第二章 点、直线、平面之间的位置关系

1、第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面自主学习 学习目标掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点线共面问题学会运用平面的性质证明点共线、线共点以及线共面问题加强由实际模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力 自学导引1公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号：_.2公理2：过不在一条直线上的三点，_一个平面3公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线符号：_.4用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面

2、内但在平面外：_.(2)直线l经过面内一点A，外一点B：_.(3)直线l在面内也在面内：_.(4)平面内的两条直线m、n相交于A：_.对点讲练知识点一点、线共面例1已知直线ab，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面点评证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内另一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再让这两个面重合变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内知识点二证明多点共线问题例2已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图所示求证：P、Q、R三点共线点评证明多点共线的方法是利用公

3、理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上方法二的思想为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法变式训练2如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BD：P，Q，R三点共线知识点三证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23，求证：EF，GH，BD交于一点点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论变式训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C

4、1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F、DA三线交于一点1三个公理的作用：公理1判定直线在平面内的依据；公理2判定点共面、线共面的依据；公理3判定点共线、线共点的依据2注意事项(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”事实上，共线的三点是不能确定一个平面的(2)在立体几何中，符号“”与“”的用法与读法不要混淆(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化. 课时作业一、选择题1下列命题：书桌面是平面；8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50 m，宽是20 m；平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念其中正确命题的

5、个数为()A1个 B2个 C3个 D4个2点A在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l3已知平面与平面、都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条4已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()AAa，A，Ba，BaBM，M，N，NMNCA，AADA、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合5平面平面l，点A，B，C，且Cl，ABlR，过A、B、C三点确定平面，则等于()A直线AC B直线BCC直线CR D以上都不对二、填空题6下列命题中，正确的是_(填序号)若两个平面有

6、一个公共点，则它们有无数个公共点；若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；若点A既在平面内，又在平面内，则与相交于直线l，且A在l上；两条直线不能确定一个平面7读图，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系(1)图可以用符号语言表示为_；(2)图可以用符号语言表示为_8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是_(填序号)A、M、O三点共线；A、M、O、A1四点共面；A、O、C、M四点共面；B、B1、O、M四点共面三、解答题9.如图三个平面、两两相交于三条直线，即c，a，b，若直线a和b不平行求证：a、b、c三条直线必

7、过同一点10如图，已知平面，且，ADBC，且AB，CD：AB，CD，l共点(相交于一点)第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面自学导引1两点Al，Bl，且A，Bl2有且只有3一个一条P，且Pl，且Pl4(1)A，A(2)A，B且Al，Bl(3)l且l(4)m，n且mnA对点讲练例1证明方法一a，b，l共面方法二ab，a，b确定一个平面.alA，直线a，l确定一个平面.又B，B，a，a，平面与重合故直线a，b，l共面变式训练1已知如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证直线l1、l2、l3在同一平面内证明方法一(同一法)l1l2

8、A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内方法二(重合法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内例2证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又A

9、BP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.QBC，Q面APR，又Q，QPR，P、Q、R三点共线变式训练2证明ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线例3证明因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GEAC.又因为DFFCDHHA23，所以FHAC且HFAC.从而FHGE.故E，F，H，G四点共面所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面

10、BCD内，所以O在这两个平面的交线上而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点变式训练3证明连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EFA1B.又A1BD1C，EFD1C，E，F，D1，C四点共面，且EFD1C，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点课时作业1A6.7(1)l，m，n，lnP，ml(2)l，mA，mB89证明b，

11、a，a，b.由于直线a和b不平行，a、b必相交设abP，如图，则Pa，Pb.a，b，P，P.又c，Pc，即交线c经过点P.a、b、c三条直线相交于同一点10证明梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰，AB，CD必定相交于一点，设ABCDM.又AB，CD，M，且M，Ml，Ml，即AB，CD，l共点2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系自主学习 学习目标1会判断空间两直线的位置关系2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角3能用公理4解决一些简单的相关问题 自学导引1空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：(1)若从公共点的数目分，可以分为只有一个公共点

12、_.没有公共点(2)若从平面的基本性质分，可以分为在同一平面内不同在任何一个平面内_.2异面直线的定义_的两条直线叫做异面直线3公理4：平行于同一条直线的两条直线_，此公理用数学符号表示为_公理4表述的性质通常叫做空间_4等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应_，那么这两个角_或_5异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a，b，使_，_，我们把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)如果两条异面直线所成的角是_，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是_对点讲练知识点一判断空间两直线的位置关系例1a，b，c是三条直线，若a与b异

