状态反馈系统解耦

1、 状态反馈系统解耦状态反馈系统解耦 组员：吴权伟 朱贤宝 曹亚杰 颜小龙目录1状态反馈动态解耦2状态反馈静态解耦状态反馈动态解耦1动态解耦问题的提出2系统的结构特征量3可动态解耦条件4动态解耦算法 在多变量系统中在多变量系统中, ,不同的输入和输出之间存在着耦合不同的输入和输出之间存在着耦合, ,即系即系统的第一个输入量不但会对第一个输出量产生影响统的第一个输入量不但会对第一个输出量产生影响, ,而且而且还会影响到其他的输出量。这样就造成了控制系统设计和还会影响到其他的输出量。这样就造成了控制系统设计和实际操作的困难。因此实际操作的困难。因此, ,控制领域的工程人员就提出了解控制领域的工程人员

2、就提出了解耦的思想耦的思想, ,试图把多变量系统分解为多个单变量系统。解试图把多变量系统分解为多个单变量系统。解耦控制的思想最早是由耦控制的思想最早是由gilbertgilbert完成的。当时称为完成的。当时称为MorganMorgan问题。解耦问题是多输入多输出线性定常系统综合理论的问题。解耦问题是多输入多输出线性定常系统综合理论的一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制, ,而而且不同的输出分量受不同的输入分量控制且不同的输出分量受不同的输

3、入分量控制, ,从而可以运用从而可以运用经典的控制系统综合方法进行系统校正经典的控制系统综合方法进行系统校正, ,以使系统的动静以使系统的动静态性能及各项指标满足工程实际的需要。态性能及各项指标满足工程实际的需要。解耦问题的提出设多输入多输出连续时间线性时不变系统BAsICsGCxyBuAxx1)()(采用包含输入变换输入变换的状态反馈状态反馈uBCAKx xyLppnpLxKu 解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重要问题。 现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多，这就要求要设置多个控制回路去控制这些参数。然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响，使系统的性能变差、难于控制，甚至系

4、统无法正常工作。yudimdimu0detL三点基本假设三点基本假设一、动态解耦问题的提出 3点基本假设点基本假设 （1） ,即输入和输出具有相同的变量个数； （2）控制律采用状态反馈结合输入变换，即 其中K为 维反馈增益阵，L为 维输入变换阵，v为参考输入；相应的反馈系统结构图及包含输入变换的状态反馈图如前所示； （3）输入变换阵L为非奇异，即有 。yudimdimppnpLxKupnppdet0L则系统状态空间描述为： BLBKAICGCxyBLvxBKAx1ssKL所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换 ppRL和状态反馈矩阵 npRK使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵非奇

5、异对角有理分式矩阵 0sgsgsgsGiippKL11 动态解耦的实质是把一个动态解耦的实质是把一个p维输入维输入p维输出的耦合系统，通过引入适当的维输出的耦合系统，通过引入适当的L,K，化为，化为p个独立的个独立的单输入单输出单输入单输出系统；系统；动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解耦算法；动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解耦算法； 解耦控制对于解耦控制对于过程控制过程控制有着重要意义和广泛应用。有着重要意义和广泛应用。输出矩阵 pnpCCCC21传递函数矩阵 sgsgsgBAsICsGppp211)( 分子多项式次数”“分母多项式次数”“sgsgsgsgsgsgijij

6、ijipiii,21设方方多输入多输出连续时间线性时不变系统CxyBuAxxiniiicccc,21结构特性指数结构特性指数定义为：定义为： 1nudii0, 12 , 1 , 0, 0BACkBACiiiki而当1, 2 , 1 , 0, 0nkBACki当pidipiii，或21,1,min210 0 di n-1, -1, i = 1,2,p两种定义等价两种定义等价二、系统的结构特征量 对连续时间线性时不变受控系统，对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量结构特性向量定义为：定义为： pisgsLimEBACEidsidiiii，21,或1Ei为为1p行向量，且两种定义等价。行向量，且

