ch6 真空中的静电场 习题及答案

1、第 6章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为 q +和 q 2-的两个点电荷分别置于 1=x m 和 1-=x m 处。 一试验电荷置于 x 轴上何处,它受到的合力等于零?解:根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定, 只有试验电荷 0q 位 于点电荷 q +的右侧,它受到的合力才可能为 0,所以2002001(4 1(42-=+x qq x qq 故 23+=x2. 电量都是 q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点。试问:(1在这三角形 的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡 (即每个电荷受其他三个电 荷的库仑力之和都为零 ?(2这种平衡与三角形的边长有

2、无关系 ?解:(1 以 A 处点电荷为研究对象,由力平衡知, q '为负电荷,所以 20220 3(4130cos 412a q q a q '=故 q q 33-=' (2与三角形边长无关。3. 如图所示,半径为 R 、电荷线密度为 1的一个均匀带电圆环,在其轴线上放一长 为 l 、 电荷线密度为 2的均匀带电直线段, 该线段的一端处于圆环中心处。 求该直线段受 到的电场力。解:先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 dl dq 1=, dq 在带 电圆环轴线上 x 处产生的场强大小为(4220R x dqdE += 根据电荷分布的对称性知, 0=z y

3、 E E220(41cos R x xdqdE dE x +=式中:为 dq 到场点的连线与 x 轴负向的夹角。+=220(4dq R x xE x 2210 (24R x Rx+=2201 (2R x xR += 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取 dx dq 2=, dq 受到的电场力大小为dq E dF x =dx R x xR 22021 (2+=方向沿 x 轴正方向。直线段受到的电场力大小为=dF F R x xR l +=022021 (2 +-=2/12202111R l R R 2 方向沿 x 轴正方向。4. 一个半径为 R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为 。求: (1圆心

4、处 O 点的场强;(2将此带电半圆环弯成一个整圆后,圆心处 O 点场强。 解:(1在半圆环上取 Rd l dq =d ,它在 O 点产生场强大小为204R dq dE =d R04= ,方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知, 0=y E d RdE dE x sin 4sin 0=Rd R E x 0002sin 4=故 RE E x 02=,方向沿 x 轴正向。 (2当将此带电半圆环弯成一个整圆后,由电荷分布的对称性可知,圆心处电场强 度为零。5.如图所示,真空中一长为 L 的均匀带电细直杆,总电量为 q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的 P 点的电场强度。解:建立图示坐标系。在均

5、匀带电细直杆上取 dx Lqdx dq =, dq 在 P 点产生的场 强大小为202044xdxx dq dE =,方向沿 x 轴负方向。 故 P 点场强大小为 +=L d dP x dxdE E 204 L d d q+=04方向沿 x 轴负方向。6. 一半径为 R 的均匀带电半球面,其电荷面密度为 ,求球心处电场强度的大小。 解:建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加 原理求解。在半球面上取宽度为 dl 的细圆环, 其带电量 rdl dS dq 2=d R sin 22=, dq 在 O 点产生场强大小为 (参见教材中均匀带电圆环轴线 上的场强公式 220(

6、4r x xdq dE += ,方向沿 x 轴负方向利用几何关系, cos R x =, sin R r =统一积分变量, 得220(4r x xdq dE +=d R R R sin 2cos 41230= d cos sin 20=因为所有的细圆环在在 O 点产生的场强方向均沿为 x 轴负方向,所以球心处电场强度的 大小为=dE E d cos sin 22/0=4=方向沿 x 轴负方向。7. 一 “ 无限大 ” 平面, 中部有一半径为 R 的圆孔, 设平面上均匀带电, 电荷面密度为 , 如图所示。试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强。解:应用补偿法和场强叠加原理求解。若把

7、半径为 R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成,挖去圆孔的带电平面等效 为一个完整的 “ 无限大 ” 带电平面和一个电荷面密度为 -='的半径为 R 的带电圆盘, 由 场强叠加原理知, P 点的场强等效于 “ 无限大 ” 带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的 矢量和。“ 无限大 ” 带电平面在 P 点产生的场强大小为12=E ,方向沿 x 轴正方向 半径为 R 、 电荷面密度 -='的圆盘在 P 点产生的场强大小为 (参见教材中均匀带电圆 盘轴线上的场强公式022=E 1(22xR x +-,方向沿 x 轴负方向 故 P 点的场强大小为220212xR xE E E +=-=

8、方向沿 x 轴正方向。8. (1点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的 一个面的电场强度通量; (2如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过 立方体各面的电场强度通量是多少 ?解:(1由高斯定理 0d qS E s= 求解。立方体六个面,当 q 在立方体中心时,每个面上电通量相等,所以通过各面电通量为6qe = (2电荷在顶点时,将立方体延伸为边长 a 2的立方体,使 q 处于边长 a 2的立方体 中心,则通过边长 a 2的正方形各面的电通量 06q e =对于边长 a 的正方形,如果它不包含 q 所在的顶点,则 024qe =,如果它包含 q

9、 所 在顶点,则 0=e 。9. 两个无限大的平行平面都均匀带电, 电荷的面密度分别为 1和 2, 试求空间各处 场强。解:如图所示,电荷面密度为 1的平面产生的场强大小为12=E ,方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为 2的平面产生的场强大小为22=E ,方向垂直于该平面指向外侧 由场强叠加原理得两面之间, (2121021-=-=E E E ,方向垂直于平面向右 1面左侧, (2121021+=+=E E E ,方向垂直于平面向左 2面右侧, (2121021+=+=E E E ,方向垂直于平面向右 10. 如图所示,一球壳体的内外半径分别为 1R 和 2R ,电荷均匀地分布在壳体内,电

