二,实变函数与泛函分析课后习题答案book版1

1、第一章可测函数§1.1第四章可測函数练习题习题1.1.1证明：/(勾在£上为可测函數的充要条件是对任一有理數r.集£/ > r】可测.如果集ef = r可測，问/gr)是否可測？证明分析：根据可测函数的定义wr.£|/>f为可i则集，则函数/为可测 函数.由题怠知道.对于打理数ref > r可测.那么问题就足如何将己知的有 理数转化到宋知的实数上，那么就可以采用冇理数在实数屮例帟的特征，任何 个丈数都可以用打理数进行迪近的办法然后利用可测圯的运灯性质的到ffl妓的结果.通参pw a，躑中的 *£(/ > rj j <

2、;£(/ > r.hnt < k证明：»对任意有理数r,ef>r可測，则对任意实数(t.记为大于a的-切 有理数.则有£/ > a j elf >，由£/ > nj可测得£/ > a】是可测的.所 以/(x) &e上的可测函数z"1若对于任意的有理数/；幻/ = d可测，w>jf(x)4<一定是可测的.例如.e =(-00.00).z为£中的+可测集.对于任意x z.fx) = x z. f(x) = 则对任意 冇押数r，£【/ = r = 0s 4测的

3、.lw£/ > v2 = z为不叫测的.冈此/足不4测的.习题1.1.2上的可测函教列，证明它的收敛点集和发散点集都是可測的.证明分析：写出收敛点集和发敗点集的组成结构.结果一h 了然. 证明：由p82定理6,hm/；(x)|nh f(x)都是£ h的可测函数，显然，= +-】是收敛到+oo的点组成的集，而elfn(x) = -00】是收敛 到-co的点组成的集合的小收51成的集.w此右在£ k 的收敛的点组成的®为£ - elim(x)| = +00- £h/n(x) = -00】-> limmw而，由可测集的运知，收敛

4、点集为可测槊.ft«>同样对于发散点组成的ft a为eimmx) = +o0u£h fn(x) = -00 _ "一00 jehfn> lim fn也是可测集.第一章可测函数习题1.1j设£为0,1】中的不可測集,令 x ，x e £, fw =x 9 x e 0, 1 一问/在0,11上是否可测？ |/«|是否可測？证明:不可测.荇0 £，则£/ >0= £不可测.苦。t £，则£/ >0 = £不可 测.综上，/«为小可测函数.当xo,1

5、时，f(x) = x&连续函数，所以i/wi在0,1上是可测的. 习题1.1.4设人w(m=1.，)是£上4.有限的可测a數列，而|人 “，收效于有 限函数/,则对于任意的6 > 0,存在常敦c与可测集foc£, m(e - eo) < f,使在e(>上 对一切n 们/(x)| < c.这里< oo.证明：山题意，efn - oo.efn都是空fjefn = oolplljmei = 0.而在e-£|上爲都是有限函数.且收敛f(x).令£2 = e-ef,则任意x e e2, supfn(x) < 00.因此0

6、0e2 = je2lfn<kt(11)m n2|supfn <kc £2supla| <* + l nn所以= jirn mejisupfn < m.w此存在知使- me2supfn h < 6.令£0 = 2lsup lfn s 岣，=io.在eo上，对任而nm(e - eq) = m(e - e) + m(e2 一 o> < .证明：使用叶戈洛夫定理和&津定理來证明.这个证明较为洋细.由题怠显然有m£ > 0,不妨sm£ < +00(否则任取£屮满足0 < mei <

7、 00的了 來代铃£.>依题意i殳人co在£上几乎处处收敛，社其极限函数为/«.即 fn(x) -» f(x) a.e. 'e(n -» 00).(1.4)从而由叶戈洛夫定理，对d = > 0.3£d c三使得(i)m(£ - £d) < <5 =即m£d > -m£(1.5)第一章可测函数(16)(h)to h一致收敛 j7w，另外，在&上使用肖津定理，对=学>0.由鈐津定理，存在闭集fae6t使得(i)m(f6-f)<6=芽，即mf

