江苏省徐州一中2019-2020学年高二第一次调研测试数学试题

1、江苏省徐州一中2019.2020学年高二第一次调研测试数学试题评卷人得分一、选择题1.本大题共12道小题。题号*"7*总分得分已知/*） = 108.«”>1）的导函数是/（幻，记A = /'（），B = f（a + l）-f（a）f C = f（a + 1）9 则A、B、C的大小关系为（）.A. C>B>AB. C>A>BC. B>A>CD. A>B>C2.,已知i是虚数单位，若（l + i）（l 一罚）= ，则;的值为（）bA. -B. 1C.2D.423.已知为双曲线的焦点，过F?垂直于实轴的直线交双曲线于

2、A，8两点交y轴于点C,若AC_L3Q, 则双曲线的离心率为（）A. 72 B. V? C. 2点 D. 2x/34.（多选题）已知四棱柱A8CO-49G5为正方体.则下列结论正确的是（）.A. +AQ + 4耳） =3A,8jB.辛（晒一平）=0C.向量4“与向量A月的夹角是120。D.正方体ABCD-A|BC的体积为府.羽而|5.“a > 1 ”是“函数/ （x） = av + co&v在（-8,+8）上单调递增”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.x 1已知函数/（x） = / , g（x）=卜万+万的图象分别与直线

3、）'="交于A、8两点，则AB的最小值为（）A. 2 + ln2B. 2-ln2c. 2 + 21n2D. 2-21n27.如图，在等腰H/A48C中，AB1AC, 8C = 2, M为8c的中点，N为AC的中点，。为线段上一个动点（异于两端点），钻。沿AD翻折至与点A在平面8。上的投影为点O,当点。在线段BM上运动时，以下说法不正确的是（）.A.线段NO为定长B. ZAMO + ZBDA>SO°C. CO （1,5/2）D.点0的轨迹是圆弧8.（多选题）如图所示，抛物线。：' = !/, A8为过焦点厂的弦，过A、8分别作抛物线的切线，两切线交于点M

4、，设3（4,%）,则下列结论正确的是（）.A.若A8的斜率为1,则I A31=6B.若AB的斜率为1,则5=2C点M恒在平行于x轴的直线y = -l上D.44的值随着A8斜率的变化而变化9.（多选题）下列结论正确的是（A. , Z2互为共轨复数”是"I石IT z21”的充分不必要条件B.如图，在复平面内，若复数&, 益对应的向量分别是次，OB，则复数4+ z?对应的点的坐标为（一2,0）1 QC.若函数/（为=于/一5/+办.+ 4恰在LL4上单调递减，则实数4的值为4D.函数= "= 在点（1,一2）处的切线方程为x-y 3 = 0 x10.为美化环境，从红、黄、

5、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A. -B. -C. -D.-323611.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A. 120B.240C. 360D. 48012.（多选题）已知函数./U）是定义在R上的奇函数，当X。时，f（x） = e-x（x-l）.则下列结论正确的是（）.A.当x<0时，f（x） = exx+）B.函数./U）有五个零点C.若关于x的方程/（工）=加有解，则实数，的取值范围是/（一2）

6、<?</（2）D.对“i/eR，|/（2）一/&）k2恒成立评卷人 得分一、填空题 本大题共5道小题。13.j2抛物线C1：y = -x2(p>0)的焦点与双曲线c?：二一 y2 = 1的右焦点的连线交G于第一象限的点 3M.若Ci在点M处的切线平行于Ci的一条渐近线，则双曲线Ci的渐近线方程为, p等于.14.在且z?的虚部是2；Z/二)J)：工二三，Z为Z的共筑复数.这三个条 2-i1+i件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答.注：选择不同条件，结果可能不同.已知i为虚数单位，复数z满足，设z, z" z-z?在复平而上的对应点分别为儿8、C,求ABC

7、的面积.15. pa |在平面上给定相异两点A&设P点在同一平而上且满足= %,当2>0且2壬1时，P点的轨迹是I rn I一个圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆丫2 ,2| 尸4 II +为椭圆的长轴端点，CO为椭圆的短轴端点，动点P满足前' = 2, 用BA9面积最大值为k ,PCQ面积最小值为；，则椭圆离心率为.3316.设集合4 = (玉,士，工3，巧，0X6，七),£一1，°，1，, = 1，2,3,4,5,6,7,那么集合A中满足条件“1引2|+同+冈+|x71K4”的元素个数为.17.已知函

