2016年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷二(含答案)

1、 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 课标全国卷) 文 数 本卷满分 150 分 , 考试时间 120 分钟 . 第卷 (选择题 ,共 60 分) 一、选择题 : 本题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目 要求的 . 1. 已知集合 A=1,2,3,B=x|x 2 0) 与 C 交于点 P,PFx 轴 , 则 k=() ? A. 1 B.1 C.3 D.2 2 2 6. 圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1, 则 a=() A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2 3 4 7. 下图是由

2、圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 , 则该几何体的表面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 , 红灯持续时间为 40 秒 . 若一名行人来到 该路口遇到红灯 , 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 () A. 7 B. 5 C.3 D. 3 10 8 8 10 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法 , 下图是实现该算法的程序框图 . 执行该程序框图 , 若输入的 x=2,n=2, 依次输入的 a 为 2,2,5, 则输出的 s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 10. 下列函数中 , 其定义域和值域分别

3、与函数y=10 lg x 的定义域和值域相同的是 () A.y=x B.y=lg x C.y=2 x D.y= 1 ? 11. 函数 f(x)=cos 2x+6cos - x 的最大值为 ( ) 2 A.4 B.5 C.6 D.7 12. 已知函数 f(x)(x R)满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x 2-2x-3| 与 y=f(x) 图象的交点为 (x ,y ),(x ,y ),(x ,y ? ) 2 ), 则 ?=( 1 1 2 m m ? ?=1 A.0 B.m C.2m D.4m 第卷 ( 非选择题 , 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 1321 题为

4、必考题 , 每个试题考生都必须作答 . 第 2224 题为选考题 , 考生根据要求作答 . 二、填空题 : 本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2), 且 ab, 则 m= . ?-?+ 1 0, 14. 若 x,y 满足约束条件 ?+ ?-3 0, 则 z=x-2y 的最小值为 . ?-3 0, 15. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cos A= 4,cos C= 5 ,a=1, 则 b= . 5 13 16. 有三张卡片 , 分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲 , 乙 , 丙三人各取走一张卡片 ,

5、甲看了乙的卡 片后说 : “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”, 乙看了丙的卡片后说 : “我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”,丙说:“ 我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字 是 . 三、解答题 : 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( 本小题满分 12 分) 等差数列 a 中 ,a +a =4,a +a =6. n 3 4 5 7 ( ) 求 a 的通项公式 ; n ( )设 b =a n , 求 数 列 b 的前 10 项 和 , 其 中 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 n n 0.9=0,2.6=2. 18.( 本小题满分 12 分)

6、 某险种的基本保费为 a( 单位 : 元 ), 继续购买该险种的投保人称为续保人 , 续保人本年度的保 费与其上年度出险次数的关联如下 : 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况 , 得到如下统计表 : 出险次数 0 1 2 3 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 ( ) 记 A 为事件 : “一续保人本年度的保费不高于基本保费” . 求 P(A) 的估计值 ; ( ) 记 B 为事件 : “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”. 求 P

7、(B) 的估计值 ; ( ) 求续保人本年度平均保费的估计值 . 19.( 本小题满分 12 分 ) 如图 , 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上 ,AE=CF,EF 交 BD 于点 H. 将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置 . ( ) 证明 :ACHD; ( ) 若 AB=5,AC=6,AE=5 ,OD=2 2, 求五棱锥 D-ABCFE 的体积 . 4 20.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). ( ) 当 a=4 时 , 求曲线 y=f(x) 在 (1, f(1) 处的切线方程 (

8、 ) 若当 x(1,+ ) 时 , f(x)0, 求 a 的取值范围 . ; 21.( 本小题满分 12 分 ) 2 2 已知 A是椭圆 E: ?+?=1 的左顶点 , 斜率为 k(k0) 的直线交 E 于 A,M两点 , 点 N在 E上,MANA. 4 3 ( ) 当 |AM|=|AN| 时 , 求 AMN 的面积 ; ( ) 当 2|AM|=|AN| 时 , 证明 : 3k2. 请考生在第 2224 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分 . 22.( 本小题满分 10 分 ) 选修 41: 几何证明选讲 如图 , 在正方形 ABCD 中 ,E,G 分别在边 DA,DC

