导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问习题

1、精心整理- -来源网络导数结合 洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006 年全国 2 理设函数f( (x) ) = ( (x+ 1)1)ln(ln(X+ 1)1)，若对所有的x0,0,都有f( (x) ) ax成立，求实数a的取值范围.2.2006 全国 1 理已知函数f x Jxex. .1 -x(I)设a 0,讨论y = f x的单调性；(U)若对任意x 0,1恒有f x 1，求a的取值范围. .3.2007 全国 1 理设函数f(x)二ex_e.(I)证明：f(x)的导数f (x)2；(U)若对所有x 0都有f (x)ax，求a的取值范围.4.2008 全国 2

2、 理.丨 .|设函数f(xHSx2 +cosx(I)求f(x)的单调区间；(U)如果对任何x0，都有f (x)0时f(x)0 0,求a的取值范围7.2010 新课标文已知函数f (x) =x(ex_1)_ax2. .(I)若f(x)在X1时有极值，求函数f(x)的解析式；(U)当x_0时，f(x)_0，求a的取值范围. .8.2010 全国大纲理设函数f(x)亠e：(I)证明：当X一1时，f(x)一X；X +1(U)设当x_0时，f(x)乞x，求a的取值范围. .ax +19.2011 新课标理已知函数f(xaln+b，曲线y*f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为X +1 xX用I严、JX

3、 |：/ y x 2y -3 =0. .(I)求a、b的值；(U)如果当x 0，且x=1时，f(x)lnX k，求k的取值范围. .X1 X10.自编自编：若不等式sin xx ax3对于XE(0,)恒成立，求a的取值范围. .2! j . j x * L、I I第二部分：新课标高考命题趋势及方法1. 新课标咼考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求 改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重 视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续 学习的潜能。- -来源网络为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨， 以高等数学为背景的命题形式成为了

4、热点 2. 分类讨论和假设反证- -来源网络精心整理许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的 取值范围就是一类重点考查的题型. .这类题目容易让学生想到用 分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范 围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华 山一条路一一分类讨论和假设反证的方法 0QQ3.洛必达法则一一 型及型函数未定式的一种解法0O0虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种 方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难 研究发现 利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的0式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解

5、决这类问题的有效 方法就是洛必达法则 第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f（x）、g（x）满足：（1 1）ximaf（X）=1巳9（刈= ；（2 2）在u （a）内，f（x）和g（x）都存在，且g（x）=；lim =A（3 3）xmag（x）（A可为实数，也可以是 如）. .注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它 们的商求导，求导之后再求极限得最值。lim上勾=恤単x ag (x)xT g (x)（- -来源网络2.2011 新课标理的常规解法- -来源网络精心整理已知函数aln xf(x)=线八f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2 y -

6、3 = 0(I)求(U)如果当a、b的值；x 0,且x时，f(x)k，求k的取值范围. .X 1 x略解得a=1,b= 1. .方法一：分类讨论、假设反证法由(I)知f (x) =lnx 1，所以x 1 xf(x)(晋+&(2Inx+X2!).X1 X 1 -XX2考虑函数h(x)=2In x +(kX.p(x0)贝h(x) = x(k -1)(x21) 2x2X(i)(i)当k乞0时， 由h(x)k(x2F (x1)2知，当X=1时，h(x)：O因为h(1) = 0,2x所以当x (0,1)时，h(x) 0，可得12h(x) 0；当X (1,：)时，h(x)：0，可1 -x得h(x) 0，从

7、而当x 0且1-X(iiii ) 当0: k:i时，由于当而h(1)=0，故当x (1,1)时，1 kIn x kIn x kx = 1时,f(x)-(亠一)0，即f (x)X -1 XX -1 Xx (1丄)时，(k-1)(X2+1) + 2XA0，故h(x)0,1 -kh(x) 0，可得 一1与题设矛盾. .1 -x(iiiiii )当k -1时，h(x) 0，而h(1)=0，故当X (1,=)时，h(x) 0，可得 h(x)M，与题设矛盾. .综上可得，k的取值范围为(：,0. .1 -x注：分三种情况讨论：20:0k : 1:k1不易想到. .尤其是0 : k：1时，许多考生都停留在此

8、层面，举反例x (1,丄)更难想1 -k到. .而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同， 这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升3.运用洛必达和导数解 2011 年新课标理- -来源网络精心整理当x 0，且X时，f(x) JnA .k，即虫也飞，X 1 XX +1 X X 1 X也即“皿+丄一如=攀+1，记g(x)=空+1，X0，且X幻X 1 X X -11X1X2 2 2 2则g (xr2(X忙严)=(ln X )，(1 X )X +12 2记h(x)=l nx字，贝则h(x)丄4x _(1-x)x +1x(1：)时，h(x) 0;当x (0,1)时，g(x)在(0,1)上单调递减，

9、在(1，：J上单调递增由洛必达法则有lim g(x) =lim( Enj 1)h lim2xln2x=1 lim2ln x 2=0,x1x11 - xx11-xx 1-2x即当x 0,且x = 1时，g(x) 0.因为k：g(x)恒成立，所以kO.综上所述， 当x 0,且x = 1时，f(x)-lnx k成立，k的取值范围为(一:：,0.X -1 x注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数来.然后对分离出来的函数g(x)二21 -x此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多 考生会陷入困境如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再 通过强化训练就能掌握解决此类难题的这

