两通道滤波器组和离散序列的小波变换-

1、2004年2月重庆大学学报第27卷第2期Journal of Chongqing University文章编号:1000-582X (200402-0087-05两通道滤波器组和离散序列的小波变换卢山,杨浩(重庆大学电气工程学院,重庆400030摘要:多抽样率滤波器组理论和离散时间序列的小波变换有着密切关系。笔者从信号处理的角度研究了离散时间序列的小波变换利用树状滤波器组实现的方法,分析了两通道共轭正交镜象滤波器组理论及滤波器设计,离散时间序列的正交小波变换的快速实现以及正交小波的构造,指出了其内在联系,最后举例说明了正交小波变换通过共轭正交镜象滤波器组来实现信号分解和重构的全过程。关键词:滤

2、波器组;小波变换;共轭正交;离散中图分类号:TN911.72文献标识码:A 多抽样率滤波器组和小波变换已经成为信号处理 领域两个强有力的工具。它们有着不同的起源和理论体系1-4,但现在两者却紧密地结合起来5-6。小波变换是20世纪80年代发展起来的应用数学工具,它不仅扩展了信号时频联合分析7的概念,而且在分辨率方面具有对信号特点的自适应性,小波变换在图象压缩8,特征提取9和阈值消噪10方面有着广泛的应用,而比小波变换稍早发展起来的滤波器组理论是语音子带编码11的基础。文中将多抽样率信号处理和离散时间序列的小波变换结合起来,分析两者的内在联系和对应关系。图1所示是一个两通道滤波器组,其中H 0(

3、z 和H 1(z 是分析滤波器,G 0(z 和G 1(z 是综合滤波器。分析滤波器将输入信号x (n 分解成2个子带信号,由于子带信号的频带减小了1倍,因此可以进行2倍的抽取,综合滤波器将子带信号重建成信号x (n 。如果x (n =x (n 或x (n =cx (n -k ,其中c 和k是常数,称x (n 是对x (n 的“准确重建(Perfect Re 2construction ,PR ”。图1两通道滤波器组小波变换可以对信号进行多分辨率分析12,即将信号在不同分辨率下分解成“概貌”和“细节”。离散时间序列的正交小波变换(后均简称为离散正交小波变换可以通过如图2所示的树状滤波器组来实现,

4、亦即Mallat 算法用滤波器组表达的思路。图中每一级只对上一级的低通部分进行再分解,从高通滤波器出来的信号称为“细节”,而最后从低通出来的信号称为“概貌”。 图2Mallat 算法的滤波组实现收稿日期:2003-09-05作者简介:卢山(1980-,男,四川雅安人,重庆大学硕士研究生,主要从事生物医学信号处理、小波分析的研究。1两通道滤波器组理论仔细分析一下图1中的两通道滤波器组输入信号x (n 和输出信号x (n 的关系,由多抽样率信号处理的理论可以得到:X (z =12G 0(z G 1(z H 0(z H 0(-z H 1(z H 1( -z X (z X (-z (1X (z =12

5、H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z X (z +12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z X (-z =T (z X (z +F (z X (-z (2其中T (z =12H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z ,F (z =12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z F (z X (-z 称为混叠分量,应为0,为使F (z =0,最直观的选取是令G 0(z =H 1(-z (3G 1(z =-H 0(-z (4T (z 称为“失真传递函数”,实现PR 的充要条件是T (z 为具有线性相位的全通系统,最简单的取法是令T (z =cz -k

6、的纯延迟形式,经过推导13 可以得到综合滤波器的一般选取方法。G 0(z G 1(z =2z -kH 0(z H 1(-z -H 0(-z H 1(z H 1(-z -H 0(-z (5当给定一个低通原型滤波器H (z 后,最简单、直接的选取方法是令H 0(z =H (z ,及H 1(z =H 0(-z ,这时H 1(e i =H 0(e j (+是H 0(e i 移位后的结果,所以H 1(e i 是高通的,且H 0(e i ,H 1(e i 是相对/2为对称的,故称按此方法选定的滤波器组称为“标准正交镜像滤波器组14(QuadratureMirror Filter Banks ,QMFB ”