8、> 字；(1.7)在f连续.于是3w > 0, s.t. f(x) < m(x f).(1.8)iii i fix)在ft 致收敛到/，故办在f上也一致收敛 f(f q &)，所以存在f 然数队当/i>/v时，有iz, w - /(x)| < l(x f).(1.9)从而有(1.10)l/a(x)|<|/(x)|+l,(n>mxf).即vx当n>at时，|ji(x)|sm+l.在考虑i翩中的前況个，fn(x).因为炯f = i，,aq几乎处处 有限，故me【w| = +oo = 0(i =l"，a0.而0o efi = +co

9、= jefi>k(ml)且ewfa > 幻 2 ewfa >k .(i = 1，.，况>(1.12)从而，(1.13)u.14)lim tnefi > k = meqfil = +oo = 0.故对于毎一个i(f = 1，w), %,使得izi > < 盖取ao = maxkf - ,b，则> ko < 芸(i= i，."，n、(115)(116)nx £wi >i-1mf . mf第一章可测函数#故只需令neo = f efi > d，= muxm + 1為|, i-1且在£0 c f上，对一切n

10、均有c.习题1.1.5设m£<oo.若/是£上<.有限的可测函數.证明对任意<>0.存在& c £和af > 0,使得m(£ - ea) <么且对任意戈 edtf(x) m.命题1.1.1设me <的,若爲ft)是e上存限的可测函数，证明对任意d>0,存在edc £：和af > 0,使得m(e - es) < 6.且对任意文 e6,fn < m.证明：不妨设£为有界集合，即me<oo,b.fn(x)(ne为实值.因为= 1 lxee : sup|/；(x)

11、| <k. am必(1-19)lini mx e e : supfn(x) <= menil/(120)所以存(1.使得m (|x e £ : sup>me-6(121)从而令= (x e : sup |/t(x)| 彡m = k0nil(1.22)则 m(e-e6)<6,1/twi £ m (nelneeo).在习题ll4和命题l1.1的提尔下，解决习题u.5证明：利用前一题的结论将取成冋一个函数，采用相冋的方法即可. 不妨设£为有界集合，即me < oo.hf(x)为实值.因为 opw£ = lj|xe: sup |/u

12、)| <m = u £hsup fw < k,(1.23)*-l*-l山f关于变量jt*sup |/(x)| <* c £*+l|sup!/(-»)! <kl(1.24)第一孝可测函数7第一章可测函数从而说明集合列|£*|单调递増的，u存在极限为 lim m(x e e : sup |/(x)| < k) = me(1.25)a_>oo所以存在使得 m (x e : sup f(x) < ko) > me - 6(1.26)从而令es = xee: sup< ao|，m = ko(1.27)刻m(&#

13、163; - e6) < 6, |/(x)| <m (xe £0). 这是i正法2证明：由&津定理知，3闭fscetm(e-f6< s.t.f(x)在心上是连续函数. 记f* =心门为空叫的维数.则说明集合列ifu随份的增加而逐渐的趋 于心.从而有心=u 且lim m(fjeila - f*) =- mfk)=mffi - lim mf(1.28)身一»oo(1.29)(1.30)由等式(1.28知3知,jj,拊(心-从而由等式(1.28)、<§1.1>知，fkq = fscl-k0n为闭集且有m(e - f) = me -

14、fs) + fj) < 6> 0,5.r./在上6 =心上有|/i < w成立.习题1丄6 ilf(x)是(-co,<»)上的连续a敎，汾)为|cz,w上的可測函敎，则f(x)也 是可测函數.证明：idei = (-00,00),£2 = «.利.由于y(x)在£1上连续，故对于任惫的实数c.el/ > d是直线上的开集.ifteitf >d= u其屮是其构成区间(可能是 »=1有限个，可能是-oo.凡可能为oo).因此£2/> c = u 2(qn < g < fin)= n-1

15、u(2 < < 凡)】),由于在&上可测，因此2k > n,e2g<m都可«'j.故ef(g) > c可测.习题1.1.7设兩数列办( = 1，)在有界集上£上基本上一致收敛于/ft),证 明弁.e.收效于/.证明分析：“基本上”一致收敛是对于任意的> 0,存在可测集 c £，使m(£ - es) < 而久在&上一致收敛丁/.收敛除棹一个苓测度集命题成立.证明：w为在有界集上尺上“基本上”一致收敛于/w,所以对于任意的<5 >0.存在可测集& c三使m(£ -