10、一有效方法当然这一法则出手的时机：(1 1)所构造的分式型函数在定义 域上单调是0型。22(1 -X ) 2、2x(1+x2)20，x+(1+x2)2h(1)=0，因此当x (0,1)时，h(x)：0，当I.g(x)：0，当x-(仃：)时，g(x) 0，所以从而h(x)在(0J上单调递增，且k分离出2xlnx1求导，研究其单调性、极值.4.运用洛必达和导数解 2010 新课标理设函数f (x) =exT _x _ax2.(I)若a=0，求f (x)的单调区间; -来源网络- -来源网络精心整理(U)当x_0时，f(x)_o，求a的取值范围. .应用洛必达法则和导数(U)当x_0时，f(x)_0

11、，即ex1x_ax2. .x当x=0时，aR；当x 0时，ex x_ax2等价于a ,二x记g(x) =(0-)，则g (X) =(x2)ex+x+2xj己h(x) =(x 2)ex+x + 2 x (0,+比)，贝h (x) = (x 1)ex+1，当x运(0,+比)时，h(x) = xexa0， 所以h(x) =(x-1)ex1在(0,+：)上单调递增，且h(x) h(0)=0，所以h(x) =(x 2)exx2在(0,+：)上单调递增，且h(x) h(0) =0,因此当x (0,+二)时,i- 1,r$ I fyg(x)(x)0，从而g(x)=e-x在(0,+：)上单调递增. .Xx由洛

12、必达法则有， 即当x 0时，g(x) 1，所以当X (0,+：)时，所以g(x) 2，因此a弓. 综上所述，当aJ且x_0时，f(x)_0成立. .2|丨丨5.运用洛必达和导数解自编题自编：若不等式sin xx ax3对于x(0,中)恒成立，求a的取值范围. J1I、I I解：应用洛必达法则和导数 当x(0,2)时，原不等式等价于ag2x3sin x -xcosx -2x则f (x) x记g(x) =3sinxxcosxf2x，贝U g(x) = 2cosx xsinx2. .xcosx -sinx二cosx(x -tanx)x3记f(x)二x -sinx3因为g (x)=- -来源网络精心整

13、理g(x) - -xsinx：0，所以g(x)在(0,-)上单调递减，且g(x)：0, 所以g(x)在(0,)上单调递减，且g(x)：0. .因此g(x)在(0-)上单调递减，2 2故时，不等式sinxxax3对于x J恒成立. .通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的 试题应满足：1可以分离变量；2用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;3出现“0”型式子. .06.运用洛必达和导数解 2010 年新课标文20102010 海南宁夏文(2121)已知函数f (x) =x(ex-1)-ax2. .且g(x)：0，故f (x)竽汀，因此f(xr_sinx在%)上单调递减. .由

14、洛必达法则有lim f (x) = limx -sinx打一=xm1-cosxsinx cosx-2二lim- lim-3x6xx 06即当x 0时，g(x) 1，即有f(x)- -来源网络(I)若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式;(U)当X0时，f(x)_o，求a的取值范围. .解：(I)略(H)应用洛必达法则和导数当x臭0时，f (x) 0，即X(ex-1)ax2. .- -来源网络精心整理当x=0时，aR；- -来源网络当x 0时，x(ex-1)_ax2等价于ex-1_ax,也即xe -1 a 0时，g(x) 1所以g(x) 1，即有a /综上所述，当a叨,x_0时，f(x

15、)_0成立. .7.运用洛必达和导数解 2010 年大纲理20102010 全国大纲理(2222) 设函数fgi-e：I(I)证明：当 X 一1时，(U)设当x一0时，f (x)倔/ ；X，求a的取值范围. .-ax 1解：(1)略(:)应用洛必达法则和导数由题设x -0，此时f(x) _0. .1当a 0时，若x -丄，贝Ia72当a_0时，当x_0时，x0,x，即1ax 1Tax 1f(x)0，所以g(x)在(0,，o)上单调递增.(xe -x)由洛必达法则有xxlim -x 0exxex-1x2ex xex2g(x)T，即有g(x)*，所以a$综上所述，a的取值范围是(闰. .8.运用洛

16、必达和导数解 2008 年全国 2 理设函数f(x)=曲.2 +cosx(I)求f(x)的单调区间；(U)如果对任何x0，都有f(x)ax，求a的取值范围.若x 0，则1 -eax +1_xx ax 1等价于匕-，即x x .xe - e 1-xxe - xx x .记g(x)=xe -x,则g(x)二2x 2 xxxe x e 2e 1 e(xex_x)2(xex_x)2x 2x (e - - x -2 e ). .记h(x)二exx22 - e， 贝U h(x)xxx . x二e2xe，h (x)二e +e -2因此，h(x) =ex-2x-exxeJixe - x1叫g(x) =lim解：(I)f (x)(2 cosx)cosx-sin x(-sin x)2(2 cosx)2cos x 12(2 cosx)2n2n当2knx：2kn332n4n当2knx : 2kncosx-寸，即f (x) 0；COSX：- 1，即f (x)：0.2kn2n，kn25(kZ)是增函数,33丿(k Z)时，(k Z)时，因此f(x)在每一个区间：- -来源网络f(x)在每一个区间2kn2n，kn45(kZ)是减函数.33- -来源网络精心整理(H)应用洛必达法则和导数若X =0，贝 Ua R；若Xo，则 丄n g等价于a，即g(x)sn2+cosxx(2+cosx)x(2+co