matlab迭代混沌,原因,分叉MicrosoftWord文档

1、问题与实验 3: 一元线性迭代的收敛性条件怎样表述？关于迭代法收敛性的两个判别条件：a、充分必要条件是：矩阵M的谱半径Mmaxiii1, 2 ,., n1（）b、充分条件是：矩阵M的某个算子范数M1。问题与实验 4: 在本例中，M1，这时迭代序列是收敛的，就本例2或选择别的例子，按M1和M1构造不同的迭代法，通过实验22和比较，并给出你对实验结果的解释 （如关于收敛性、 收敛速度等），当然这需要你首先知道矩阵范数的概念，并且对它有比较好的理解。设x是方程组（5）的解，xm是迭代法（ 6）生成的任一序列，因为xMxf,xm 1MxmfxxmM xxm 1M2xxm2Mmxx0,设 D = dia

2、g (a11, a22, , , ann)，将AX = (D (D - A) x = bDX = (D - A) x + bX = (I D-1A) x + D-1b记B = I D-1A则迭代格式的向量表示为AX = b改写为：其中 I 是单位 i 矩阵， D 是提取 A 的对角线上的元素。F = D-1b( k 1)BX( k )XF称为雅克比迭代矩阵。由此可知要判断 X 是否收敛只需看 M 的谱半径是否小于1，既有一下判断条件：充要条件：(1)Mmaxiii1,2 ,., n1.(2)充分条件是：矩阵M的某个算子范数M1.并且我们知道当M越小的时候其收敛的速度越快。并且还可以知道当初始值

3、越接近精确解时收敛速度越快。这是由于迭代的公式所定的。下面来看另一个例子：雅可比法的迭代矩阵：A=1 2 -2;111;221;b=1;1;1;D=diag(diag(A);LU=D-A;M=DLU;p=max(abs(eig(M)f=Db;x=;z=;x(:,1)=eye(3,1);N=200000000;for i=1:N;if norm(A*x(:,i)-b)1e-010;m=i;breakelsex(:,i+1)=M*x(:,i)+f;z=x(:,i+1)endendme=norm(A*z-b)plot(1:length(x),x)title(JACOBI ITERATION OF L

4、INEAR EQUATIONS)A 12-2111221b = 111p = 5.8106e-006(谱范数 )可以看出是收敛的z 10-z = -11-1z -331m （迭代的次数）e 0（误差的估计）图像是：JACOBI ITERATION OF LINEAR EQUATIONS3210-1-2-311.522.533.54A=9 -1 -1;-180;-1 0 9;b=7;7;8;D=diag(diag(A);LU=D-A;M=DLU;p=max(abs(eig(M)f=Db;x=;z=;x(:,1)=eye(3,1);N=200000000;for i=1:N;ifnorm(A*x(

5、:,i)-b)=tolx0=x;x=G*x0+d1;n=n+1;endn运行结果是 : A=9 -1 -1;-180;-1 0 9;b=7;7;8;x=gauss_seidel(A,b)A = 9-1 -1-180-109b =7 7 8n = 1( 运行的次数 ) 收敛的数度是比较快的。x = 1 1 1A= 4.3999 0.6686 -1.6041 0.5287 -1.0106;0.6900 5.1908 0.25730.2193 0.6145; 0.8156-1.2025 4.0565 -0.9219 0.5077;0.7120-0.01981.41513.17071.6924;1.2

6、902 -0.1567 -0.8051 -0.0592 5.5913 b= -0.4326; -1.6656;0.1253;0.2877;-1.1465x=gauss_seidel(A,b)A =4.39990.6686 -1.6041 0.5287 -1.01060.6900 5.1908 0.2573 0.2193 0.61450.8156-1.20254.0565-0.92190.50770.7120-0.01981.41513.17071.69241.2902 -0.1567 -0.8051 -0.0592 5.5913 b = -0.4321 -1.6656 0.1253 0.287

