第五节曲面及其方程ppt课件

1、水桶的表面、台灯的罩面等水桶的表面、台灯的罩面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹迹曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念m,X Y Z曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形xyzOS0),(

2、zyxF以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建立球心在点建立球心在点),(0000zyxM、半径为、半径为R的球面方程的球面方程. 解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解解解设设),(zy

3、xM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为0423222 yxzyx：方方程程例例表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？5)2()1(222 zyx解：配方的的球球面面、半半径径为为球球心心在在点点5)0 , 2, 1( 研究空间曲面有两个基本问题：研究空间曲面有两个基本问题：（1 1已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程讨论旋转曲面讨论旋转曲面（2 2已知坐标间的关系式，研究曲面形状已知坐标间的关系式，研究曲面形状讨论柱面、二次曲面讨论柱面、

4、二次曲面zxyo* *例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz)1(1)2()1(22 zzyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底c二、旋转曲面二、旋转曲面由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面周所成的曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫做旋这条定直线叫做旋转曲面的轴转曲面的轴. .xozy0),( zyf), 0(111zyM

5、 M),(zyxM设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd 0,22 zyxf同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22 zxyf平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。变量的平方和的正负平方根。 0,22 zyxfxoy 面上的曲线面上的曲线C ：0),

6、( yxf绕绕X X轴轴 0,22 zyxf 绕绕Y轴轴 0,22 yzxfzox zox 面上的曲线面上的曲线C C ：0),( zxf绕绕X轴轴 0 , 22 zyxf绕绕Y轴轴 0,22 zyxfxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例例5 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转122222 czyax绕绕z轴旋转轴旋转122222 czayx绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴旋转轴旋转122

7、222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面定义定义:三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的移动的直线所形成的曲面称为柱面直线所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线，动直线叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线叫柱面的母线. .CLLC柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的特征从柱面方程看柱面的特征（其他类推）（其他类推）C0),( yxF实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 母线母线 / / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 母线母线 / / 轴轴zpzx2