16、 e6) < <$而人在£d上一致收敛于/(x).®eo是e中不收 敛点的全体，则对任怠<5,eoc£-£d(冈为认f收敛)，所以m£0 m(e - ed) < <5,令<5 -* 0,得m£0 = 0.所以人在£上心.收敛f不必有有界的条件).习题1.1.8试证鲁津定理的逆定理.证明分析：芮先描述一下ft津定理的逆定理是说的什么？ /co是£上的确 数，对任意的<5>0,存在闭c e使/(x)在£<5上是连续函数，jlm(e - erf) <

17、灰则/是eka.e.有限可测函数.证明：对任意的存在闭子集么c £.使/(*)在上连续且(1.31)令£o =u则对任意的久书meo =- u < m(e-en) < 令” -»”1n-l /oo.wmeo = 0.且£ = (e-eo)uo=(uu)= u 么.对任®实数ef > a= «-1 / >1-0eolf > «1u(uj(/>).h4于/在上连续，可知enf > a可测，而m-(e0/ >a) <= 0,所以a/ > ci亦可测，从而£/ &

18、gt; </】是可测的.因此/是可测的.因为/在£上有限，故在g &上有限，所以/co.有限./|=0 习题1.1.9设&数列其在£上依测度收敛于/.-fl-a(x) < g(x)仏4?.于e./i= 1,2-，试 <札0在£上jl乎处处成立.证明分析：汽嫌照依测度收敛的定义写出符合题息的数.7 证明：rtltjn(x)=> /w.则存在c，使aw在£上<1，收敛到/w.seo是小 收敛到/'的点集.en = efn > g.则m£o = 0.men = 0.m( ij en <

19、 z men = «-0 i «-00.嫩敛 jv(x)，所以/(at) = limfx) < x)e -u £；上成立< g(x).e上儿乎处处成立. fl-0习题 1.1.10 设在e±fn(x) => f(xlslfn(x) <乎处处成立，n = 1，2，.“ .则几乎处处有ag)收敛于/(幻.证明分析：巾于前提条件是依测度收敛，结论是a.e.收敛，所以考虑使用 里斯定理(依测度收敛和.收敛之间的关系).证明：巾i mx) => /测存在c使/在f i收敛到/w没小oo汛u£”收敛到/w的点粜.en = ef

20、n> fnmmeq = 0tmen = 0.因此op <jm£=0.(1.32)在£-u 上a(x)收敛到/w且aw是中.调的.w此aw收敛到/(x).(申调序列的 h-0子列收敛，则序列本身收敛到冋一极限.)即除掉一个零集g圮外，人收敛 «-0 于就是乔(x)收敛到/(4习题1.1.11设在£上么f(x),而aw =心(at) «.e.成立，n = 12.,则有如： /w.证明分析:我们i果本上p93定理3说的是“没6:£上品0> fxn(x) g(x),n = 1.2.则<or) = gn(x)成立.所以这

21、个是改变了一卜证明的次序.方法还是一样的.所以相应的这个果合的包介关系该怎么选取是证明的关键.结合课 本p93的三点不等式可以很容s的选择出所耑耍的集介包含关系.证明：vien = ef* w>n(u e”) <len= 0.对任意的cr > 0£/-g”| > a c n=0n=0拉如£【1/-/4所以(1.33)=11/ 一尺i 之 tr.m=> /w,所以0 < lunm£|/-办i > a) <2 a】=0.即办=> f(x).曇mr釁习题1.1.12设me < oo.iie明在e上fn(x) =

22、> /(x)的充要条件是，对于的任何子 函數列l4j,存在ia1的子函數列iaj.使得化久=/w “.e.于£. 证明：必耍性由里斯定理立即可以得到.下证充分性.<=ifn(x)在£上小依测度收敛与/.则存在伽> 0,使得数列mefn - f > 恥不收敛于零，故存在正数句>0,以及子函数列<人丨使得meufm - /i > /ol > eo > 0.(1.34)但在f函数列(aj屮不介:在儿乎处处收敛f/(x)的f函数列.中实上，芯有f响 数列在e上.收敛丁/，因< +00,则由lebesgue定理.在e上|人|