7、7 -1.1465n = 14（运行的次数。 ）可以看出用高斯赛得尔 （ Gauss-Seidel）的收敛速度比雅可比迭代法（42 次）快。JACOBI ITERATION OF LINEAR EQUATIONS10.5x50 x4x1x2x3-0.5051015202530354045x = -0.1070 -0.29500.03220.1957-0.1819问题与实验 5: 对迭代xn 1axna2，通过进一步的实验和观n0，1，2，察寻找更多的k循环的情况，并借助于必要的理论分析，讨论次迭代出现k循环的原因。1迭代法 (不动点迭代法)迭代法是求解一元非线性方程f ( x )0的主要方法。

8、其做法是（类似线性代数方程组的迭代法）：将方程f ( x )0改写为等价方程x( x )这时，方程x( x )成为“隐式” 形式，除非是x的线性函数，否则不能直接算出它的根。对此，从某个初始值x0开始，对应x( x )构造迭代公式（格式）xk 1( xk)( k0,1,.2,)这就可确定序列xk(k0 ,1,2 ,)（因x是单变量，所以迭代标记写为下标即可） 。如果xk有极限*limxkxk并且由xk 1( xk)式两边取极限，可知x*就是方程x( x )的根，这时称迭代公式xk 1( xk)是收敛的。实际求解中，只有对收敛的xk 1( xk)才有意义，但不能做无穷多步，因此，按精度要求，取某

9、个迭代值xk作为方程x( x )的根的近似值，这种求根的方法称为迭代法，式中( x )称为迭代函数。这里，由于x*( x*)，直观看来，即解x*经计算后( x*)仍等于x*（岂不是没有动），因此，称x*是函数的一个不动点，公式xk 1( xk)( k0 ,1,.2 ,)也称为不动点迭代公式，非线性方程的迭代法也称为不动点迭代法。二、求不动点的迭代格式定义 6设若存在点, 使得有g(时),)=.不动点则称为映射是曲线的一个不动点与直线的交( 迭代一次点.( 表示不断的迭代。 )如果已知在上连续，且能证明存在极限，则由在中的一个不动点然而上述种迭代过程的示意图，其中(a) 、(b)，可知的极限即为

10、不一定收敛，下图为时四收敛， (c),（D）则发散(a)(b)其中(a) 、 ( b)收敛 , (c).(d)则发散(c)发散(d)发散从几何直观上看， (c) 发散的原因可能是在不动点附近的变化率太大所致下面给出的压缩映射原理将证实这一直观猜想三、压缩映射原理定义 7设，且满足：(i)；(ii)使这时称为上的一个压缩映射1一些基本概念设f ( x)是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在x*，使得f ( x*)x*，则称x*为f ( x)的不动点。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个不动点，则称该不动点为吸引点，或称为稳定点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离他而去， 则称该不动点为排斥

11、点，或称为不稳定点。如果且aja1f (a1)a2, f ( a2)a3, f( ak1)ak, f( ak)a1，, j2, 3,k，则a1, a2, ak构成一个ka1称为k周循环。期点，a1, a2, ak称为一个k周期轨道。（）n0，1，2，xn104，0 x1。xn1xn在上面典型的非线性迭代方程中，还发现有“倍周期分叉 ”现象： 当 13时,定的数。例如：=2.4 时， xn+1=xn=7/12(n)，周期为 1。 当3 时, 迭代出现多个确定的数值。= 3 时，曲线开始分叉）例如：= 3.2 时，一个值对应的有两个值，即其归宿轮流取两个值：xn+2= xn,0.79550.513

12、0，周期为 2。-Bulleted_5d69a3ba-de56-4481-80a6-fef66502e8b5-Bulleted_6df2cdff-988c-4128-9c62-8d55298028ae-Bulle3.5 时，与一个值对应的有 4 个值，即其归宿轮流取四个值 xn+4=xn0.3828 0.8269周期为 4。0.8750 0.0095 当 3.570 4 时，最后归宿可取无穷多值，即出现混沌现象，周期为 。通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前已知的一种典型方式，如下图所示：引例关于迭代xn 1axna2（7）实验与讨论。容易求得迭代（ 7）有两个不动点：x*0和x*2a1，图

13、 4给出了a2及迭代初值分别取x0001和x009时，迭代收敛于*2 a1x的情形 .(是一循环 )使用程序（ ITERA1 ：）a=2;x=;y=;x(1)=input(pleaseinputthefirsevalueofiteration x(1)=:); %x(1)=0.01y(1)=input(pleaseinputthefirsevalueofiteration y(1)=:); %y(1)=0.9n=input(pleaseinputthe totalnumberof iterationn=:);%n=150fori=1:n-1;x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a)2;y(