7、两种定义等价。包含输入变换状态反馈闭环系统的状态空间描述为：包含输入变换状态反馈闭环系统的状态空间描述为：CxyBLvxBKAx其结构特征量为其结构特征量为1nudii0)(12 , 1 , 0, 0)(BLBKACkBLBKACiiiki而当1, 2 , 1 , 0, 0)(nkBLBKACki当piBLBKACEidii，21,)(开环和闭环结构特征量相等开环和闭环结构特征量相等piii, 2 , 1LEEpiddii, 2 , 1证明如下:对任意 ,基于 的定义,有 基此 ,对任意L和K，可以导出： 而L非奇异，又可导出 从而 ，由式(6.149)和式（6.150），并据 和 的定义，即

8、可证得 和piddii, 2 , 1piii, 2 , 1LEE 11111111pddKLSSBEFBEASICsG闭环传递函数为：0detEE为非奇异即令3.1积分型解耦系统积分型解耦系统设方方多输入多输出连续时间线性时不变系统xCyuBxAxnqpnnnpEEEE21基于结构特征向量组成的pp矩阵1111pdpdACACF基于结构特性指数组成的pn矩阵FEKELnppp11,取 则可导出包含输入变换状态反馈系统 CxyvBExFBEAx11称为积分型积分型解耦系统。无实际应用价值理论分析应用LvKxu三、可动态解耦条件3.2可解耦条件可解耦条件设方方多输入多输出连续时间线性时不变系统xC

9、yuBxAxnqpnnnpEEEE21结论结论：对方方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实实现动态解耦的充分必要条件现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的pp矩阵E非奇异非奇异。 基于结构特征向量结构特征向量组成的pp矩阵 虽然积分型解耦系统在实际工程中无应用价值，但是我们还是可以通过判断一个包括输入变换的状态反馈系统能否通过 转化为积分型解耦系统来判定原系统是否能进行解耦！这就是我们引入积分型解耦系统的意义。 FEKELnppp11,取给定n维方连续时间线性时不变受控系统 CxyBuAxx要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对L,K,使系统实现动态解耦实现动态

10、解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量 piEdii, 2 , 1,Step 2：基于结构特征向量组成并判断矩阵E的非奇异性 若E为非奇异，即能解耦，若E为奇异，则不能解耦。Step3： 1111,pidpdACACFE计算为完全能控，其中BAyu,dimdimStep 4：FEKELKL11,为：和预状态反馈取预输入变换导出积分型解耦系统 CCBEBFBEAAxCyvBxAx,11保持为完全能控。且BA,四、解耦控制综合算法 Step5：判断 CA,的能观测性，若不完全能观测，计算 mACACCrankrankQn10Step

11、6：引入线性非奇异变换 xTx1化积分型积分型解耦系统为解耦规范型解耦规范型。 对完全能观测 CA,nmRcRbRApiCCTCCbbBTBAATATApiimimimmipppiiii11111111, 2 , 1，解耦规范型具有形式：:,，解耦规范型具有形式对不完全能观测CAmmpiRcRbRACCCbbbbBAAAAAApiimimimmipccppccpiiiipp1111111, 2 , 1000011能观性分解能观性分解00, 11000001010111iiidmCbAiiiimmmmii情形：对00100100*0000010010111iiiimimimmiiCbidmA情形

12、：对di+1di+1mi-(di+1)mi-(di+1) di+1Step7 求 1T100100110101111,.TccTccTTnnncncQQQQTQQQQTACACCQACACCQBABABQBABABQTCCBTBTATA由Step8：对解耦规范型 CBA,选取 np状态反馈矩阵 K的结构 对完全能观测 pkkK1对不完全能观测 001pkkKiidiiiiikkkkdm, 1100, 0, 110iidiiiiikkkkdmStep9：对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：按单输入情形极点配置法，定出状态反馈矩阵 Step10：最后得 K1111,ELTKEFEK例例6.4

