直线、平面垂直

1、全国名校高考数学优质课时专题训练汇编（附详解）第三讲直线平面垂直一、选择题1. 已知I, m是两条不同的直线， 条件中，能推出I丄m的的是（A.B.C.D.A组题a , P是两个不同的平面，在下列 ）a n 3 =I , m与a、（3所成角相等I, m在a内的射影分别为r, m，且1丄ma n 3 =I, m? 3 m丄 aa 丄 3, I 丄 a, m II 3【答案】.C【解析】A选项不能推出I丄m,比如直线m与两个平面都平行，当 然所成角相等，但m可能平行于I;B选项，比如正方体相邻两个侧面的对角线，它们的射影垂直，但它 们成60°的角；C选项正确，由条件可知：I是a P的交线

2、当然也是a内的直线，因 为m丄a，故必有I丄m;D选项不是I丄m不能推出I丄m,两个平面垂直，两条直线分别平行 和垂直于平面，直线可能垂直，可能平行或异面.故选C2. 如图，在RtmCB中，/ ACB= 90°,直线I过点A且垂直于平面ABC,动点P I，当点P逐渐远离点A时，/ PCB的大小（）ARICB .变小C.不变D .有时变大有时由于BC丄CA, I丄平面ABC,. BC丄I，故BC丄平面A .变大变小【答案】解析：选ACP,/ PCB= 90°,故选 C.m , n是两条不同直线，a, P是两个不同平 ） BC 丄 CP, 3.（优质试题安徽）已知面，则下列命题

3、正确的是（A）若O, P垂直于同一平面，则。与P平行（B ）若m, n平行于同一平面，则m与n平行（C）若a , P不平行，则在a内不存在与P平行的直线1 / 15全国名校高考数学优质课时专题训练汇编(附详解)全国名校高考数学优质课时专题训练汇编（附详解）（D）若m, n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A，若a, P垂直于同一平面，则CC , 可以相交、平行，故A不正 确；由B，若m, n平行于同一平面，则m , n可以平行、重合、相交、 异面，故B不正确；由C,若a , P不平行，但a平面内会存在平行 于P的直线，如a平面中平行于命题为 若m与n垂直于同一平面， 确所

4、以选D.4. m、n为两条不重合的直线，a 中正确的是（）若m、n都平行于平面a则m、a , P交线的直线；由D项，其逆否 则m, n平行”是真命题，故D项正B为两个不重合的平面，则下列命题n 一定不是相交直线；若m、n3互相垂直，m、0、都垂直于平面a则m、n定是平行直线；已知 n互相垂直，若m丄a则n丄（3;m、n在平面a内的射影互相垂直 则 m、n互相垂直.A.B.C.D.5 / 154. A【解析】错误，正确，故选A.5. 下列说法错误的是（）A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C. 如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每

5、两条直线确定的平面 也两两垂直D. 如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行【答案】D【解析】如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平 行、相交、异面.故选D.)C. AiDi6. 如图，0为正方体ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD的中心，则下列直 线中与BiO垂直的是（D. Ai CiA . A1DB. AA1【答案】D【解析】由题易知AiCi丄平面BBiDiD.又 BiO?平面BBQQ，所以 AiCi 丄 BiO.7. 已知m和n是两条不同的直线，a和P是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m丄P的是()A. a丄 P且 m丄 a B. a丄

6、 P且 m II a C. m II n 且 n丄 p D. m 丄n且n I p【答案】C【解析】依题意，对于 A，注意到直线m可能位于平面p内，因此 选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平面p内且与它们 的交线平行，因此选项B不正确；对于C,由定理若两条平行线中 的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直 ”得知，C正确; 对于D，注意到直线m可能位于平面p内，因此选项D不正确.综 上所述，选C.8. 在如图所示的四个正方体中，能得出 AB丄CD的是(A/ :广A【答案】A【解析】因为CBDB/世flc/i/znfi DCD丄平面AMB,所以CD丄AB; B中,AB与CD成60&

7、#176;角; C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为 近. 二、填空题n) a,p是两个平面，m,n是两条直线，有下列四如果m丄n , 如果m丄a , 如果a/P , 如果m/n ,n/P，那么a丄P .n .那么m/P .m丄a , nIla，那么m丄 mua ,X/P，那么m与a所成的角和n与p所成的角相等. .(填写所有正确命题的编号)9. (优质试题全国 个命题：(1)(2)(3)(4) 其中正确的命题有【答案】.【解析】利用正方体模型可得：错误，正确，正确，正确， 命题正确的有.10. 表面积为60 n的球面上有四点S、A、B、C,且MBC是等边三角形