14、i+1)=a-(y(i)-sqrt(a)2;endsubplot(2,1,1)plot(1:n,x,bo)title(ITERATION FOR SOLVING EQUATION)subplot(2,1,2)plot(1:n,y,r*)title(ITERATION FOR SOLVING EQUATION)ITERATION FOR SOLVING EQUATION21.510.50050100150ITERATION FOR SOLVING EQUATION21.510.5050100150图 5 给出了a3时，出现循环的情形：使用程序（ITERA2 ：）a=3;x=;x(1)=input

15、(pleaseinputiteration x(1)=:); %2.5n=input(pleaseinputthen=:); %n=200fori=1:n-1;thetotalfirsenumberofvalueiterationofx(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a)2;endplot(1:n,x,r*)title(ITERATION FOR SOLVING EQUATION)ITERATION FOR SOLVING EQUATION32.82.62.42.221.81.61.4020406080100120140160180200图 functionfencha%分叉图 ,x0

16、为起点， a 为参数x(1)=2.5;for a=3:0.01:4for i=1:200 x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a)2;ifi30plot(a,x(i)holdonendendend43.532.521.510.5033.13.23.33.43.53.63.73.83.94问题与实验 6: 对迭代xn 1axn2a，通过进一步的实验和观察确定可以出现混沌的参数a的取值范围， 混沌现象的出现是否与迭代初值有关？1一些基本概念设是一个定义在实数域上的实值函数， 如果存在x*，使得f ( x*) x*，则称x*为f ( x)的不动点。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个不动点，

17、则称该不动点为吸引点，或称为稳定点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离他而去， 则称该不动点为排斥点，或称为不稳定点。如果f ( x)f (a1)a2, f ( a2)a3, f ( ak 1)ak, f ( ak)a1，且aja1, j2, 3, k，则a1, a2, ak构成一个k循环。 称为k周a1期点，a1, a2, ak称为一个k周期轨道。xn1xn1xn04 ， 0 x1。0，1，2，（）n在上面典型的非线性迭代方程中，还发现有“倍周期分叉 ”现象： 当 13 时, 迭代的归宿是一个确定的数。例如：=2.4 时， xn+1=xn=7/12(n)，周期为1。 当3 时, 迭代出现多个

18、确定的数值。愀挀 甀氀氀攀琀攀搀开昀搀挀 愀 愀愀搀 愀挀搀 挀攀戀 甀氀氀攀琀攀搀开昀昀 昀 愀搀昀 攀搀愀昀昀愀愀3 时，曲线开始分叉）例如：= 3.2 时，一个值对应的有两个值，即其归宿轮流取两个值： xn+2n,0.7955= x0.5130，周期为 2。3.5 时，与一个值对应的有 4 个值，即其归宿轮流取四个值 xn+4=xn0.3828 0.8269周期为 4。0.8750 0.5009 当 3.570 4 时，最后归宿可取无穷多值，即出现混沌现象，周期为 。通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前已知的一种典型方式，如下图所示：43.532.521.510.5033.13.23.

19、33.43.53.63.73.83.94x(n+1)=a-(x(n)- 2)2的图 像 其中 a=3 的分叉图可以看出 K 循环及混沌的出现是与a 有关的，与初始值无关。a=3.5;x=;x(1)=input(please input the firse value of iterationx(1)=:); %1.5n=input( please input the total number of iterationn=: ); %n=500for i=1:n-1;x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a)2;endplot(1:n,x,r*)title(ITERATION FOR SOLV

20、ING EQUATION)please input the firse value of iteration x(1)=:0.9（初始的值）please input the total number of iteration n=:200IT ERATION FOR SOLVING EQUATION3.53a=3.5x(1)=0.9 （初2.5始的值）n=:20021.510.5050100150200250300ITERATION FOR SOLVING EQUATION3.532.521.5a=3.5x(1)=3.4 （初始的值）n=300在收敛的时候，其收敛与否与初值无关。10.5050100150200250300432100432100：ITERATION FOR SOLVING E