13、面、b与c异面，判断a与c的位置关系，并画图说明点评借助辅助平面先画出异面直线a，b，再画直线c，使其与b保持异面，观察c与a的位置关系即可得出结论变式训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是C1D1，BC，AB的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与DD1：_；(2)A1G与BC：_；(3)A1G与C1F：_；(4)A1G与CE：_.知识点二平行公理与等角定理的应用例2已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.点评(1)证明空间两条直线平行的方法有

14、两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需找到直线c，使得ac，同时bc，由公理4得到ab.(2)证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明DNM与D1A1C1相似来证明角相等(3)“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关变式训练2如图，两个ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且.(1)求

15、证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值知识点三求两异面直线所成的角例3如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小点评求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直线所成的角a与b所成角的大小与点O无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上例如取在直线b上，然后过点O作直线aa，a与b所成的角即为异面直线a与b所成的角特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或表示直线的线段的端点或中点(2)证明：证明作出的角就是要求的角(3)计算：求角度，常

16、利用三角形(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角变式训练3如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角2“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关3求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程(1)异面直线所成角的范围是0°<90°，不能为0°(若为0°，则两直线平行，共面)，可

17、为90°，此时两异面直线垂直，称为异面垂直(2)点O的选择直接决定了求解过程的难易繁简程度，为了简便，点O常常取在两条异面直线中的一条上，特别是线段的“端点”或“中点”处4证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即证两条直线不同在任何一个平面内不易证明，因此，一般用间接法，即反证法. 课时作业一、选择题1若直线a，b，c满足ab，bc，则a与c的关系是()A异面 B平行 C垂直 D相交2分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交3已知ABPQ，BCQR，ABC30°，则PQR等于()A30° B30°或150&

18、#176;C150° D以上结论都不对4已知异面直线a与b满足a，b且c，则c与a，b的位置关系一定是()Ac与a，b都相交Bc至少与a，b中的一条相交Cc至多与a，b中的一条相交Dc至少与a，b中的一条平行5四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于()A90° B60° C45° D30°二、填空题6一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60°；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确结论的序号为_三、解答

19、题7已知正四棱锥SABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值21.2空间中直线与直线之间的位置关系自学导引1(1)相交直线平行直线异面直线(2)相交直线平行直线异面直线2不同在任何一个平面内3互相平行ab，bcac平行线的传递性4平行相等互补5aabb锐角(或直角)直角(0°，90°对点讲练例1解直线a与c的位置关系有以下三种情形，如图所示：直线a与c可能平行，可能相交，可能异面变式训练1(1)异面直线(2)异面直线(3)相交直线(4)平行直线例2证明(1)如图，连接AC，在ACD中，M、N分别

20、是CD、AD的中点，MN是三角形的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又因为NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，DNMD1A1C1.变式训练2(1)证明AA与BB交于点O，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和AB、AC和AC方向相反，BACBAC，同理ABCABC.ABCABC，且，()2.例3解如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连

21、接OG，A1G，C1G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90°.变式训练3解如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.E、F分别为BC、AD的中点，EGCD，GFAB，GFE或其补角就是异面直线EF与AB所成的角ABCD，EGGF，EGF90°.ABCD，EGGF，EFG为等腰直角三角形GFE45°，即异面直线EF与AB所成的角为45°.课时作业1C6解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，A

22、BCM，MNCD，只有正确7.解如图所示，连接AC、BD，设其交点为O，连接EO，依题意，EOSD，AEO或其补角为AE，SD所成的角，设ABSA2a，在正SAB中，AEa，又EOa，AOa，AE2AO2OE2，AOE90°.在RtAEO中，cosAEO.AE与SD所成角的余弦值为.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系21.4平面与平面之间的位置关系自主学习 学习目标1了解直线与平面之间的三种位置关系2了解平面与平面之间的两种位置关系3会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系 自学导引1直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内直线

23、与平面相交直线与平面平行位置关系图示表示法公共点个数两平面平行无两平面相交斜交有一条公共直线垂直有一条公共直线对点讲练知识点一直线与平面、平面与平面位置关系的画法例1指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出正确图形点评(1)画直线a在平面内时，表示直线a的直线只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在其外(2)在画直线a与平面相交时，表示直线a的直线必须有部分在表示平面的平行四边形之外，这样做既能与表示直线在平面内的图形区分开来，又使之具有较强的立体感，注意此时被平面遮住

24、的部分必须画成虚线(3)画直线与平面平行时，最直观的图形是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行(4)画两个平行面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行变式训练1根据下列条件画出图形：平面平面AB，直线CD，CDAB，ECD，直线EFF，FAB.知识点二直线与平面的位置关系例2下面命题中正确的个数是()如果a、b是两条直线，ab，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a满足a，那么a与平面内的任何一条直线平行；如果直线a、b满足a，b，则ab；如果直线a、b和平面满足ab，a，b，那么b；如果a与平面上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面.A0B2C1D

