向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案

1、第三章 向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。（3）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。为了加深相关性的定义，对

2、与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的，（2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式。（4）相关表示式的

3、分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。定理的证明重要的是说明思路，关键是理解并利用结论进行推理证明。重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。（6）初等变换对向量组的影响，初等行变换

4、和化简方程的对应关系。标准形所保留的信息，（变换不变量是矩阵的秩）。可逆矩阵（7）通过简单的例子说明左乘相当于行变换，右乘相当于列变换，关键是理解其意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程的方法（8）介绍向量空间，子空间的基本概念，对比基和最大无关组的定义，加深对基和最大无关组，向量组和向量空间的理解（除零空间外，向量空间是无限的，而向量组可以是有限的）。生成子空间的概念及其生成子空间的表示。（四）习题指导（习题3）1 1     设，求及。2 2     设，其中，求。3 3  &#

5、160;  设是m个n维向量，试问：（1） （1）若有m个数存在，使得 那么是否线性无关？解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判定线性相关。没有这一限制是没有意义的，因为全部取零系数，不管向量组是什么，上式总是成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。（2） （2）若有m个不全为零的数使得 那么是否线性相关？解：定义中的组合式是“=”，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。（3）若线性相关，则一定可由线性表示吗？解：相关性等价定义中是说：向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示，至于是那一个向量可由其它向量线性表示，则要以来于具体的向量组

6、。不能断定一定可由线性表示。4 4     设与都是n维向量，下面的证明是否正确？（1） （1）若向量组线性相关，向量组线性相关，则有不全为零的数，使得 由此推出 于是向量组也线性相关。解：向量组线性相关，则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依赖于向量组的，不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。（2） （2）若只有当时才成立，那么一定线性无关。解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知是线性无关的。5 5     将向量表示成的线性组合：（1）解：设，按分量展

7、开得到 求解得到，即（2）  解：设，按分量展开得到用Gramer法则或用如下方法简化可知，即6 6     判断下列向量组的线性相关性：（1）解：法一，应用定义，设，即得到方程组，系数行列式为，不能用Gramer法则，由定理可知存在非零解。事实上，由第一式知，代入其它方程得到 取，得到，故，因此线性相关。或者由定理知，系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列式等于零，因此只需求行列式即可。事实上，以向量为列所构成的行列式为 故向量组线性相关。（

8、2）法一、用定义，设，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列式不等于零，故只有零解，由定义知线性无关。法二，以向量为列构成的行列式为，故向量组线性相关。（3） 法一、定义法法二、行列式法，由定理可知个维向量线性相关的充要条件是向量所构成的行列式为零。以向量为行构成的行列式为因此向量组是线性无关的。（4）法一、定义法法二、行列式法，向量所构成的行列式是Vandemon行列式，显然不等于零，故向量组是线性无关的。 7 7     设向量，试问：（1） （1）c取何值时，线性相关？（2） （2）c取何值时，线性无关？解：解法一、根据定义，设，按分量展开

9、得到系数行列式为根据Gramer法则知，时，方程组有非零解，线性相关，时，方程组只有零解，故线性无关。解法二、考虑由构成的行列式 因此，时，线性相关，时，线性无关。8 8     设，证明向量组线性相关。证明：直接观察法，由表示式易看出，故线性相关。（这种方法没有一般性）根据线性相关性的定义证明。设将代入，得到上式成立的充分条件为方程组对应的行列式为 因此有非零解，故向量组线性相关。 9 9     设，且线性无关，证明向量组线性无关。（注：本题可推广到一般的形式，只要表示的系数矩阵可逆即可）证明：设&#

10、160;                          将的表示式代入，即因为线性无关，故有 显然，或考虑系数行列式 根据Gramer法则有故线性无关。10 10  在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r阶子式？有没有等于0的r-1阶子式？解：本题主要考察矩阵秩的概念，在秩是的矩阵中，有一个阶的子式不等于零，有可能有阶的子式等于

11、零，也可能有等于零的阶子式，但不可能所有的阶子式等于零。11 11  从矩阵A中划去一行得到的矩阵B，问A，B的秩的关系如何？解：考虑的行向量组，则显然关于秩有如下关系：  12 12  求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是，。解：只需增加三个行向量，使方阵的秩等于4 ,即使某个4阶子式不等于零。考虑13 13  求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：（1）; (2) ; (3) 解：应用子式方法，考虑由为行向量构造矩阵，因此，最高阶非零子式所对应的为最大无关组。注：最大无关组不是唯一的。14. 设一组n维向量，已知n维单位坐标向量能由它们线

12、性表示，证明线性无关。证明：记，已知单位坐标向量组是线性无关的，故向量组的秩。又由条件知向量组可由线性表示，由定理知，                                         

13、    由于向量组中仅有个向量，故，即向量组线性无关。15. 设是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。证明：必要性。设是线性无关的，设为任一维向量，则为(n+1)个维向量，故线性相关，由结论知可由线性表示。充分性。分别取，由条件可知，可由线性表示，由上题的结论知，线性无关。16设向量组A与向量组B的秩相等，且A组能由B组线性表示，证明A组与B组等价。证明：设，设向量组的最大无关组为，向量组的最大无关组为，由条件知，向量组可由向量组线性表示，向量组A的最大无关组刻有向量组B的最大无关组线性表示，即有下证为可逆矩阵

14、，用反证法，设，则设，即便                                                

15、0;     只需，或，假设，则方程组有非零解，这与线性无关矛盾，故知可逆因此 即可由线性表示，因此向量组可由向量组线性表示，即向量组与向量组等价。17设向量组A：的秩为,向量组B：的秩为，向量组C：的秩为，证明 并利用该结果证明：18设向量组B：能由向量A：线性表示为 其中K为矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩证明:充分性. 设,将的表示式代入有因为线性无关,故有,即.由条件知,由Gramer法则知只有零解.必要性.记,由条件可知,.因此.又矩阵为矩阵,故.    

16、0;  19求下列矩阵的秩：（1），（2）解：子式法。，考虑三阶子式，共有4个，类似地有，故初等变换方法：故（2） 初等变换法：故   20利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：（1），（2）解：最后的第一、第二、第三（或第四）列向量是列向量组的最大无关组，因此原列向量组中的第一、第二、第三（或第四）列向量是原列向量组的最大无关组（2） 故或是列向量组的最大无关组。21. 设A与B都是矩阵,证明：矩阵A与B等价的充分必要条件是。证明:与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵和阶可逆方阵使.由矩阵乘积秩的关系有.由知,因此.(或者由初等变换不改变矩阵的秩得出,由本题的证明可知用可逆矩阵左乘或者右乘均不改变矩阵的秩)充分性:,和的标准形由秩唯一确定,即它们的标准形均为,即和均和标准形等价,因此由等价的传递性,知与等价.