线性代数(人大第三版)吴赣昌_课后习题答案

1、第节二阶与三阶行列式1.计算下列二阶行列式：丨4;解風式= lx4-3xl = 1.1.计算下列二阶行列式：j ；解 原式= 2x2-lx（-l）=5.1.计箅下列二阶行列式：01解原式-a b: b a:-ab(b a).l计箅下列二阶行列式：<4>解康式=（x- 1）（x：4 x f 1）- 1 x2解原式= it7 7tp1+/2一 2r itl+r2 1+r2(1- r2)2 + 4r2 l + 2'2 + /4 (l + /2)2(i + r2)log解尿式=1 1 - ioga办 |ogaa =0.3.证明下列等式:= a(h2c3 -c1hi)-hx(a1c3

2、-c1ay)caa1h3-b2a3)b2 c2一 bf2卜t2bj cya4.当x取何值时，3 1 x4 x 0 0. 1 0 x3 1 x4 x 0 =3xxx.v4-4xxx0 + 1x0x11 0 x -xxxxl-3x0x0-lx4x= 3x2-x2-4x = 2x2 - 4x = 2x(x-2)，所以当且太其2时,第二节m阶行列芄1.求下列排列的送序教：(1)4132;(2)2413;解(1)撙列4 13 21丄丨丄逆序0 112故题设体列的逆序教为=0+1+1 + 2 = 4.(2)排列2 4 13 |aa逆序v v v0 0 2 1故题设体列的逆序数为at = 0 + 0+2 +

3、 l=3.1-求下夕u wk夕u的逆埒，极：(3> 36715284;(4) 3712456;解(3)烨列 3 6 7 1 5 2 8 4逆序 00032404 故题设排列的送序极为/v = 0 + 0fr0 + 3l2 + 4+ 0*4 = 13.(4) 爆列 3 7 1 2 4 5 6送序 0022111故题设律列的进典教为 /v = 0 +04-2+2 + 1 + 1+1=7.i.求下列体列的逆序教：(5) 1 32w-l) 24 -(2»);解 桃列 1 324 (2w-2) (2/i)道序 0 0 “0m-1 w-2 “10故题设律列的送序教为.v = (/i-l)

4、+ (n-2) + (/i-3) + + 2 +1 + 0 n(n-l)1.求下列各级列的逆序教:(6) 1 3 (2/r-l) (2m) (2w-2) - 1.解抹列丨 3 - (2n-1)(2/r) (in 1)4逆序 0 0 -002 2n-4 ln-1故题设体列的逆序极为/v = 2 + 4 + + 2/1-4 + 2/1-2 =2|1+2十-2) + (/>-1>|2. 写出四阶行列式中含有因子4023的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为：其中t为pipipipi的逆序极. 由于pi = l，2 = 3己固定，pipipyp只能形如 13dd. 即1324 a 134

5、2,其对应的/分別为0+0+1+0=1 或 0+0+0+2=2, aaiya32au 和 aa13aua41 为所求3. 在六阶行列式|<|中，下列各元素乘利应取什么 符号？(o «15»23«32«44«51«66 ；(2)«65 ；(3> a解(u 因为 ml23456) + m532416) = 0 >8 = 8, 所以 1523324451 66的符甘为正 (2) 因为 ml 23456) + m162435) = 0 + 9 = 9, 所以 tf | </2632445365的符号为炎(3)

6、 因为 m251463) + mb6254) = 6 + 5 = 11 ,215316426534 的符号为负.4.选择 1(，i tst(h2kaua42a5/ 成为五阶行列 aai 中 带 有负号 的项.解 因为 7v(12345) + m3a42/) = /v(3*42/),根据行列式的定义，*,/只能取1或5,若 * = 5, / = 1，则 m35421) = «若 k = l, / = 5，则 m31425) = 3.所以 a = 1，7 = 5.5.设fi阶行列式中有n2-n个以上的元紫为枣，证明该 行列式为零.证 如果m阶行列式中有n2-n个以上的元素为枣， 则至多有

7、/i-l个不为零的元索.由于w阶行列式的每一项为个不同的元素的乘积， 从而每一项均为咎，故该行列式为零.6.用行列式的定义计箅下列行列式:解 行列式的取开式中除了 (-|)v<>2 - «)4.v(w(w-n - 21)!外， 其余各项都为安.由于(一 1)v(12 卜= (一 obw %!，故原行列式等于(-1)2n(/，hn!.: .: /w,» 0z (|-w)w)a/>货*f魁(i-w )»/:某（益（1壹丄龙+rjr本明¥r!丟身组-9n念奴睐版兮岑甘czmz “zojv（匯）工湖去准必波切发（i身 w6.用行列式的定义计箅下

8、列行列式:0010(5)0100拳9000110000010解0100= (_1)/v(1234) + /v(3241)>1=1000110006.用行列式的定义计算下列行列式:11100 10 1 0 1110 0 1011100 10 10 111v( 1234 ) + ；v( 1243)+(1)a(1234)+v(1342)= 1-1 = 0.第三节行列芄的胜质1.用行列式的性质计箅下列行列式:34215 3521528092 290923421528092352152909234215 100028092 10003421528092= 1000(34215-28092) = 6

9、123000.1.用行列式的性质计算下列行列式:-abacae(2)bd-cddebf-好-abacaei b c e解bd-cdde=adf b -c ebfb c - e-111 -1 11=adfbc:ei-11 = adfbce 1 -11111 1 1-1-100=adjbt?e 102=4 adjbee.1201.用行列式的性质计算下列行列式:1111111(3)一 111-1-11-1-1 -11 1 1111111-1 1 110222一 1 -1 110022一 1 一 1 一 110002=8.2 4 3 22.把下列行列式化为上三角形行列式，并计箅其值:2-40-135.