7、,它是最早提出的一种两通道滤波器组,从(3和(4可知此时的G 0(z 是低通的,而G 1(z 是高通的,文献14已经证明这样的选取方法,如果要实现PR ,那么H 0(z 和H 1(z 只能取纯延迟的形式。H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 作为滤波器,总是希望它们的通带尽量平坦,阻带尽可能快地衰减,且过渡带尽量窄,尽管PR 是最终目的,但滤波器的核心作用是信号的子带分解,因此放弃H 1(z =H 0(-z 的简单形式,取H 1(z =z -(N -1H 0(-z-1,H 1(z 仍是高通的,这时H 1(z 的幅频特性虽然和标准正交镜像滤波器组中H 1(z 的相同,但由于z 变

8、成了z -1,所以在相频响应上多了一个共轭,故称这样定义的滤波器组为“共轭正交镜像滤波器组(Conjugate Quadrature Mirror Filter Banks ,CQMFB ”。此时有G 0(z =H 1(-z =-z -(N -1H 0(z-1,令P (z =H 0(z H 0(z -1,代入前面的T (z 有T (z =12z-(N -1P (z +P (-z (6若令T (z =P (z +P (-z =2,则T (z 为一纯延迟,从而实现X (z 对X (z 的准确重建,由此得到H 0(e j2+H 1(e j2=2(7即H 0,H 1满足功率互补关系,它们是一对功率互补

9、的滤波器。CQMFB 中的2个基本事实14:事实一:满足PR 条件的必P (Z 是一个半带滤波器;事实二:h 0(n 和h 1(n 各自及相互之间有如下正交性:1h 0(n 和h 1(n 各自都具有偶次移位的正交归一性,即h 0(n ,h 0(n +2k =k (8h 1(n ,h 1(n +2k =k(92h 0(n 和h 1(n 之间具有偶次移位的正交性,即h 0(n ,h 1(n +2k =0(10其中k Z 。可以通过对P (z 的谱分解来设计CQMFB ,CQMFB 中各滤波器特性和P (z 存在如下对应关系。1正交性:如果满足(8、(9和(10式,那么H 0(z 和G 0(z 是P

10、 (z 的谱因子2线性相位:如果P (z 是线性相位的,H 0(z 和G 0(z 是它的线性相位因子,那么各滤波器也是线性相位的,不幸的是在满足正交性的前提下分解是不能得到线性相位的15,即CQMFB 中的各滤波器不具备线性相位。3有限长:如果P (z 是FIR 的,H 0(z 和G 0(z 是它的FIR 因子,那么也是有限长的。这样就将CQMFB 滤波器的设计归结到P (z 的设计上。2离散正交小波变换理论在实际应用中,处理的信号通常是离散时间采样信号,需要高效实现的是这类信号的小波变换,实现它88重庆大学学报2004年的方法就是著名的Mallat 算法,Mallat 算法有多种表现形式,如

11、图象处理中的金字塔编码算法16,而在多抽样率信号处理中,可以采用如图2所示的树状结构滤波器组来实现。通过图2的滤波器组将原始信号分解为一系列的“细节d j (k ”和“概貌a j (k ”。d j (k 是离散信号在尺度函数空间的离散逼近系数,而a j(k 是离散信号在小波函数空间的离散逼近系数。正交小波变换中的二尺度方程17揭示了滤波器系数和小波函数以及尺度函数之间的递推关系。(t =2+n =-h 0(n (2t -n (11(t =2+n =-h 1(n (2t -n (12(11、(12式中的h 0(n 和h 1(n 恰是一对共轭正交滤波器组。通过推导18可以得到相临两个尺度下多分辨率