8、数/(x) = 2/ 3x,若过点P 3,，)存在3条直线与曲线y = /(x)相切，求，的取值范围评卷人 得分二、解答题 本大题共5道小题。18.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这 两桥墩相距，米，”余下的工程“只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256 万元；距离为X米的相邻两墩之间的桥而工程费用为(2+J7)X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩 都视为点，且不考虑其他因素.记“余下工程''的费用为），万元.（1）试写出工程费用），关于X的函数关系式：（2）当?=640米时，需新建多少个桥墩才能

9、使工程费用y最小？并求出其最小值.19.如图，已知直三棱柱ABC-A山Ci中，AAX=AB = AC = , AB VAC, M, N,。分别是CG, BC, ac的中点，点尸在直线a山上运动，且A=/iAR（/tw0）.（D证明：无论义取何值，总有AA/_L平面PN。；（2）是否存在点P,使得平而尸MN与平面ABC的夹角为60。？若存在，试确定点尸的位置，若不存在， 请说明理由.20.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）

10、在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？（答题要求：先列式，后计算，结果用具体数字表示.）21.设函数/（力二6一2 -（1）若yu）在点（%/（,）处的切线为x0+方=。，求"、人的值：（2）求“X）的单调区间；（3）若=,求证：在0时,f（x）g（x）.22.椭圆C:二+二=1（。0）的左、右焦点分别是为，离心率为正，过F1且垂直于X轴的直线cr Zr2被椭圆。截得的线段长为L求椭圆C的方程:(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接尸与，PF?,设/石。鸟的角平分线交。的长轴于点M (机,0),求加的取值范围;(3)在的条件下，过点尸作斜率为*的直线/,使得/与椭圆c有

11、且只有一个公共点，设直线尸耳，PF,1 1的斜率分别为占，八，若心工0,证明H+才为定值，并求出这个定值.KK KKj试卷答案1.D【分析】对A,C利用导数的几何意义，再结合8 = J1的几何意义，问题转化为比较三条直线斜率大小，利用数形结合的方法即可得到结果.【详解】记M(aJ(a), N(a + l,/(a + l),则8=/m+i)_/m)=仆+：)=/(“),表示直线mn的斜率：(4 + 1)A = f'3表示函数/*)在X = 处的切线斜率；C = /'( +1)表示函数f(x)在x = a +1处的切线斜率.由图可知4>3>C.故选：D.【点睛】本题主要

12、考查导数的几何意义，属于中档题.【分析】将(l+i)(l-历)乘开后，利用两个复数相等的充要条件求出4, ，即可得到答案.【详解】由。+ i)(l-初) = ，得l + /? + (l-O)i = a, 一 0l + b = a9-=0解得a = 2, a, 所以7 = 2.b = l, b .故选：C.【点睛】本题主要考查复数乘法运算及两个复数相等的充要条件，属于基础题.3.BY V2b2b2【详解】不妨设双曲线方程为二一 1 = 1(>02>0) .由A8为双曲线的通径，则A(c,L) ,),QaaJ /1 -a(c, 0),由 OC为F】A8 中位线，得 10。|=土，则 C

13、 (0,-). 2a2a 3b2 b2. 3/则 AC = (c, )，8尸=(一2心一)，由 AUL3Q,则 AC8片=2/一一 = 0,整理得 3/=4R2. 2aa2cr由 =/，得 33-10"*+3/=0,则 3/101+3=0,解得/=3 或 2=；,由 e>l,贝 lje=#.答案B4.ABC【分析】建立空间直角坐标系求出各点坐标，对A、B选项只需再求出对应的向量坐标代入验证等式是否成立， 即可判断A、8正误；对C选项利用空间向量的夹角公式求出夹角，即可判断正误；对于。选项只需将 判断14月 /可 A£il是否等于体积即可.【详解】不妨设正方体的棱长为1

14、,以。4。反oqJ为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 。一不Z,则各点坐标为4(1,0,0), 8(1,1,0), C(0J0), 0(0,0,0),四(1,1,1), 2(0,0,1)因为9+； +隔=(0,0,1)+(-1,0,0)+(0,1,0) = (1,1,一1),所以(9+砺+丽)2=1乖+ m +丽 F=3；3 初=31 而 F=3x12=3.故A正确.因为* = (-1,L-D，福-m=AB： = (0,1,1),所以石(福一卒)=0+11 = 0.故B正确.因为 AA =(l,0,l), A月=(°，1，T)，所以月=0+01=-1，AD卜五，A*=应,所以