13、 p298piidiii, 2 , 1*1,*2*1pikkkKiidii, 2 , 110Step11：停止计算。 状态反馈矩阵的这种选择必可使实现动态解耦：CBA,KpppppbkbAsIcbkbAsIcBKBAsIC11111111解耦极点配置9.3.2 算例给定双输入双输出的线性定常受控系统为要求综合满足解耦和期望极点配置的一个输入变换和状态反馈矩阵下面我们根据算法9.3.1来求解该系统的输入输出解耦控制。(1,2)(1,2)iid iE i 第一步：计算和和因为 12121,11 0 ,0 1ddEE 121 00 1EEE由此即可定出第二步：判断解耦条件。显然可解耦性判别阵为非奇异

14、，因此该系统可利用状态反馈加输入变换进行解耦。第三步：导出积分型解耦系统。定出211221 03002,0 10200c AEFc A 111 03002,0 10200LEKEF 11010000000010,00010000000110000010AABEFBBECC 再取则有第四步：第四步：化解耦规范型。 由 =1, =1和n=4,可以导出 + =4 和 ， 又由于 完全能观测，可导出解耦规范型。容易看出(,)A C保持为完全能观测的。1d2d1m2m(,)A C由已知能控能观测 和 ，可以定出变换矩阵为(,)ABCK 第五步：第五步：相对于解耦规范型确定状态反馈 增益矩阵，实现希望极点

15、配置。K 101120210000kkKkk 101120210101kkABKkk 将取为则可得T = 1T = 10000101011101021000020101100101111221222,42,2jj 2122( )(2)(4)68( )(2)(2)45sssssssjsjss 101120218,6,5,4kkkk 86000054K 再来指定解耦后的单输入单输出系统的期望特征值分别为于是通过计算就可定出从而第六步：定出对给定控制系统实现解耦控制和极点配置 的控制矩阵对(,)L K1111 00 1116020254LEKEFEK 010000860010()0001000054

16、01xABK xBLvxv 第七步：定出解耦后闭环控制系统的状态空间方程和传递函数矩阵。 解耦控制系统的状态方程和输出方程为10000010yCxx从而其传递函数矩阵为2121068( )()1045KLssGsC sIABKBLss 由以上介绍可以看出，解耦控制大大简化了控制过程，使得对各个输入变量由以上介绍可以看出，解耦控制大大简化了控制过程，使得对各个输入变量的控制都可以单独地运行。在许多工程问题中，特别是过程控制中，解耦控制的控制都可以单独地运行。在许多工程问题中，特别是过程控制中，解耦控制有着重要意义。有着重要意义。状态反馈静态解耦1静态解耦提出原因2静态解耦概念理解3可静态解耦条件

17、4静态解耦算法一、静态解耦的提出原因 静态解耦的提出主要两点基本原因两点基本原因：1、动态解耦严重依赖系统模型，任何模型误差和参数摄动、动态解耦严重依赖系统模型，任何模型误差和参数摄动 都将破坏系统动态解耦；都将破坏系统动态解耦；2、静态解耦对模型误差和参数摄动敏感性小，从工程角度、静态解耦对模型误差和参数摄动敏感性小，从工程角度 已可满足实际需要；已可满足实际需要；设多输入多输出连续时间线性时不变系统BAsICsGCxyBuAxx1)()(采用包含输入变换输入变换L的状态反馈状态反馈KBCAKx xyLppnpLxKuyudimdimu0detL三点基本假设三点基本假设二、静态解耦概念理解则

18、系统状态空间描述为： BLBKAICGCxyBLvxBKAx1ssKL二、静态解耦概念理解（续）Def：所谓静态解耦静态解耦控制，就是寻找输入变换 ppRL和状态反馈矩阵 npRK使得，所导出的含输入变换及状态反馈的闭环系统及其闭环传递函数矩阵 KLsG满足两大属性两大属性：1、闭环控制系统为渐进稳定闭环控制系统为渐进稳定，即有： 也就是（A-BK）的特征值均具有负实部 （P239 结论5.23）Re () 0,1,2,iA BKin2、闭环传递函数矩阵闭环传递函数矩阵 当s=0时为非奇异对角常数阵常数阵，即有 KLsG 110(0)lim, (0) 0,1 ,2,(0)KLiisppgsgi