10、 荷体密度为 (0> 。试求各区域的电场强度分布。解 :电 场 具 有 球 对 称 分 布 , 以 r 为 半 径 作 同 心 球 面 为 高 斯 面 。 由 高 斯 定 理=iSqS d E 01 得i q r E =0214当 1R r <时, 0=i q ,所以 0=E当 21R r R <<时, 3434(313R r q i -=,所以203133(r R r E -= 21当 2R r >时, 3434(3132R R q i -=,所以2031323(rR R E -= 11. 有两个均匀带电的同心带电球面,半径分别为 1R 和 2R (12R R

11、> ,若大球面的 面电荷密度为 ,且大球面外的电场强度为零。求:(1小球面上的面电荷密度; (2 大球面内各点的电场强度。解 :(1电场具有球对称分布,以 r 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理=iSqS d E 01 得i q r E =0214当 2R r >时, 0=E , 0442122='+=R R q i ,所以212 R R (-=' (2当 1R r <时, 0=i q ,所以 0=E当 21R r R <<时, 222144R R q i -='=,所以22r R E (-= 负号表示场强方向沿径向指向球心。12. 一厚

12、度为 d 的无限大的带电平板, 平板内均匀带电, 其体电荷密度为 , 求板内 外的场强。解:电场分布具有面对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆柱面与平板垂直,设两底面圆到平板中心的距离均为 x , 底面圆的面积为 S 。 由高斯定理 =iSqS d E 01 得=SS d E i q S E S E =+010 当 2dx <时(平板内部 , S x q i =2,所以 0x E =当 2dx >(平板外部 , S d q i =,所以 02d E =13. 半径为 R 的无限长直圆柱体均匀带电,体电荷密度为 ,求其场强分布。 解:电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面为高斯面,圆

13、柱面高为 l ,底面圆半 径为 r ,应用高斯定理求解。i Sq rl E S E =012d (1 当 R r <时,l r qi2=,所以2r E =(2 当 R r >时, l R q i 2=,所以rR E 022=14. 一半径为 R 的均匀带电圆盘,电荷面密度为 ,设无穷远处为电势零点,求圆盘 中心 O 点的电势。解:取半径为 r 、 dr 的细圆环 rdr dS dq 2=,则 dq 在 O 点产生的电势为024drrdq dV =圆盘中心 O 点的电势为dV V R =00202R=15. 真空中两个半径都为 R 的共轴圆环,相距为 l 。两圆环均匀带电,电荷线密度

14、分 别是 +和 -。 取两环的轴线为 x 轴, 坐标原点 O 离两环中心的距离均为 2l, 如图所示。 求 x 轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。解:在右边带电圆环上取 dq ,它在 x 轴上任一点 P 产生的的电势为220 2/(4Rl x dqdV +-=右边带电圆环在 P 产生的的电势为+-=+dq Rl x dV V 220 2/(41 220 2/(2Rl x R+-=同理,左边带电圆环在 P 产生的电势为220 2/(2Rl x RV +-=-由电势叠加原理知, P 的电势为02R V V V =+=-+-+-22 2/(1(R l x 2/(122Rl x +16. 真空中

15、一半径为 R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷, 该区域内a 点离球心的距离为 R 31, b 点离球心的距离为 R 32。求 a 、 b 两点间的电势差 ab U解:电场分布具有轴对称性,以 O 为球心、作半径为 r 的同心球面为高斯面。由高斯定理 =iSqS d E 01 得当 R r <时, 3023414r r E = ,所以 03r E =a 、 b 两点间的电势差为=b aab r d E U 0203/23/183R dr r R R = 17.细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成,其半径分别为 a 和 a 3,两圆柱 面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面

16、之间的电势差为 U 。求: (1内圆柱面上单位长度所带的电量 ; (2在离轴线距离 a r 2=处的电场强度大小。 解:(1电场分布具有轴对称性,取同轴闭合圆柱面 为高斯面,圆柱面高为 l ,底面圆半径为 r ,应用高斯定理 求解。i Sq rl E S E =012d 内、外两圆柱面之间, l q i =,所以rE 02=内、外两圆柱面之间的电势差为dr r r d E U a aa a=3032 3ln 20= 内圆柱面上单位长度所带的电量为3ln 20U =(2将 代人场强大小的表达式得, 3ln r UE = 在离轴线距离 a r 2=处的电场强度大小为3ln 2a UE =18. 如

17、图所示,在 A , B 两点处放有电量分别为 +q ,-q 的点电荷, AB 间距离为 R 2, 现将另一正试验点电荷 0q 从 O 点经过半圆弧移到 C 点,求移动过程中电场力作的功。解:O 点的电势为Rq V O 04=040=-+Rq C 点的电势为Rq V C 340=R q 04-+Rq06-= 电场力作的功为Rqq V V q A o C O 006 (=-= 19.如图所示,均匀带电的细圆环半径为 R ,所带电量为 Q (0>Q ,圆环的圆心 为 O ,一质量为 m ,带电量为 q (0>q 的粒子位于圆环轴线上的 P 点处, P 点离 O 点 的距离为 d 。求:(1粒子所受的电场力 F的大小和方向;(2 该带电粒子在电场力 F的作用下从 P 点由静止开始沿轴线