8、，球心O到平面ABC的距离为屁若平面SABX平面ABC,则三棱锥S ABC体积的最大值为.【答案】27【解析】设球0的半径为R,则有4 nR2= 60n解得R=7T5.全国名校高考数学优质课时专题训练汇编(附详解)由于平面SAB丄平面ABC,平面SABA平面ABC = AB,所以点S在平面 ABC上的射影D在AB上,如图,当球心0在三棱锥S- ABC中,且D 为AB的中点时,SD最大,三棱锥S ABC的体积最大.设0为等边三角 形ABC的中心则00丄平面ABC，即有00/ SD.由于 0C= 715,00 = 73，则 C0 MC02 00'2 = 273,则D0 =73,则BC是边长

9、为6的等边三角形，则ABC的面积为 昼 >62= 9 73.4在直角梯形SD0 0中作0M丄SD于M,则0M = D0 = QM = 00 =声,二SD= DM + MS= # +十715)-(巧)=373，所以三棱锥 S ABC11.在正三棱锥P ABC中,D,E分别是AB,BC的中点，有下列三个论 断：AC丄P B;AC/平面P DE;AB丄平面PDE.其中正确论断 的序号为.【答案】【解析】如图,v P ABC为正三棱锥，二PB丄AC.又 DE / AC,DE?平 面P DE,AC?平面P DE,. AC/平面PDE.故正确.三、解答题12.如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿

10、对角线BE翻折,连接AC、 FD,形成如图所示的多面体，且AC= 76.CDABEF丄平面BCDE;AFCD(1) 证明：平面(2) 求三棱锥E ABC的体积.(1)【证明】正六边形ABCDEF中,连接AC、BE,交点为G,易知AG4 / 15全国名校高考数学优质课时专题训练汇编(附详解)丄 BE,且 AG= CG=/3 ,在多面体中，由AC= 76，知AG2 + CG2= AC2，故AG丄GC,又GCnBE = G,GC,BE?平面BCDE,故 AG丄平面BCDE,又AG?平面ABEF,所以平 面ABEF丄平面BCDE.ZV(2)【解析】连接AE、CE,则AG为三棱锥A-BCE的高,GC为A

11、BCE 的高.在正六边形 ABCDEF 中,BE = 2AF = 4,故 Sbce = - >4x73=2/3 ,2所以 Ve-ABC = Va- BCE= - X273x73 = 2.313.如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，AB丄平面PAD, AB/ CD, PD =AD, E是PB的中点，F是DC上的点且DF = IaB, PH为APAD 中AD边上的高.证明：(1)PH丄平面ABCD;(2)EF丄平面PAB.C【证明】(1)因为AB丄平面PAD, PH?平面FAD，所以PH丄AB. 因为FAD中AD边上的高，所以 PH丄AD.因为 PH?平面 ABCD, ABMD = A, A

12、B, AD?平面 ABCD，所以 PH 丄平面ABCD.C(2)取PA的中点M,连接MD , ME. 因为E是PB的中点，所以ME型-AB.又因为DF型-AB,所以ME型DF，所以四边形MEFD是平行四边形, 所以EF/ MD.因为PD = AD，所以MD丄PA.因为AB丄平面PAD，所以MD丄AB.因为PAQABuA,所以MD丄平面PAB,所以EFX平面PAB.14如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直, / ADE=90 ° , AF / de , DE=DA=2 .（I）求证：AC丄平面BDE ;O DE丄平面 ABCD , DE丄 AC ,V ABCD是正

13、方形， AC丄BD , AC丄平面BDE.(n)解：V平面 ABCD丄平面ADEF , AB丄AD , AB 丄平面 ADEF ,V AF / DE，/ ADE=90 ° , DE=DA=2 ,1 1二 S也ef =xED xAD =咒2咒2=2 ,2 2四面体BDEF的体积VSaFAB=1x2%2=4 .3 3315.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/ CD, AB丄AD, CD = 2AB, 平 面PAD丄底面ABCD, FAX AD, E和F分别是CD和PC的中点.求 证：(1) FA丄底面 ABCD;(2) BE/ 平面 PAD; 平面BEFX平面PCD.p= D【证明

14、】（1）因为平面PAD丄底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的 交线AD，所以PA丄底面ABCD.(2)因为 AB/ CD, CD = 2AB, E 为 CD 的中点，所以 AB/ DE ,且 AB =DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE/ AD.又因为BE?平面PAD , AD?平面FAD,所以BE/平面FAD.因为AB丄AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE丄CD,AD 丄 CD.由(1)知 FA丄底面ABCD，所以FA丄CD.所以CD丄平面FAD.所以CD丄PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD/ EF.所以CD丄EF. 又因为CD丄BE, EF nBE= E