25、3点评解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映因而人们给它以“百宝箱”之称本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的变式训练2已知下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4知识点三平面与平面的位置关系例3、是两个不重合的平面，下面说法

26、中，正确的是()A平面内有两条直线a、b都与平面平行，那么B平面内有无数条直线平行于平面，那么C若直线a与平面和平面都平行，那么D平面内所有的直线都与平面平行，那么点评判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断变式训练3两平面、平行，a，下列四个命题：(1)a与内的所有直线平行；(2)a与内无数条直线平行；(3)直线a与内任何一条直线都不垂直；(4)a与无公共点其中正确命题的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个1空间中直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内(有无数个公共点)、直线与平面相交(有惟一公

27、共点)、直线与平面平行(无公共点)其中直线与平面相交、直线与平面平行统称为“直线在平面外”2平面与平面之间的位置关系有且只有两种：两个平面平行(无公共点)、两个平面相交(有一条公共直线)3解决直线与平面和平面与平面的位置关系问题，一要熟悉相应的概念；二要学会构造图形，将位置关系放到图形中去理解、判断，适当运用排除法也是一种常用的解题技巧. 课时作业一、选择题1若平面平面，直线a，直线b，则直线a与b的位置关系是()A相交 B平行C异面 D平行或异面2与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A都平行B都相交C在两个平面内D至少和其中一个平行3下列说法中正确的是()A如果两个平面

28、、只有一条公共直线a，就说平面、相交，并记作aB两平面、有一个公共点A，就说、相交于过A点的任意一条直线C两平面、有一个公共点A，就说、相交于A点，并记作AD两平面ABC与DBC相交于线段BC4已知直线l平面P，给出下列命题中错误的是()A在平面内存在无数多条直线与l相交B在平面内存在无数多条直线与l垂直C在平面内存在无数多条直线与l异面D在直线l上只有一个点到平面的距离等于15下列命题中正确的是()A若直线l上有无数个点不在平面内，则lB若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行C如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D若直线l与平面平行，则l与平面没有

29、公共点二、填空题6已知a、b、c为三条不重合的直线，、为两个不重合的平面ac，bcab；a，bab；a，a；a，b，aba.其中正确的命题是_(填序号)7平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是_8三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为_三、解答题9如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？10正方体ABCDA1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状21.3空间中直线与平面之间的位置关系21.4平面与平面之间的位置关系自学导引1.直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在

30、平面内有无数个公共点a直线与平面相交有且只有一个公共点aA直线与平面平行没有公共点aa，a对点讲练例1解(1)(2)(3)(4)的图形画法都不正确，正确画法如图所示变式训练1解如图所示例2C如图所示，在长方体ABCDABCD中，AABB，AA却在过BB的平面AB内，故命题不正确；AA平面BC，BC平面BC，但AA不平行于BC，故命题不正确；AA平面BC，AD平面BC，但AA与AD相交，所以不正确；中，假设与b相交，ab，a与相交，这与a矛盾，故b，即正确；AA显然与平面AB中和BB平行的无数条直线平行，但AA平面AB，故不正确变式训练2A错因为l可能在平面内错因为直线a在平面外有两种情形：a和

31、a与相交错因为a可能在平面内正确无论a在平面内或a，在内都有无数条直线与a平行例3DA、B都不能保证、无公共点，如图1所示；C中当a，a时与可能相交，如图2所示；只有D说明、一定无公共点变式训练3B(1)中a不能与内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；(2)正确；(3)中直线a与内的无数条直线垂直；(4)根据定义与无公共点，正确课时作业1D6.7平行或相交,6,7,89解B1平面A1C1，D1平面A1C1，B1D1平面A1C1.B1平面BC1，D1平面BC1，直线B1D1平面BC1B1.直线B1D1与平面BC1相交同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交在平行四边形

32、B1BDD1中，B1D1BD，B1D1与BD无公共点，B1D1与平面AC无公共点，B1D1平面AC.10.图(1)解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示图(3)§2.2直线、平面平行的判定及其性质22.1直线与平面平行的判定22.2平面与平面平行的判定自主学习 学习目标1通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理2在理解、掌握两个判定定理的基础上

33、，灵活运用解决一些实际问题 自学导引1直线与平面平行的判定定理_一条直线与_的一条直线平行，则该直线与此平面平行用符号表示为_2平面与平面平行的判定定理一个平面内的_与另一个平面平行，则这两个平面平行用符号表示为_对点讲练知识点一直线与平面平行的判定例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF平面BDD1B1.变式训练1如图所示，P是ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PEEABF：EF平面PBC.知识点二平面与平面平行的判定例2已知E、F、E1、F1分别是三棱柱A1B1C1ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：