23、 => /，这 与(1.34湘矛盾.习题1.1.13设m£ < oo，a.e.有限的可測a数列aw和«w，w = 1，2,.分别以测度收效于yco和扒a),证明：(1) jh(x)(x) => f(x)g(x);(1.35)(2) m + gn(x) => /(x) + g(x);(136)(3) .mm(/n(x).xn(x)| =>(1.37)maxfn(xn(x) => maxf(x)tg(x).(1.38)是示：(1>可用习題(1.1.12>iie明或用公式+ b)2 -(“ -以首先证明f (x)依测度收效于戶.其体

24、证明第一章可测函数可以自己做.me = 00时童h果有可能不成立”) = =oollle|/| ef>/!+ 11 和 e|/| > lc e,mefl > 1 me < 00,所以；ne|/= oo| = lim £| >n = o.|“j理fl-* 00证明：(1).由于/w “.e.有限，所以me|/| = 00 = 0. u ef(1.39)对任总6 > o,cr >> ar < 5 和wi£|j?| > k < |l“)时成 ft.令 cr0 = /mn (2, 1 ),1 11 tf =>

25、f.g => 在 n, s.t. n > /v 时，megn - | > (to <<ro < f 同时成立.此时elgn >a：+1c eg > kjegn-g > 1 c ex >|j egn-g> a0对(1.40>取测度且由测度的単调性有*+1 meg >k + megn-g croelgnfn - gnf>yc e| 乏人 + 1| u2(tti)c egn > k 1j efn - f > ao 1megnfn -gnf> - < megn >k+ mefn -f>

26、;crq 2e 6 3eewfgn-/«l>yc ell/i >+llu egn - gl > cef>kljegn-g>aq(1.40)(1.41)(142)(143)(1.44)吟矿，印fa - fl i ，0 .< jmi1)第一章可测函数#(1.45)(1.46)(147)< 6,所(148)(1.49)(1-50)(1.51)meufg" - fg < mef>i + megn 一 g| 之(r0】 6 6 26又enfn - g/| egnfn - gnf 乏 口 efhn - /g| y mewgnfn -

27、gf>< megnfn - gnf > + mefgn - fgl > 3c 2c<5 + 5=e即对 t任怠的e > 0，(r > 0,存在n, s.t. n > af吋，megngn - gf > 以 g”f” => gf-(2).e(fn + g”)_ (/ + g) ><rc efn-/|> egn _ 尺| > $】， 所以对(1 麟 测度i 1有测度的单调性得e(fn + 办> _ (/ + 8)ewfn-/|> + megn -g>.然后对(i.49)取极限(n -* co)li

28、m e(fn +”)-(/ + 龙)| >a< lim mefn -/|> n->oon-*oo2+ lim megn - g > n*<»z=0即+ 8" => f + g.先证若a =>=> lfl.有实上：ewfnefn - 1/1 > (t，所以对(1.51>去测度和极限即 izj => 1/|.再证若对于任s的实上，因ewafn 一 af>(r = efn-f>-(1.53)a所以对(1.53)取极限有lim efn-a/|(r= lim £(iz» -/i =

29、 0(1.54)0).山t取极小仉和s大值可以有以及其绝对tfi來进行衣示，山 毎个函数列依测度收敛，进行运算，故可以得到_迦*)1 =加)广-i.(1.55)从而由(1.36)、(1.52)、<1.54)依次得aw +办w => /(x) + f(x).a(x)-(x) => /(x)- gm9fn(x) - gn(x) => |/(x)-g(x)|，同理再由(1.36). (1.52)得ziw + 心-l/nw- gn(x) => f(x) + 发(x) - |/(x) - g(x) 从而minfn(x)9gn(x) => minfn(x)9gn(x)对

30、于(1.38)的证明也是一样的.由m ziw + gfim + fn(x)-gn(x) maxfn(xf!n(x)=.maxfn(xgnx) => nuixfn(xgn(x)(156)(1.57)(158)(1.59)习题1.l14设encejn(x)=xem.其中对任意人i正明:(l).lawi在£上一致收致于/co的充要条件是:第一車可测函数存在 对任意 n > n.efn-/|>0 = 0,lim m(2)仏(川在£上基本一致收敛于/的充要条件是: £ (l/-/nl>oj = 0n重ninu£i/-j«i>