12、离散逼近系数d i (k 和a j (k 与这对滤波器组的关系。a j +1(k =+n =-a j (k h 0(n -2k =a j (k h 0(2k (13d j +1(k =+n =-a j (k h 1(n -2k =a j (k h 1(2k (14其中,h 0(k 和h 1(k 是h 0(k 和h 1(k 序列的翻转,即h (k =h (-k 。初始化时,简单的方法是假定a 0(k =x (k 。在用滤波器组实现时,由于信号的滤波可以引入FF T ,因此离散信号的小波变换就找到了一条快速实现的途径,并且可以通过这对共轭正交滤波器组来递推尺度函数(t 和小波(t 。Daubech

13、ies 通过这种方法构造了一系列小波,即Daubechies 小波(db 小波。下面用db 小波中最简单的 db1小波,即Haar 小波为例来阐述两通道滤波器组和离散小波变换的内在联系,并用滤波器组结构来实现离散小波变换的分解和重构,如图3所示。图3Haar 小波函数、尺度函数及其所对应的滤波器系数和频率响应Haar 小波的尺度函数(t ,小波函数(t 以及对应的滤波器组如下:(t =10t 1其它(t =10 t 1/2-11/2t 1其它h 0(n =12,12 h 1(n =12,-12为简单起见,设定要分解的信号为a ,b ,分解和重构的过程如图4所示,从图中可以清楚地看到Haar 小

14、波实现信号分解和重构的全过程。图4Haar 小波实现的信号分解和重构3共轭正交滤波器组系数和小波函数既然离散正交小波变换可以用共轭正交滤波器组的树状结构来实现,那么由这对滤波器组系数构造出的小波的特性和滤波器组系数特性之间有什么关系呢?1正交性:如果h 0(n 和h 1(n 满足(8、(9和(10式的正交性,那么由它们递推出来的尺度函数(t 和小波函数(t 满足下面的正交性,因此称共98第27卷第2期卢山等:两通道滤波器组和离散序列的小波变换轭正交滤波器组实现的小波变换是正交小波变换14。(t ,=k ,=k ,=02有限支撑:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是FIR

15、 滤波器,那么递推出的尺度函数(t 和小波函数(t 是时域有限支撑的14。3对称性:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是线性相位的滤波器,那么构造的尺度函数(t 和小波函数(t 是对称或反对称的。从前面的推导可知CQMFB 中各滤波器均不是线性相位的,因此构造的db 小波也不满足对称性,如果要构造对称或反对称小波,只能牺牲正交性,取而带之双正交关系19。从这3条对应关系,可以看到,要设计的正交小波的特性,完全可以通过对其所对应的共轭滤波器组加以相应的约束来实现,而满足一定特性的滤波器组设计又可以归结到半带滤波器P (z 的设计上。4应用举例这里给出用db12小波对心电信

16、号进行分解和重构的全过程,这是提取心电信号各频段的成分的一种很简便的方法,这个过程完全由db12小波所对应的共轭正交镜象滤波器组来实现。为简单示意只对原始信号进行2层分解和重构。db12小波所对应共轭正交镜象滤波器组的如图5所示,分解滤波器h 0(n 和h 1(n 与综合滤波器g 0(n 和g 1(n 的幅频特性显然满足(7式的功率互补关系。分解得到的第1、2层细节信号和第2层概貌信号如图6所示,最大重建误差为7.133210-14,可以看到分解的层数越高,信号的频段划分越细致。如果对分解后的信号进行一定的处理:如编码,调制,那么就可以实现信号的压缩和远距离传输了 。图5db12小波函数、尺度

17、函数和对应 的滤波器组及其幅频特性图6心电信号的2层小波分解与重构5总结从多抽样率信号处理的角度描述了离散时间序列的正交小波变换实现途径和正交小波的设计方法,它是通过树状滤波器组对信号频带进行逐层分解来实现多分辨率分析的,正交小波的设计由于可以通过它所对应的共轭正交滤波器系数来递推,把设计要求最终放在了半带滤波器P (z 的设计上,最后举例说明了小波变换通过滤波器组来实现信号分解和重构的全过程。参考文献:1ING RID DAUBECHIES.Where D o Wavelets C ome From ?APersonal Point of View J .Proceedings of the

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