15、cosA£）i，A8> =-1 _ 1V2x>/22所以向量A。；与向量港的夹角是120。, 故C正确.因为A3J.AA，所以A夙A<=0,所以IA从4<45日07151=0故。错误.故选：ABC.【点睛】本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题.5 .A【分析】求出函数/（X）的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出。的取值范闱，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】/'(x) = a-shu，当时，/'(x)>0恒成立，即/(x)递增，但当 =1时，/'(x)>0恒成立，/(x)也递增，因此题中应是“充分不

16、必要条件”.故选A.6 .A【分析】由题意知4,8两点的纵坐标均为小，6始终在A的右侧，可得8(2jT,7)，"? >。，其中从而可将48用用表示，再构造函数并确定其单调性，即可求出A3的最小值.【详解】由题意可设A(ln?,?)，8(2'"")，其中2£*>lnm， 故 AB = 2e"'"-nnrx-A221设设 x) = 2e 2 -In x= = ex - In x(x > 0),则人'(x) = -7= ex - y/eJe x2因为y = 7 /在(0, +s)上单调递增，而y =

17、1在(0, +s)上单调递减，yjex故/。)在(0,+s)上单调递增，又'(！)=。，所以/«刈=。在(0,)上仅有一解.2由 '(x) =。解得 x = 1,2因为当 0<xL 时，hx) < 0 ：当 时，hx) > 0,22故/?(x)在(0,3上单调递减，在上单调递增，22所以当x = L时M(x)取得最小值2 + In 2.2故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.7.B【分析】作出翻折后的立体图形，可判断出A、C、D正确，即可得出答案.【详解】翻折后的立体图形，如图所示.对A,因为点A

18、在平面qco上的投影为点。，所以A。，平面BC。，又COu平而B。，所以AO_LCO,故A4OC为直角三角形，又N为斜边AC的中点，所以ON =，AC = 1为定长.2故A正确.对C,当。在M处时，此时点A在平面8。上的投影为点。与M重合，故co = l, 又在用AAOC中，OC<AC =叵、因为O为线段8H上一个动点（异于两端点）， 所以故C正确.对D,因为ON = ?AC = 1, N为AC的中点，所以点。的轨迹是圆弧.2故D正确.故选:B.【点睛】本题主要考查平面图形的翻折，意在考查空间想象和推理计算能力.8.BC【分析】根据心8=1及F（°，1）可求出直线A8的方程，然

19、后与抛物线联立消去x,利用根与系数的关系求出山+打，再利用抛物线中弦长公式|4回二山+为十，即求出IA8I长，判断A的正误；利用导数分 别求出切线的斜率并写出它们的方程，联立两个方程求出%三地,）=亨，再设 48方程为丁 =丘+ 1与抛物线方程联立，求出/+4，/，即可判断8、。、。的正误.【详解】由得/=4v，所以焦点坐标尸（0,1）, 4V X* | 对A,直线A3的方程为y = x + l,由'得y2_6y + l = 0,所以以+%=6, x = 4y,所以I AB 1=)% +)% + = 8 ： 故A错误.因为C: y = !/，所以J = 1 x ,则直线AM、3M的斜率

20、斜率分别为'4、-Xjf, 222一”2即ML 丁'所以/,w ：=；%内一以，/加：)'二：内一，y = 由.y =由题意知，直线A3的斜率存在，可设直线A8的方程为丁 =丘+ 1,v = Ax + l, .由( 1 ,消去了得工246一4 = 0，y = 一厂,U 4所以4+以=4攵，XA - xB =-4 ,故。错误.又 y.w = *;1= 一1,故 c 正确，对B,当AB的斜率为1时，4+4=4,故甘.=2 ,故。正确. 乙故选：BC.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，意在考查转化与化归能力、 运算求解能力及数形结合思想.9.

21、ABD【分析】利用充分条件和必要条件，即可判断A的正误：因为复数4+z?对应的坐标即为次+。豆的坐标，根据 图形求出)，砺坐标，即可判断8的正误；由函数f(x)恰在1,4上单调递减，可得- 1,4是 /'")=。的两根，利用根与系数的关系，即可求出。并判断C的正误：求出在点。，-2)处的切线 方程，即可判断。的正误.【详解】对A,设4=。+砥。力£我)，则Z2=一历，所以lzj=5/+上TZzI，故充分性成立: 当石=1, Z2=i,此时lzJ=IZ2l,但Z1, z?不互为共聊复数，故必要性不成立.所以“4 , zz互为共加复数”是“团=%|”的充分不必要条件.故

