-4q 1) ,那么那么其中其中, p2-4q 0 , Ai , Bi ( i=1,2, ,s )为待定常数。为待定常数。 例例 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要同时要把上面的待定的常数确定把上面的待定的常数确定,这种

4、方法叫待定系数法。这种方法叫待定系数法。11222222()()sssA xBA xBA xBxpxqxpxqxpxq2222222(1)(1)11(1)xABxCDxExxxxx 例例3-40 求求 解解 由于由于所以所以2132dxxx2111132(1)(2)21xxxxxx2132dxxx11()21dxxxln2ln1xxC 1121dxdxxx 例例3-41 把真分式把真分式 化为部分分式之和。化为部分分式之和。 解解 方法一：令方法一：令两边去分母后，得两边去分母后，得即即比较两端系数，得比较两端系数，得222(1) (1)xxx22222(1) (1)1(1)1xABCxDxx

5、xxx2222(1)(1)(1)()(1)xA xxB xCxD x322()(2 )(2)xAC xBADC xADC xBAD020220ACBADCADCBAD0,1,0,1ABCD 2222211(1) (1)(1)1xxxxx 方法二：令方法二：令两边去分母后，得两边去分母后，得 取取 x=1 得：得：B=1；取；取 x=0 得：得：-A+1+D=0；取；取 x=-1得：得：-4A+2+4D-4C=-2；取；取 x=2 得：得：5A+5+2C+D=2，得方程组得方程组解得解得所以所以22222(1) (1)1(1)1xABCxDxxxxx2222(1)(1)(1)()(1)xA xx

6、B xCxD x11523ADADCACD 0,1,0,1ABCD 2222211(1) (1)(1)1xxxxx 例例3-42 求求 解解 由例子由例子3-41 的结果，得的结果，得222(1) (1)xdxxx2222211(1) (1)(1)1xxxxx222(1) (1)xdxxx2211(1)1dxxx2211(1)(1)1d xdxxx1arctan1xCx 例例3-43 求求 解解 令令化去分母后化去分母后,得得令令 x=0 得得A=1 ; x=1 , x=2 , x=-1 , 代入上式代入上式,得得其中其中221(1)dxxxx22221(1)1ABCxDxxxxxxx2221

7、(1)(1)()A xxBx xxCxD x0342132BCDBCDBCD 1,1,0BCD 2222111(1)1xdxdxdxdxxxxxxxx1211dxCxx 21lndxxCx22121 1121xxdxdxxxxx 2221()1(1)1213212()24d xd xxxxx2221()1123ln12123()123dxxxx231121ln1arctan233xxxC222111121lnln1arctan(1)233xdxxxxCxxxx 二、简单无理函数的积分二、简单无理函数的积分 例例3-44 求求 解解 令令 ，那么，那么1 sinsin (1 cos )xdxxx

8、tan2xu 222arctan ,1xu dxduusin x222sincos22sincos22xxxx22tan21tan2xx221uucosx2222cossin22sincos22xxxx221tan21tan2xx2211uu1 sinsin (1 cos )xdxxx222222121211(1)11uuduuuuuu211tantanln tan42222xxxC11(2)2uduu21(2ln)22uuuC 例例3-45 求求 解解 令令 ，那么，那么 11xdxxx22212,1(1)uduxdxuu 11xdxxx2222(1)(1)uuuduu2221uduu 22

9、1 121uduu 212 (1)1duu 1xux12ln1uuCu 222ln1ln1uuuC 1122ln(1)lnxxxCxx 122(1)(1)uduuu 112()11uduuu 例例3-46 求求 解解 由于由于 , 令令 ,那么那么21(1)(1) 2dxxxxx 222(1)1xxxxx21xux222226,1(1)uuduxdxuu222211633(1)uuuduuu23du 23uC 2231xCx 21(1) 2dxxxx 应当指出由于初等函数在其定义域内连续应当指出由于初等函数在其定义域内连续 , 所以其所以其原函数存在原函数存在 , 但是有些初等函数的原函数却不能用初但是有些初等函数的原函数却不能用初等函数表示。例如：等函数表示。例如： 如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，称这个函数的不定积分称这个函数的不定积分“积不出来积不出来”。 注意：注意： 一个初等函数的不定积分一个初等函数的不定积分“积不出来积不出来”，并不是指，并不是指这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函数。数。23sin,1xxedxdxxdxx内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数有理函数分解分解多项式及部分分式之和多项式及部分分式之和