《金融数学》（2－1）等额年金

1、编辑ppt1等额年金等额年金(I)（Level Annuity）孟生旺中国人民大学统计学院编辑ppt2年金（年金（annuity）最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。现在的含义：一系列的付款（或收款）。编辑ppt3年金的类型年金的类型按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（

2、Annuity-immediate） 。 按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金（deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。 编辑ppt4本节主要内容（等额年金）本节主要内容（等额年金）期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity） 编辑ppt51、 期末付年金期末付年金（Annuity-immediate） 期末付年金的含义：

3、在 n 个时期中，每个时期末付款1。101123n-1n111编辑ppt6的表达式的表达式n期期末付年金的现值记为 ，a表示annuity，i表示每期的实际利率（可省略）。在第1个时期末付款1的现值为 ，在第二个时期末付款1的现值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为 ，故na| n iav2vnv(1)1nvvv2nnavvv1nvi期末付年金的现值期末付年金的现值na编辑ppt7 期末付定期年金的现值期末付定期年金的现值 1nnvai编辑ppt8的表达式的表达式n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 ， i 表示每期的实际利率（可省略）。在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二

4、个时期末付款1的积累值为 ，第n个时期末付款1的积累值为1。ns| n is1(1)ni2(1)ni11 (1)(1)nnsii 1 (1) 1 (1)nii(1)1nii期末付年金的累积值（终值）期末付年金的累积值（终值）ns编辑ppt9期末付定期年金的终值期末付定期年金的终值 (1)1nnisi编辑ppt10一些等价关系式：一些等价关系式：（1） 含义：含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为 。在第n个时期末，收回本金1，其现值为 。（2） 含义含义：积累值等于现值乘以积累因子。 1nniav(1)nnnsainianv1iii10编

5、辑ppt11（3） 证明：证明：(1)(1)1nniiiii11nnias1(1)1nniiisi 11nniva(参见下页图示）参见下页图示）编辑ppt121na0n11na1na1naiiiii+111ns1ns1ns1ns编辑ppt13例例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为9，试对下面三种还款方式比较其利息总量。本金和利息在第10年末一次还清；每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。在10年期内，每年末偿还相同的金额。问题：请先推测大小？编辑ppt14解：解：（1）贷款在10年末的累积值为 利息总额为1000（2）每年的利息为90万元，利息总额为 1090

6、900101000 1.092367.36编辑ppt15（3）设每年的偿还额为R，则 解得 故利息总额为155.82101000 结论：结论：偿还越迟，利息总量越高。101000Ra155.82R 编辑ppt162、 期初付年金（期初付年金（annuity-due） 期初付年金的含义期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。 1 1 1 1 1 0 1 2 3 n-1 n 编辑ppt17期初付定期年金的现值期初付定期年金的现值 编辑ppt18期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值编辑ppt19记号 表示期初付年金的现值，i 可省略记号 表示期初付年金的积累值，i可省略| nia

7、 11nnavv 111nnvvvd(1)1(1)(1)1niii1(1)1(1)nii(1)(1)nnsii(1)1nid| nis 编辑ppt20 和 的关系 （1）（2）| na | ns |(1)nnnsai11nndas（显然）（证明见下页）编辑ppt21证明：证明：1(1)1nndddsi1nndvdv11nndva（参见下图解释）编辑ppt221na 0n11na 1na 1na dddd111ns 1ns 1ns d编辑ppt233、期初付年金和期末付年金的比较、期初付年金和期末付年金的比较 期末付年金 期初付年金1(1)1nnnnvaiisi1(1)1nnnnvadisd编辑

8、ppt24期末付年金与期初付年金的关系期末付年金与期初付年金的关系（1）（2） |(1)nnai a1211()(1)nnnnavvvvvi av |(1)nnsi s1(1)(1)(1)1(1)(1)nnnnsiiiii s编辑ppt25|1|1nnaa 1211|11 ()1nnnnavvvvva （3）（下页图示）（下页图示）说明说明: 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 (n 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n 1) 次付款的现值为 。na 1na编辑ppt261Present value1nia+编辑ppt27|1|1nnss1|11(1)(1)1(1)(1

9、)nnnnsiiiis （4）1111n期1编辑ppt284、延期年金、延期年金（deferred annuity） 延期年金的含义延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个mn期期末付年金扣除一个m期的年金。延期年金现值为|mmnnm nmav aaa编辑ppt29例：例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。编辑ppt30年金的现值等于27|9|2|v aaa也等于37|10|3|v aaa编辑ppt31此年金在第12期的积累值等于37|10|3|(1)siss也等于27|9

10、|2|(1)siss编辑ppt325、永续年金、永续年金（Perpetuity） 永续年金永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。记号记号 表示期末付永续年金的现值。永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期支付利息 ，本金持续进行投资。23|avvv|a1i11ii11vvi|11limlimnnnnvaii编辑ppt33记号 表示期初付永续年金的现值。|a2|1avv |limnna111 vd1limnnvd1d编辑ppt34n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：第一个是每年末付款1，现值为 ；第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值为 ，因此 n

11、年的期末付年金的现值等于1invi11nnnvvaiii（参见下图）编辑ppt35现金流时间图现金流时间图11nnnvvaiii编辑ppt36年金公式比较年金公式比较年金年金定期年金定期年金永续年金永续年金现值现值积累值积累值期末付期末付期初付期初付1nnvai(1)1nnisi1ai1nnvad(1)1nnisd1ad编辑ppt37例：例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7，确定三个受益者的相对受益比例。编辑ppt38解解：10万元每年产生的利息是7000元。A所

12、占的份额是 B所占的份额是 C所占的份额是 10|70007000(7.0236)49165a20|10|7000()7000(10.59407.0236)24993aa|2017000()7000(10.5940)258420.07aa编辑ppt39从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49，25和26。注：注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于201100000258421.07编辑ppt406、可变利率年金、可变利率年金问题：问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， 分别表示第1，2，t 期的利率。如何计算年金的现值和

13、累积值？tiii，21012n-1ni1i2in编辑ppt41例：例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它在第2年的利率按什么计算？l以它投资时的利率i1计算以第二年的利率i2计算012i1i21?编辑ppt42期末付年金的现值期末付年金的现值111112|(1)(1) (1)naiii解决途径：解决途径：1、每笔款项以经历时期的利率计算、每笔款项以经历时期的利率计算11112(1) (1)(1)niii012n-1ni1i2in1111编辑ppt43期初付年金的现值期初付年金的现值111112|1 (1)(1) (1)naiii 111121(1) (1)(1)niii012n-1n

14、i1i2in1111编辑ppt44期末付年金的累积值期末付年金的累积值1|1(1)(1)(1)nnnnsiii12(1)(1)(1)nniii012n-1ni1i2in1111编辑ppt45期初付年金的累积值（请大家写出）期初付年金的累积值（请大家写出）1|(1)(1)(1)nnnnsiii11(1)(1)(1)nniii012n-1ni1i2in1111编辑ppt462、每笔款项都以其支付时的利率、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（计算（了解了解）期末付年金的现值期末付年金的现值期末付年金的累积值期末付年金的累积值nnniiia)1 ()1 ()1 (2211|012n-1ni1i2in111121121|1(1)(1)(1)nnnnsiii 编辑ppt47期初付年金的现值期初付年金的现值期初付年金的累积值期初付年金的累积值nnnniiis)1 ()1 ()1 (121| )1(12211|)1()1()1(1nnniiia 012n-1ni1i2in1111编辑ppt48注：注：1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）： 2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次