22、A正确.对凡 由图可知方=(一2,-1), 砺= (0,1),所以3+ Z历=(-2,0),故复数&+石对应的坐标为(2,0).故B正确.对C, ff(x) = x2-3x + a,因为函数/(x)恰在1,4上单调递减，所以f '(x) < 0的解集恰好是T,4,故- 1,4是方程/ 一3工+ = 0的两根，所以 “ =(一 l)x4 = -4.故C错误.对。，因为函数/。)=叫7,所以/'3)=上少， xr所以在x=i处切线斜率=广=i,故切线方程为y + 2 = x _ l,即x_y_3 = 0,故。正确.故选：ABD.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断

23、，复数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及在一点处切线方程的求法，考查基本知识的灵活运用.10.C试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其2中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为彳，选C.11.C试题分析：前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入，有C：C；种方法，对于后排，若插入的2人不相邻有&种，若相邻有种,故共有(& +) = 360种，选C.考点：1.排列组合问题：2.相邻问题和不相邻问题.【分析】根据函数/(X)是奇函数，求出X<0时的解析式，可判断A;利用导数求出函数/(X)在(0,2)上

24、的单调区间及极值，再结合/(x)是奇函数，可作出函数/(X)在R上的大致图象，从而可逐项判断8、C、D.【详解】设X<0,则一X>0,所以/(x) = "(% 1),又函数是定义在R上的奇函数，所以/(一工)=一/。)，所以一/(x) = e'(x l),即/(x) = "(x + l)故A正确.当x>0时，/(x) = 2?，所以/(x) = (： J" =, e(e 厂 e令;(x) =。，解得x = 2,当 0vxv2 时，f(x) > 0 ；当 >2 时，fx) < 0,所以函数/。)在(0,2)上单调递增，在(

25、2,4s)上单调递减，故当x = 2时，函数/J)取得极小值I? >0，当0vxv2时，/(0)-/(2)<0,又/=0,故函数力在(0,2)仅有一个零点1.当x>2时，/(%) =1>0,所以函数Ax)在(2,+s)没有零点， e所以函数/(X)在(。，+8)上仅有一个零点，函数/(X)是定义在R上的奇函数，故函数/(A)在(-00,0)上仅有一个零点一 1 ,又八。)=0 ,故函数/(X)是定义在R上有3个零点.故3错误.作出函数/")的大致图象，由图可知若关于x的方程/。)= ?有解，则实数？的取值范围是 故c错误.由图可知，对内，为1<,/(/)

26、_/()31-(-1)1=2故。正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式：利用导致研究函数的单调性及最值：同时也考查 函数的零点，综合性较强.13.4G4/y = ± x ： 33【分析】r要求渐近线方程只需根据双曲线C的方程，求出即可：设出切点M坐标(人-)，利用导数求出M -2处切线斜率，根据切线平行于g的一条渐近线，得到斜率相等建立方程，再与点M和两焦点三点共线建立的方程联立，即可求出. 2【详解】由。2：± )'2=1 可得" = "，b = l, c = 2,所以双曲线G的渐近线方程为y = ±

27、3;x,右焦点坐标6(2,0), 3由抛物线G ： y =一/(>。)得丁 = 2py(p> 0),其焦点坐标厂(0,4)， 2 P2设M (八二一)，由题意知g在点M处的切线平行于3的渐近线y = E， 231 7X. f , t t J7由丁 = 丁丁，得)'=一,故在点M处切线斜率A=y 1-= ,所以人=上,2PP p 3又三点共线，所以/=心网，即5一°_而一°,0-2 - t-2故答案为:)，=±3【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质、曲线上一点处切线的斜率及三点共线的转化，同时考查 解析几何的基本思想方法和运算求解能力.14

28、.见解析【分析】由已知发现三个条件的共同特征是均可求出复数Z,然后再求出产，z-F，进而求出A，B, C的坐标，即可求出AA3C的面积.【详解】选：设z = "+历(4,eR),则Z? =。2一2+2皿i ,由题意得/+从=2且2活=2,解得。=匕=1或4 = = 1,所以 Z = l + i 或 Z = -l-i.当 Z = l+i 时，z2 = 2i» Z-Z2 =l-i >所以A(1J), 3(0，C(l, - 1),所以当 Z = -li 时，F=2i，z-z2=-l-3i, 所以4一1,一1), 8(0,2), C(-l-3),所以SA. = 1综上，A48

