线面垂直与面面垂直学生版

1、第3讲线面垂直与面面垂直考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理， B级要求；2.运用线面 垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求.知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与一个平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.(2) 判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直 线与此平面垂直?l丄a性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行?a / b2 平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面

2、角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2) 判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直? a丄性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面?l丄a诊断自测1.判断正误(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则I丄a ()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.2给出下列命题： 如果平面a丄平面B，那么平面a内一定存在直线平行于平面 B ； 如果平面a不垂直于平面B，那么平面a内一定不存在直线垂

3、直于平面 B ； 如果平面 a丄平面丫，平面B丄平面Y , a G B =丨，那么丨丄平面丫 ； 如果平面a丄平面B，那么平面a内所有直线都垂直于平面 B .其中错误的命题是 （填序号） 3. （2016 浙江卷改编）已知互相垂直的平面a，B交于直线I，若直线m n满足m/ a， n丄B ,给出下列结论： mil I : mil n；n丄I :mln.其中正确的是 （填序号） .4. （2017 盐城模拟）设a , B，丫为互不重合的三个平面，I为直线，给出下列命题： 若a / B， a丄丫，贝丄Y； 若a丄丫，B丄丫，且aGB = I，则I丄Y； 若直线 I 与平面 a 内的无数条直线垂直，

4、则直线 I 与平面 a 垂直； 若 a 内存在不共线的三点到 B 的距离相等，则平面 a 平行于平面 B .其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)5. (必修2P42习题16)在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0, 若P心P吐PC则点0是厶ABC的心. 若PAL PB, PB丄PC PCX PA则点0是厶ABC的心.ABCD考点一 线面垂直的判定与性质【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中, PA!底面AB丄 AC, ACL Ct, / ABC= 60°, PA= A吐BC E是PC的中点.证明: CCL AE(2) PD丄平面ABE规律方法 (1)证明直线和平面垂

5、直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(a/ b, aL a ?bL a )；面面平行的性质(aL a , a / B ?aL B )；面面垂直的性质(aLB, aGB = a, I 丄 a, l?B ?l La ).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此， 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】(2017 泰州期末)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点,且AD= DB点C为圆O上一点，且BO AC, PDL平面ABC PD= DB求证：PAX CD考点二面面垂直的判定与性质A吐 2DE G, H【例2】

6、（2015 山东卷）如图，三棱台DEI ABC中, 分别为AC, BC的中点.求证：BD/平面FGH 若CFX BC, AB丄BC,求证：平面BCDL平面EGH 规律方法 （1）证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.（2）已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化 为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】如图，在三棱锥P- ABC中,平面PAB1平面ABCPAXPB, M N分别为AB, PA的中点.求证：PB/平面MNC若AG= BC,求证：PAL平面MNC 考点三平行与垂直的综合问题（多维探究） 命题角度一平行与垂直关系的证明

7、【例3- 11(2016 江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，D, E分别为AB, BC的中点,助线进行线点F在侧棱BiB上，且BD丄AiF, AC丄AB.求证：直线DE/平面ACF；平面BiDEL平面ACF.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度二 平行垂直中探索性问题【例3-21如图所示，平面ABCL平面BCE四边形ABC助矩形，BC= CE点F为CE的 中占卜得PMLI 八、(1) 证明：AE/平面BDF(2) 点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使

8、BE?若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问 题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】(2017 南通调研)在如图所示的几何体中，面 CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB/ CD AC=, AB= 2BC= 2, AC丄FB求证：ACL平面FBC求四面体FBCD勺体积； 线段AC上是否存在点M使EA/平面FDM若存在，请

9、说明其位置，并加以证明；若 不存在，请说明理由.思想方法1 证明线面垂直的方法： 线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直?aL a ；判定定理1： ?l La;判定定理2： a / b， a丄a ?bL a ；面面垂直的性质：a L p， aGB= l，a? a，a丄l ?aL B ；2. 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a? a， aL p ? a L p .3. 转化思想：垂直关系的转化易错防范1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂

10、直于交线而盲目套用造成失误4在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化 .基础巩固题组（ 建议用时： 40 分钟 ）一、填空题1 . （2017 南京调研）对于直线I , m平面a , n? a,则“ I丄m”是“ I丄a”成立的条件 （ 从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个）.2. （2017 深圳四校联考）若平面a , B满足a丄B , a G B = I , P a , P?l，给出下列命题： 过点P垂直于平面a的直线平行于平面B ； 过点P垂直于直线I的直线在平面a内

11、； 过点P垂直于平面B的直线在平面a内； 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面 B .形的个数D, E分别其中假命题为（填序号）3如图，已知PU平面ABC BC1 AC,则图中直角三角为4. 在正三棱锥（底面为正三角形且侧棱相等）P ABC中, 是AB, BC的中点，有下列三个论断： ACL PBAC/平面PDEAB丄平面PDE其中正确论断的序号为5. （2017 苏北四市联考）已知a , B是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，I丄 a , m?B.给出下列命题： a / B ?l 丄 m a 丄 B ?l / m m/ a ?l 丄 B ； I LB ?m/ a .其中正确

12、的命题是（填序号）.6如图所示，在四棱锥P ABC冲，PAL底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上的一PCD只要填ABC的斜边直的两个平动点，当点M满足寸，平面MBD_平面写一个你认为正确的条件即可）.7. （2017 徐州检测）如图，以等腰直角三角形BC上的高AD为折痕，把 ABDHACD折成互相垂 面后，某学生得出下列四个结论: BDL AC； 厶BAC是等边三角形; 三棱锥D- ABC是正三棱锥; 平面ADCL平面ABC其中正确的是（填序号）8. （2016 全国U卷改编）a , B是两个平面，m n是两条直线，有下列四个命题: 如果ml n, ml a , n / B ,那么a丄B

13、； 如果mb a , n/ a ,那么mb n； 如果a / B , n? a ,那么m/ B ； 如果m/ n, a / B，那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有 （填序号）.、解答题9. （2017 苏州调研）如图， ABCP BCD所在平面互相垂直，且 A吐BO BD= 2,Z ABC中，底面=/ DBG 120°, E, F, G分别为 AC DC AD求证：EF丄平面BCG求三棱锥D- BCG勺体积.10. （2017 盐城模拟）如图，四棱锥P ABCD分别为棱求证：EF/平面PAD求证：平面PDEL平面PEC能力提升题组（建议用时：20分钟）11. （

14、2017 苏、锡、常、镇四市调研）设m n是两条不同的直线，a , B是两个不同的 平面： 若 ml n, n / a ,贝U m± a ； 若 m/ B , B 丄 a，贝U mL a ； 若 mL B , nLB, nL a ,贝U nl a ； 若 mL n, n LB, B L a，贝U ml a .上述命题中为真命题的是 （填序号）.12. （2017 南京师大模拟）如图，在正方形ABCDK E, F分别是BC CD的中点，沿AEAF, EF把正方形折成一个四面体，使 B, C, D三点重合，重合后的点记为P, P点在AAEF内的射影为O,给出下列结论：O是厶AEF的垂心；O是厶AEF的内心；O是厶AEF的外心；O是厶AEF的重心.其中结论正确的是 （填序号）.