19、pgG静态解耦区别于区别于动态解耦的的两大特点两大特点：1.（频率域特点）当S0时，闭环传递函数矩阵 为非对角矩阵；当S=0时，为对角常数矩阵；即有 KLsG 111111( )( ),0( )( )(0),0(0)ppppKLppgsgssgsgssgsg G二、静态解耦概念理解（续）静态解耦区别于区别于动态解耦的的两大特点两大特点：2.（时间域特点）只适合于p维参考输入各分量为阶跃信号情况，即)(1)(1)(21tttv1121111111112111( )( )1( )( )( )1( )( )1( )K LPiiipPppppiiiy tLGssLgssgsgsLsgsgsLgss二、

20、静态解耦概念理解（续）过渡态静态解耦区别于区别于动态解耦的的两大特点两大特点：2.（时间域特点（续）（续）二、静态解耦概念理解（续）11001111111lim( )lim( )lim( )(0)(0)(0)(0)KLKLtssppppppppy tsGsGssgggg12i,( ),piv vvy tv同时由过渡过程中由且仅由 所控制稳态过程中稳态三、可解耦条件 结论：结论：存在输入变换和状态反馈矩阵对L,K,其中 0detL可使方n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当： 1.受控系统可由状态反馈镇定；2.受控系统系数矩阵满足：pnDCBArank证明：分三步证明： 1.秩关系

21、矩阵变换； 2.证充分性；由已知系统镇定与系数矩阵秩关系等式推导系统静态解耦，即两大属性； 3.证必要性；由已知两大属性推导系统镇定与系数矩阵秩关系等式；三、可解耦条件（证明） 秩关系矩阵变换 基于 存在-1()ABK-1-1-1-1-1-1-1I0()I0()()()I0-I0I0I0()()()II0-I0nnppnnpppC ABKBABKABKBABKBC ABKBCABKABKBABC ABKBKC-1I0()0nABrankrankC ABKBC式6.193三、可解耦条件（证明） 证明充分性已知：解耦条件：1.受控系统可由状态反馈镇定；2.pnDCBArank两大属性：1.反馈系统

22、渐进稳定；2. 为非奇异对角常数阵 0KLG1.由状态反馈镇定可知，必存在 使npRKRe () 0,1,2,iA BKin即，状态反馈系统渐进稳定；2.由 可知 ,(A-BK)为非奇异，即 存在 ，结合式6.193 及秩关系等式可导出： 即， 矩阵 为非奇异 ；Re () 0,1,2,iA BKin0ABK-1()ABK-1()rankC A BKBppp-1()C ABKB-1I0()0nABrankrankC ABKBC三、可解耦条件（证明） 证明充分性(续)取输入变换阵-11 ()LC ABKBD 其中 矩阵 取为：ppD110,1,2,iippdDdipd -100-1-11liml

23、im() () ()KLsssC sIABKBLC ABKBC ABKBDD G即 为非奇异对角常数阵 0KLG因此，系统可由L,K实现静态解耦；充分性得证；三、可解耦条件（证明） 证明必要性可解耦条件：1.受控系统可由状态反馈镇定；2.pnDCBArank已知：解耦两大属性：1.反馈系统渐进稳定；2. 为非奇异对角常数阵 0KLG1.由系统可解耦，可知存在L，K使得系统渐进稳定，且 -10()KLC ABKBL G为非奇异对角阵由系统渐进稳定可得知，受控系统可由状态反馈镇定；（条件一成立）且易得知， 存在 2 . 非奇异，且已知L非奇异，可推导 非奇异 -1()C ABKBL-1()C ABKB-1()ABK三、可解耦条件（证明） 证明必要性（续）由于已得知 存在，可结合式-1()ABK-1()C ABKB非奇异pnDCBArank-1I0()0nABrankrankC ABKBC可导出：条件二成立因此，必要性得证四、静态解耦算法 Step1：判断受控系