34、平面A1EF平面E1BCF1.点评要证平面平行，依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面即可另外在证明线线、线面以及面面平行时，常进行如下转化：线线平行线面平行面面平行变式训练2如图所示，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.知识点三线面平行、面面平行的综合应用例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?点评解答开放性问题，要结合题目本身的特点与相应的定理，大胆地

35、猜想，然后证明变式训练3如图所示，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SASBSC，SG为SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明2平行关系的判定基本思路是：线线平行线面平行面面平行面面平行，归根到底是找线面平行，但一定是找两条相交的直线. 课时作业一、选择题1若三条直线，a，b，c满足abc，且a，b，c，则两个平面、的位置关系是()A平行 B相交C平行或相交 D不能确定2已知平面外不共线的三点A，B，C到 的距离都相等，则正确的结论是()A平面ABC必平行于B平面ABC必与相交C平面ABC必不垂直于D存在ABC的一条中位线平

36、行于或在内3正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A平面E1FG1与平面EGH1B平面FHG1与平面F1H1GC平面F1H1H与平面FHE1D平面E1HG1与平面EH1G4经过平面外两点，作与平面平行的平面，则这样的平面可以作()A1个或2个 B0个或1个C1个 D0个5点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A0 B1 C2 D3二、填空题6若直线a平面，点B，B直线b，且平面平面，则a与b的位置关系是_7下面的命题在“_”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m

37、，n为直线，为平面)，则此条件应为_8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.三、解答题9.如图所示，ABCD与ABEF均为平行四边形，且不在同一平面内，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，AMFNACBF，求证：MN平面BCE.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点求证：平面EFG平面BDD1B1.§2.2直线、平面平行的判定及其性质22.1直线与

38、平面平行的判定22.2平面与平面平行的判定自学导引1平面外此平面内a，b，且aba2两条相交直线a，b，abP，a，b对点讲练例1证明取D1B1的中点O，连接OF，OB.OFB1C1，BEB1C1，OFBE.四边形OFEB是平行四边形，EFBO.EF平面BDD1B1，BO平面BDD1B1，EF平面BDD1B1.变式训练1证明连接AF延长交BC于G，连接PG.在ABCD中，易证BFGDFA.，EFPG.而EF平面PBC，PG平面PBC，EF平面PBC.例2证明EF是ABC的中位线，EFBC.EF平面E1BCF1，BC平面E1BCF1，EF平面E1BCF1.A1E1EB，四边形EBE1A1是平行四

39、边形，A1EE1B.A1E平面E1BCF1，E1B平面E1BCF1，A1E平面E1BCF1.又A1EEFE，平面A1EF平面E1BCF1.变式训练2(1)证明连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有2.连接PF、FH、PH，有MNPF.又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同理MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD.(2)解由(1)可知，MGPH.又PHAD，MGAD.同理NGAC，MNCD.MNGDCA，其相似比为13，SMNGSACD19.例3解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为C

40、C1的中点，P为DD1的中点，QBPA.P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.D1B面PAO，QB面PAO，又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.变式训练3解SG平面DEF.证明如下：连接GC交DE于点H，连接FH.DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D是AC的中点，且DHAG，H为CG的中点FH是SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH平面DEF，SG平面DEF.课时作业1C7m，n相交线段FH9证明如图所示，过M作MM1AB，交BC于M1，过N作NN1AB，交BE于N1，则MM1NN1，又AMFNACBF，.又ABEF，MM1NN1.连接M1N1，则四边形MNN1M

41、1是平行四边形MNM1N1，又M1N1平面BCE.MN平面BCE.10证明如图所示，连接SB，SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，直线FG平面BDD1B1.同理可证EG平面BDD1B1，又直线EG平面EFG，直线FG平面EFG，直线EG直线FGG，平面EFG平面BDD1B1.2.2.3直线与平面平行的性质自主学习 学习目标1理解直线与平面平行的性质定理的含义2能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理3会证明直线与平面平行的性质定理4能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题 自学导引直线

42、与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则_(1)符号语言描述：_.(2)性质定理的作用：可以作为_平行的判定方法，也提供了一种作_的方法对点讲练知识点一利用性质定理证明线线平行例1如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行点评线面线线在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定与性质是解决此类问题的关键变式训练1如图所示，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD平面EFGH.知识点二线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，：APGH.点评本

43、例应用了线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件：线面平行，即a；面面相交，即b；线在面内，即a变式训练2如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论知识点三综合应用问题例3如图，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在呈空间四边形形状的支架上矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上已知ACa，BDb.问：E、F、G、H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？点评利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面这样就可以由性质定理实现平行转化至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题变式训练3如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH.(2)若AB4