29、C的而积为1.选：z =一 2i + 3 + 3iZ2 =2i，z-V =l-i>所以8(0,2), C(1,T),所以S95c=Lr 22(1-i)一选：Z = l=.、=1-1，其共匏复数为1 + i，1 + 1 (l + l)(l-i)故Z = l+i，z2 = 2i» z-z1 =l-i»所以A(l,l), 8(0,2),所以S八友.=1.【点睛】本题是一道开放题，选择一个条件即可求解，学生可根据自己对复数内容的掌握情况选择，从 而大大降低的难度，主要考查复数的概念、运算、共筑复数及复数的几何意义，属于基础题.15.T【分析】 利用两点间的距离公式求得夕点的轨

30、迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得力的值及 离心率的值.【详解】依题意A(设P(x,y),依题意的故圆心为陷=2陷，4 x + a)1+ )3 = 21)2 + y2 ,两边平方化简得(x +/=-« 3 )3警，0 ,半径=*.所以/为吕的最大面积为:解得4 = 2,好。的最小而积为 /3233 ；.2b信-堂=吗=|,解得 =1.故椭圆离心率为e = j_(2)= §【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及 圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标， 然后代

31、入题目所给的方程，如本题中比值为2这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程.16.938【分析】由题意知1若1的取值只能为0，故要满足不等式但21 + 1占1 + 1七1+I.K4,只要对IxJ取值中0,1的个数进行分类讨论，同时再考虑1升1=1有-1两种情况，即可得出结果.【详解】由1。$1 + 1±1 + 1七1+一+1七&4可知1%1结果只能为0，因此1%1的7个数值中有1个 是1, 2个是1, 3个是1, 4个是1四种情况：当1*1中有1个取值是1，另外6个。时，共有方法数是C；x2；当1为1中有2个取值是1,另外5个。时，共有方法数是C；x22：当lx, I中有3个取值

32、是1,另外4个。时，共有方法数是C；x23：当IxJ中有4个取值是1,另外3个。时，共有方法数是C；x2故总方法数为 C；x2 + C；x22+C；x2'+C；x 2, = 14 + 84 + 280 + 56。= 938.故答案为:938【点暗】本题主要考查排列组合的应用及对集合表示方法的理解，同时考查分类讨论的思想.(- 3, -1)【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解.【详解】设过点尸(1, 0的直线与曲线y=f *)相切于点(x, 2a-3 - 3a-),2 *3 3 x t则f=6-3,x-1化简得，4炉-6F+3+f

33、=0,令 g (x) =4/ - 6a2+3+Z»则令g CO =12x (x- 1) =0,则 x=0, x=l.g (a)在(_吟0) (1, +8)上单增，在(0, 1)上单减，且 g (0) =3+6 g (1)=什1,又过点尸(1,心存在3条直线与曲线)，=/a)相切，则(什3) (/+1) <0,解得，-3<f< - 1.故答案为(-3, -1).【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时考查了斜率的表示方法，考查了用导数解决函数零点个数的判断，属于难题.18.CA<1)f(x)= 一丝+2/n- 256(0 <x</n)：(2)需新建9个

34、桥墩才能使工程费用v取得最小值,x且最少费用为8 704万元.试题分析：(1)设出相邻桥墩间距工米，需建桥墩("-1)个，根据题意余下工程的费用)'为桥墩的总费X用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到)'的解析式：(2)把1 = 640米代入到的解析式中并求出y令其等于o,然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时加的值代入(竺-1)中求出桥墩个数即 X可.试题解析：(1)相邻桥墩间距X米，需建桥墩(竺-1)个，则Xy = 256( -1) + (2 + 6)x = 256,+ niyfx + 2？-256, (0<x<in) xx x*7 V A（2）当

35、7 = 640米时，y=f（x） = 640x（ + 77） + 1024,x3r（x） = 640xf当+ 12« = 640x：，.八切功且“会叫人力”/单调递增，0<x<26时，r（x）0, x）单调递减，./（）最小=/（9极小=/（26） = 8704一.需新建640桥墩51一1=9个.19.（1）见解析：（2）存在点尸，且当A尸=7二:".时,满足平面与平面A8C的夹角为60。【分析】（1）以A反4己44为正交基底建立空间直角坐标系A-邛z,写出所需点的坐标，由4户= 443；求出夕点坐标，然后证明AA/W = 0，加可=0即可:只需根据条件出平面P