9、上 ( 不与端点重合 ), 且 DE=DG,过 D 点作 DFCE, 垂足为 F. ( ) 证明 :B,C,G,F 四点共圆 ; ( ) 若 AB=1,E 为 DA 的中点 , 求四边形 BCGF 的面积 . 23.( 本小题满分 10 分 ) 选修 44: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 (x+6) 2+y2=25. ( ) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求 C 的极坐标方程 ; ?= ?cos?, ( ) 直线 l 的参数方程是 ?= ?sin ? (t 为参数 ),l 与 C 交于 A,B 两点 ,|AB|= 10 , 求 l 的

10、斜 率. 24.( 本小题满分 10 分 ) 选修 45: 不等式选讲 已知函数 f(x)= ?- 1 + ?+ 1 2 2 ,M 为不等式 f(x)2 的解集 . ()求 M; ( ) 证明 : 当 a,b M 时 ,|a+b|1+ab|. 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (课标全国卷 ) 一、选择题 1.D 由已知得 B=x|- 3x0) ? 6.A 由圆的方程可知圆心为 |? 1+4-1| 4 (1,4). 由点到直线的距离公式可得 2 =1, 解得 a=- ,故选 A. ? +1 3 易错警示 圆心的坐标容易误写为 (-1,-4) 或 (2,8). 7.C 由三视图知圆锥的高

11、为 2 3, 底面半径为 2,则圆锥的母线长为 4,所以圆锥的侧面积为 1 4 4=8 圆.柱的底面积为 4, 2 圆柱的侧面积为 44=16,从而该几何体的表面积为 8+16+4=28,故选 C. 8.B 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口 ,即满足至少需要等待 15 秒才出现绿灯 ,根据几 何概型的概率公式知所求事件的概率P=25 = 5 ,故选 B. 40 8 9.C 执行程序框图 ,输入 a 为 2 时 ,s=0 2+2=2,k=1,此时 k2 不成立 ; 再输入 a 为 2 时,s=2 2+2=6,k=2, 此时 k2 不成立 ;再输入 a 为 5,s=6 2+5=17,k=3,

12、 此时 k2 成立 ,结束循环, 输出 s 为 17, 故选 C. 10. D函数 y=10 lg x 的定义域、 值域均为 (0,+ ),而 y=x,y=2 x 的定义域均为 R,排除 A,C;y=lg x 的值域为 R,排除 B,故选 D. 易错警示 利用对数恒等式将函数 y=10 lg x 变为 y=x, 将其值域认为是 R 是失分的主要原因 . 3 2 11 ,当 sin x=1 时 , f(x) 取得最大值 5,故选 B. 11. B f(x)=1-2sin 2 x+6sin x=-2 sin ?- + 2 2 思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将 f(x)=cos 2x+6co

13、s 2 -x 转化为关于 sin x 的二 次函数 ,通过配方来求最值 , 注意不要忘记 sin x -1,1. 12. B 由题意可知 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称 ,而 y=|x 2 -2x-3|=|(x-1) 2-4| 的图象也关于直线 x=1 对称 ,所以两个图象的交点关于直线 x=1 对称 ,且每对关于直线 x=1 对称的交点的横坐标 ? 之和为 2,所以 xi=m, 故选 B. ?=1 疑难突破 关于直线 x=1 对称的两点横坐标之和为 2,由题意得出 f(x)与 y=|x 2-2x-3| 的图象均 关于直线 x=1 对称是解题的关键 . 二、填空题 13. 答案 -6

14、? 4 解析 因为 a b ,所以 3 =-2 ,解得 m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 14. 答案 -5 解析 由约束条件画出可行域 ,如图中阴影部分所示 (包括边界 ).当直线 x-2y-z=0 过点 B(3,4) 时,z 取得最小值 ,z min=3- 2 4=-5. 21 15. 答案 13 5 12 解析 由 cos C= 13,0C,得 sin C= 13 . 由 cos A= 4 ,0A ,得 sin A= 3 . 5 5 所以 sin B=sin -(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos 63 A= , 65 根据正弦

