分类讨论思想

1、高中数学专题复习二分类讨论思想 第二节 分类讨论思想在集合函数题中的应用 例 1已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素， AB 含有 4 个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数： . C AB 且 C 中 含有 3 个元素； . C A 。 【分析】 由已知并结合集合的概念， C 中的元素分两类： 属于 A 元 素；不属于 A 而属于 B 的元素。并由含 A 中元素的个数 1、2、3, 而将取法分三种。 【解】 C 112 C28 C122 C18 C312 C08 1084 【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的 前提是合理科学的分类， 达到分类完

2、整及每类互斥的要求， 还有一个 关键是要确定 C 中元素如何取法。 另一种解题思路是直接使用 “排除 法”，即 C203 C83 1084。 例 4设 a 为实数，设函数 f ( x) a 1 x 2 1 x 1 x 的最大值为 g( a) 。 （）设 t 1 x 1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函 数 m( t ) （II ）求 g( a) （III ）试求满足 g (a ) 1 ) 的所有实数 。 g ( a a 解析：（）令 t 1 x 1 x 要使有 t 意义，必须 1+x0 且 1-x 0，即 -1 x1, t 2 2 2 1 x2 2,4, t 0

3、t 的取值范围是 2,2. 由得 1 x2 1 t2 1 2 1 t 2 1)+t= 1 at 2 m(t)=a( t a, t 2, 2 2 2 1 at 2 （II ）由题意知 g(a) 即为函数 m(t ) t a, t 2, 2 的最大值。 2 第1页（共 5页） 高中数学专题复习二分类讨论思想 注意到直线 t 1 是抛物线 m(t) 1 at 2 t a 的对称轴，分以下几种情 a 2 况讨论。 （1）当 a0 时，函数 y=m(t), t 2,2 的图象是开口向上的抛物线 的一段， 由 t 1 0 知 m(t) 在 2,2. 上单调递增， g(a)=m(2)=a+2 。 a (2)

4、 当 a=0 时， m(t)=t, t 2,2 , g(a)=2 。 (3) 当 a0 时, 函数 y=m(t), t 2,2 的图象是开口向下的抛物线的一 段， 若 t 1 0, 2 ，即 a 2 则 g( a) m( 2) 2 ， a 2 若 t 1 ( 2,2，即 2 a 1 则 g( a) m( 1 ) a 1 ， a 2 2 a 2a 若 t 1 (2, ) ，即 1 a 0 则 g( a) m(2) a 2 ， a 2 a 2, a 1 2 1 , 综上有 g (a) a 2 a 1 2a 2 , 2 2, a 2 2 (III) 解法一： 情形 1：当 a 2 时 1 1 ，此时

5、 g(a) 2 ， g ( 1) 1 2 a 2 a a 1 2 由 2 2 解得 a1 a 2 ，与 a0 时， 1 0 ，此时 g(a)=a+2, g (1 ) 1 2 1 a a a 由 a 2 2解得 a 1 ，由 a0 得 a=1. a 综上知，满足 g (a) g( 1 ) 的所有实数 a 为 2 a 2 , 或 a=1。 a 2 点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 例 5设函数 f(x) ax 2 2x 2，对于满足 1x0 ，求实数 a 的范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最

6、小值等 值域问题，需要先对开口方向讨论， 再对其抛物线对称轴的位置与闭 区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。 【解】当 a0 时， f(x) a（x 1 ） 2 2 1 a a 第3页（共 5页） 高中数学专题复习二分类讨论思想 1 1 1 1 1 4 4 a 或 a 或 a 1 1 f ( ) a 2 2 0 0f ( ) 16a 8 2 0 1 f ( ) 2 4 a a a 1 或 1 a 1 ； 2 2 当 a 1 。 2 【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向 的二次项系数 a 分 a0、a0 时 将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区 1 4 间左边、右边、中间。 x 综合训练 2. 若 A x|x2 ( p 2) x 1 0， x R ，且 A R ，则实数中的取值 范围是（ ） A. p 2 B. p2 C. p 2 D. p 4 3. 设 A= x| x a 0 ，B x|ax 1 0 ，且 A B B，则实数 a 的值为 （ ）A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 1， 1 或 0 第4页（共 5页） 高