31、o =0.仏(x)|在£上似.收敛于/c0的充要条件是： oo oo/v=l n=jv/(4) .(a(x)|&e上依测度收敛于/(x>的充要条件是:lim mef-fn>0l=0. n证明分析：由于特征函数的取伉足i成?ta由i果本例题poo例题1,我们可以 知道这种特征函数的收敛+列只能有两种情况.所以证明可以取定这个收敛的 函数为1來证明.当然对丁收敛到o的悄况是类似的.综上，这样就可以说明是收 敛到了收敛函数/ct)那里了.对丁鉍后的结论里的efn -/| > 01这种结构可以参 考课本例题p90例题1的证明过程，最后得到的结果就是e-£n

32、.不论是£«上的取 值是1或0.证明:(1).由题设仏(刈在e上一致收敛于/(x)，即对 = 1 > mn > nyx £.|ter - i| < .由 'xe = 1 成= 0.1人1此 hfihvn > n,xek = 1 成、/.，否则便有|0 -1|< 矛盾.即3/v, s.t.n >n，en = e,即£|仏/| > 0 = 0.反之.if3, sm > n，efn-f >0 = 0,即£ = £，满足尺(文)=l,vxen = £.这 时必有 _在&#

33、163;上一致收敛于1.(2)、(3).提示：泞先写出祛本上一致收敛和.收敛的定义，然后利用£乂- /i > 0 = e - &的等价写法即可.(4).若厶(x) => 1.则 > 0,3cr= |.3n.vn > n,mefn-l > | < .但是,mefn- > = e-enm，对i.式取測度和极限以及f的任意性有lim m(en-e) = 0.结 合结论(1)有 lim mf - /j > 0 = 0成立.n反之，vft(0,l)，£|-l|2(r】 = e-，因此，由上一步的证明结果，(1.60)lim me

34、fn - /| > 0 = lim m(en - e) = 0第一車可测函数15习题1.l15设lfn(x)e上有i1氏可測函数列且m(e)<oo,求证：lim fn(x) = 0在上 n*oo几乎处处成立的充要条件是在£上，gn =>0,其中gn(x) = sup fk(x).k>n证明分析：以下证明分別从两个方面來讲述定理证明的过程.一个利用所 学过的lebesgue定理和risez定理來进行证明.第二种证明采用较为ft接的证法， 即上述定理的证明过程中所用到的方法和原理來证明.较为®耍的一点是耍看:二 到所涉及的定理如何根据题总來进行运用和题总

35、屮的确界如何在依测度收敛二.的之和a.e.收敛之间的转化.证明：由 fn -* 0 a.e. te t,从而izj -* 0 a.e. j* e i:也 l"j时成 t.hin fn(x) = lim sup iawl) =。.于 e上.令办w = raplawi.由(1.61)知办-» 0 a，于£上.从而利用勒贝格定理2知办=> 0反之，tign => 0则由里斯定理得办抑-» 0 u.e. j £上jhgn = sup fk(x)的定义 知，fn(x) <从而得-> 0 a.e.于£证明：a ill li

36、m fn(x) = 0在£上儿乎处处成立，设人ct)在£上的不收敛子；的点 >00为£0 = lim fn(x)本 0,则£*o c e%meo = 0.从而，lim fn(x) = 0,vx e e - eq.令 +收敛到/点的介可以衣示为£o = u n u iiz.1 > i】.由题.s:知对丁-hm定 £(lai>ll) = o.ih fuu/nn/i=n+l的夾./noo.w此由单调递减粜列极限的测度等于巣列测嗖的极眼， > |)| = (00£|/.| > j 对于任意正数a>

37、 0和任意正数i存在外，使得| < ?.lim'r efn > < limmefn> .k= 1.2. -a.m(e)<« »i a »<-n>i) t _|2蠓，.叫1批=0=0(162)(1.63)(1.64)egn, > <7】=egnk > (t c egfh > 1 =fi'lsup ia(x)| > 姚2oo=u iiawi > yl第一章可测函数#对(l64)n =久两端取测度和极限利用(1.63)冇lim meg >(r= lim m n»oo>oooo u f_ > ?j kn(1.65)=0由(165)说明如。<=>o,rti依测度收敛的定义知vhin+,jim melgn > xrl = 0. nm£k(1.66)«i«|j efn >c|j efn > =egn > 士 11 ls&