15、定理得 b= ?sin ? 21 = . sin ? 13 16. 答案 1 和 3 解析 丙的卡片上的数字之和不是 5,则丙有两种情况 : 丙的卡片上的数字为 1 和 2,此时 乙的卡片上的数字为 2 和 3,甲的卡片上的数字为 1 和 3, 满足题意 ; 丙的卡片上的数字为 1 和 3,此时乙的卡片上的数字为 2 和 3,甲的卡片上的数字为 1 和 2,这时甲与乙的卡片上有相 同的数字 2,与已知矛盾 ,故情况 不符合 ,所以甲的卡片上的数字为 1 和 3. 疑难突破 先对丙分类讨论 ,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键 . 三、解答题 17. 解析 ( )设数列 a n

16、的公差为 d, 由题意有 2a 1 +5d=4,a 1+5d=3. 2 解得 a 1=1,d= .(3 分) 5 所以 a n的通项公式为 2 ?+3 an= .(5 分) 5 ( )由( )知,bn= 2?+3 .(6 分) 5 当 n=1,2,3 时 2?+3 ,1 2,b n=1; 5 2?+3 n 当 n=4,5 时 ,2 3,b 5 =2; 当 n=6,7,8 时 2?+3 ,3 4,b n=3; 5 当 n=9,10 2 ?+3 时,4 0 等价于 ln x- ?(?-1) 0.(4 分) ?+1 设 g(x)=ln x-?(?-1) ,则 ?+1 2 12? +2(1-a)x+1

17、 分 ) g(x)= - 2 = ?(?+1) 2 ,g(1)=0.(6 ? (?+1) (i) 当 a 2,x (1,+ )时 ,x2+2(1-a)x+1 x2-2x+10, 故 g(x)0,g(x) 在(1,+ )单调递增,因此 g(x)0;(8 分 ) (ii) 当 a2 时 , 令 g(x)=0 得 x1=a-1- ( ?-1) 2 -1,x2=a-1+ ( ?-1) 2-1 .(10 分 ) 由 x2 1 和 x x =1 得 x 1, 故当 x (1,x 2 )时,g(x)0,g(x) 在 (1,x 2 )单调递减 ,因此 g(x)0. 由已知及椭圆的对称性知 ,直线 AM 的倾斜

18、角为 . 4 又 A(-2,0), 因此直线 AM 的方程为 y=x+2.(2 分) 2 2 ? ? 将 x=y-2 代入 4 + 3 =1 得 7y 2-12y=0. 12 12 解得 y=0 或 y= , 所以 y1= . 7 7 因此 AMN 的面积 S 1 12 12 144 分) AMN =2 = .(4 2 7 7 49 2 2 ( )将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k0) ? ? 代入 + =1 得 4 3 (3+4k 2 )x2+16k 2x+16k 2-12=0. 2 2 由 x1 (-2)= 16? -12 2(3-4 ? ) 2 得 x1= 2 , 3+4 ? 3

19、+4 ? 2 2 12 1+ ? 故|AM|=|x 1 +2| 1 + ?= 2 . 3+4 ? 由题设 ,直线 AN 的方程为 y=- 1 (x+2), ? 2 12? 1+ ? 故同理可得 |AN|= 2 .(7 分 ) 3?+4 由 2|AM|=|AN| 得 2 ? 3 -6k 2+3k-8=0.(9 分) 2 = 2 , 即 4k 3+4 ? 3 ? +4 设 f(t)=4t 3-6t2 +3t-8, 则 k 是 f(t) 的零点 , f (t)=12t 2-12t+3=3(2t-1) 20,所以 f(t) 在 (0,+ )单调递增 . 又 f( 3)=15 3 -260, 因此 f(

20、t) 在 (0,+ )有唯一的零点 ,且零点 k 在 ( 3,2)内 ,所以 3k2.(12 分 ) 22. 解析 ( )证明 :因为 DF EC, 所以 DEF CDF, 则有 GDF= DEF= FCB, ? ? ? = , ? ? 所以 DGF CBF, 由此可得 DGF= CBF. 因此 CGF+ CBF=180,所以 B,C,G,F 四点共圆 .(5 分 ) ( )由 B,C,G,F 四点共圆 ,CG CB 知 FG FB, 连结 GB. 由 G 为 Rt DFC 斜边 CD 的中点 ,知 GF=GC, 故 Rt BCG Rt BFG, 因此 ,四边形 BCGF 的面积 S 是 GCB 面积 SGCB 的 2 倍 ,即 S=2S GCB 1 1 1 分) =2