36、MN和平而48c的法向量，利用向量的夹角公式并结合平而AMN与平面48C 的夹角为60。，建立方程求解即可得出结论.【详解】（1）如图，以A为坐标原点，AB, AC, A4所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间则 A（0.0,0）, A （0,0），5,（1.0,1）,唱o, Q（0,；,0）,由 4 户=443；=41,0,0）=（40,0），可得点尸（儿。,1）， 所以痴=（:一4：,1）,00 = （-4又所以AM丽= 0 + g-； = 0, AA/.P° = 0 + ；-； = 0,所以而，而，又PNRPQ = P,所以AM 平面PN。,所以无论入取何值，总有AM

37、71;1平面PN。.A旦=(1,0,0)，n-NM =0PN = 0y =,得<z = 设 = (x,y,Z)是平而PMV的法向量，*"=(-1 + 22 x32-22 x3令x = 3,所以/； = (31+ 242 2%)是平面PMV的一个法向量.取平而A8C的一个法向量为? = (0,0,1).I2-2AI1假设存在符合条件的点P,贝小cos风 >1=-=-,J9 + (1 + 2X)-+(2 - 2/2化简得4万14/1 + 1 = 0,解得住=7.3至或4=7 + 3卢(舍去). 44综上，存在点夕，且当A1P =7一y时,满足平而月wv与平面ABC的夹角为60

38、。.【点睛】本题主要考查利用向量法证明线而垂直、已知二面角的大小逆向探求解“点”的存在问题.利用 空间向量解决涉及关空间的角问题，关键在于：构建恰当的空间直角坐标系：准确求解相关点的坐 标；构建方程组求出平面的法向量：准确理解和熟练应用夹角公式.20.(1)100800 个：(2)14400 个；(3)5760 个；(4)28800 个.【分析】从1到9的九个数字中，有奇数13,5,7,9共五个，偶数2 4 6. 8共四个.(1)先从四个偶数中取三个，再从五个奇数中取出四个，然后全排列即可得到结果：(2)用捆绑法.将取出三个偶数看作一个元素，然后将该元素与四个奇数全排列，同时其内部自排即可得

39、到结果：(3)用捆绑法.将取三个偶数捆绑在一起，四个奇数搠绑在一起看成两个元素排列，同时内部分别自排 即可得到结果：用插空法.因为三个偶数都不相邻，故只需将取出的四个奇数全排列，然后对偶数插空即可求出结果.【详解】(I)分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有C；种情况: 第二步在五个奇数中取四个，可有种情况；第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有A；种情况，所以符合题意的七位数有=100800个.上述七位数中，三个偶数排在一起的有=14400.上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有C；C：A；A：A；=5760个.(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个

40、偶数分别插入5个空档，共有用=28800 个.21.2“, =2乙(2)当“40时，”X)的单调减区间为(0,+8)：当>0时，/(x)的单调减区e间为单调增区间为(3)见解析. a)a )【详解】(1) V f(x) = cix-2-inx(aeR),=!-,X X又x)在点(ej(e)的切线的斜率为:，./'(e) =竺p = J, .a = g.切点为(%-1)把切点代入切线方程得：b = -2e；(2)由(1)知：f'(x) = a- = -(x>0) X X当“40时，/'(x)<0在(0,+8)上恒成立，. ”X)在(0,+8)上是单调减函

41、数，11 A当>0时，令/'(x) = 0,解得"=，当X变化时，r(x)J(x)随X变化情况如下表:当xe 0,一 a a)时，/'(x)vOJ(x)单调减，当时，/(x)>0,单f(x)单调增，综上所述：当时,V a )( 1 A/(x)的单调减区间为(0,+8)：当4>0时，”X)的单调减区间为0,一,单调增区间为一,+S . a )当x>0时，要证/(入)一依+/>0,即证6、_1皿_2>0,令力(X)=/一1以2(x>0),只需证/?（x）>0, .1（x） =，L由指数函数及基函数的性质知：'（&qu

42、ot;=产一1在（0,+8）上是增函数又AX1 A，<0, "(x)在13，1-U内存在唯一的零点，也即1J /川（"在（0,+8）上有唯一零点设"（"的零点为L则'（/） =，-1 = 0,即/ =,由tf 13>的单调性知：当x<0")时,/r(x)</?'(/) = 0, /z(x)为减函数当xe(f,+<>o)时,/(x)>/(/) = 0t /?(x)为增函数，所以当x>0时，/7(x)>/(r) = -hv-2 = -ln-2,又！</<1,等号不成立, i e点睛：本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，（1）利用导数的几何意义