10、1 -2 -3 '解31 -1 2 0=102.把下列行列式化为上三角形行列式，并计箅其值: 112 3 44 12 34 12 33 4 122 3 4 12 3 4 1o o o o1 n n n4 12 33 4 122 3 4 112 3 4112341234011一 3= -200i1-302-2-201-1-10-1-1-101114 3 2 4麵3 12 0 i2 10 01 o o o= -20= 160-3.设行列式|«y|=/n （/,y=l,2, -,5）,依下列次序对|进行变换后，求其绾果：交换笫一行与第五行，再转夏，用2乘所有元索，再用（-3）乘以第

11、二列加到笫列,最后用4除以第二行各元素.解由 uij = /;/,交换笫一行与第五行后得-m,再转旦得-/!,用2乘所有元素得- 32/w，+ kb 1 bi+ ct ca通 + kb b cikb、ci cia2 + kb2 办2 + <2 cja2 + kbi b2 c2+a2+kb2 c2 c2+办 3+c3 c3a3 + kb、c3c3 cyax + kbf hi ciai *1 cb' hx cta2+ kbi b2 cj=a2 b2 c2+ kb2 b2 ci+ 人办3 b、cy63 c3*3 by cyb cizh cy再用（-3）乘以第二列加到第四列得-32/n,

12、 最后用4除以笫二行各元素得-8m.4.用行列式的性质证明下列爷式:ai + *61 6j + c| cib c|(1)ai + kbi b2 ci ci=«2*2 cia3 + kby 63+ cy c3*3 c34.用行列式的性质证明下列等式:(2)z + x x+j， y + z z + x x+y y+z5.计箅下列行列式:解 将原行列式的第2列至第n列加到第1列,并提出第i列 公因-tx4-(rr-l)«,得11原式=.r + (/i-1)w |11ti1)二士 - |x+<"-l)a|解将原行列式的第2列至第w列加到笫1列，并提出第1列 公因子x

13、+(n-l)a,得1a a a0x-a 0 0mx|欠十(/!-!)« |00 x-a 0 參會礬鬱髻窘售穆參會審窘00 0x痛a=【x+("-l)(d(x-a广15.计算下列行列式:123m - 1n0262("-1)in0贏 魏 鲁032(«-1) 垂 巍in 垂 血www0零 w 冒0冒 零 w v vo .彎w/i 1v w win0000n解原式=(2)123n -1n-103w-1n-1-20/j-1n a 一 1 一 2-3參售參畚 0蠡鲁n一1-2一 3一(/卜1)05.计箅下列行列式:1«21«l + 1«

14、219 9 響ai + bt ，帶春(3)0 bi* * 蠢番售 0 0 .0* 念鲁 bn10 0.0bx 0解原式=1參參 1=bx b2 b".-3-52=0 1-x2 0 0 0 1 0 0 06-解下列方:6.解下列方程:1 11 2 - x22 3232 211 933 5 -x2=0；11 231112 3解12 -x2 234w01x20 0231523152319-x2000 4-x30=-3(1-x2)(4-x2) = 054-.v27.设w阶行列式d = det(f)，把£上下翻转，或逆时针旋 转90，或依副对角线翻转，依次得证明h 2/>, d

15、j = d.证 d = <let(«f7)all an uni a3 a3nann .=(-1 广1 aln因为2 4 55 5 2 足整致，所以15 27 315 5 2能被17整伦5 9 7同理可证证: d = det(a)a"| ttnn/)=參_攀°11 aln同理可证 d2 = (-l)/,(/,-,)/2dn(n "n(n i)3=(-1) 2d2 = (-l) 2(-1)2 d = (-1)fl(n,>d = d.8.己知255, 459, 527都能被17丘吹，不求行列式的值,证明 2 4 5行列式5 5 2能被17整除.15

16、 9 7解 将行列式弟1行的100依.策2行的10供加到第3行，得24 524524555 2552=1755259 725545952715273里第凹节行列式格行格列屣开式子 余 数代 的2- 和2 素 元中l求行列式解元素2的代教余子式为1元素-2的代教余子式为(-1广2|-3 4 5 3= 29.2.已知四阶行列式d中笫三列无繁依次为-1, 2, 0, 1，它们的余子式依次分别为5, 3, -7, 4，求a).解 d = (1)x5 2x3 + 0x( 7) 1x43.按第三列取开下列行列式，并计箅其值: 0 a 1-1 b -1 . -1 c -11 d 0解原.式0-1 -1101

17、10 110 1-1-1 -1-h 一 11，|+ c01 -1-d01 一 11-11 0110-11 0_1-1 一 11 -1i ohim) ；-11)-43.按第三列展开下列行列式，并计箅其低:(2)mii«2141mi2« 22a31a 42mi3 a 23000«24000«25000«11«i215ala22a23a24«25a3ia3l000«4ia 42000a5i«52000解= 132a 22a24a25«31a3200a4la4200«51a 5200-23aa

18、nai4al5a3lan00«4ian00«5ia5200=0.1 1 1 1 14.证明：abeda1 b1 c2 d a4 b4 c4 d=(a-b)(a-c)(a d、(b-c、. (ha+/>+<+</)证左边=1a4 b4-a4b雀a0 0 c-a d-a c2-a2 d2-a ca-aa d4-a注息到笫三行中平 方差分解后其中一项作成的行与笫二行成比例cad h2(h2-a2) c2(c2-«2) d2(da2)= (b-a)(c-a)(d-a)b + a cad + ab2(ba) e2(ca) d2(d= (b - a)(c - a)(d - a) b + a c + a d+a b2(h + a) c2(c+a) d2(da) =(b -a)(c-a)(d -a) x1 0 0b七 ac-bd-bh2(ba) c2(c + a)-ft2