15、,所以CD丄平面BEF.又因为CD?平面 P CD,所以平面BEF丄平面PCD.11 / 15全国名校高考数学优质课时专题训练汇编（附详解）一、选择题1. 设m , n是两条不同的直线， 四个命题： m 丄 a, n / a,a, p, 丫是三个不同的平面，给出下列/ Y m丄a,贝J m丄Y其中正确命题的序号是A.和D.和【答案】A【解析】中平面a则m丄n；若a丄Y p丄Y贝J a/ p若a/ B p若 aP Y= m, pn Y= n , m/ n ,贝J a/ p()B.和C.和B可能相交；平面a, p可能相交，故选A.）2. 已知m , n表示两条不同直线，a表示平面.下列说法正确的是

16、（A. 若 m / a,B. 若m丄a,C. 若 m丄 a,D. 若 m /a,【答案】Bn / a, n? a, m丄n,贝y m丄n,贝y贝 J m / n则m± nn /an丄a若m / a, n / a,则m与n可能相交、平行或a, m丄n,贝Ja, m 丄 n ,贝J n / a 或 n? a【解析】对于选项A , 异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C,若m丄 n? a或n/ a, C错误；对于选项D,若m/ 或n与a相交.D错误.故选B.)C. b? a D. b丄a3. 平面a /平面p ,直线a/ p ,直线b垂直a在p内的射影，那么 下列位置关系一定正确的为（A

17、. a / aB. b丄 a【答案】D【解析】平面a/平面p ,直线a/p , 直线a可能在平面a内, 排除A ；设a在p内的射影为c ,且a、c所在平面为Y ,则丫丄pT直线 a/p , a? Y, pPy =c ,二 a/ cTb 丄 c , b 丄 a ,17 / 15排除B、C 故选D.4. 设a , b是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，则下列命 题中正确的是（ A .若 al 3B .若 a l a,C. 若 a丄 a,D. 若 a 丄b ,【答案】C【解析】若 A错误；若 异面，所以a? a, b丄3 a / b, a? a,)b? 3 贝J al b 且a丄3贝J a

18、/ b b / 3 贝 J a 丄 3 b? 3贝J a丄3all 3 a? a, b? 3则直线a与b可能平行或异面，所以 a / a, b丄3且a丄3则直线a与b可能平行或相交或 B错误；若a丄a al b , bl 3贝J a丄3所以C正确;a, b? 3则a与3相交或平行，所以D错误.故选C.若a丄b, a?5. 如图，在三棱锥 D-ABC中，若AB= CB , AD = CD , E是AC的中 点，贝y下列命题中正确的是 A .平面ABC丄平面ABDB .平面ABD丄平面BCD C.平面ABC丄平面BDE ,D .平面ABC丄平面ACD ,D且平面ACD丄平面BDE 且平面ACD丄平

19、面BDEg-flA【答案】【解析】DE丄AC ,由于DE nBE= E ,于是AC丄平面BDE.因为AC?平面ABC ,C因为AB = CB, 且 E是AC的中点，所以BE丄AC,同理,所以平面ABC丄平面BDE.又 AC?平面ACD ,所以平面ACD丄平面 BDE.故选C.6.如图，四边形 ABCD 中，AD / BC , AD = AB , / BCD = 45° , / BAD= 90° ,将/ADB沿BD折起，使平面 ABD丄平面BCD ,构成三 棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是（）A .平面ABD丄平面C.平面ABC丄平面A,乂ABC B

20、.平面ADC丄平面BDCBDC D .平面ADC丄平面ABCR e【答案】D【解析】在四边形ABCD 中，AD / BC, AD = AB,/ BCD = 45°a , p和两条不重合的直线m n,）aII p贝J a丄pC,因为 对于D , aP片n ,则mil n ,或m与n是异面直线，故D项不正确. p 丫为不同的平面，m , n为不同的直线，则能推出mlp的 ）【解析】由线面平行、垂直之间的转化知 A、B正确；对于 ml a, mil a,8. 设 a, 是（A.B.C.D.mII n,所以n丄a,又n? B,所以p丄a,即C正确;a丄 p, aP p= n , mln aP

21、 尸 m, al a丄 p, ml a nla , nlp,/ BAD= 90° , BD丄CD ,又平面 ABD丄平面BCD ,且平面 ABDA 平面 BCD = BD , CD丄平面ABD ,贝J CD丄AB ,又 AD 丄 AB , AD PCD = D,二 AB 丄平面 ADC ,又AB?平面ABC，平面ABC丄平面ADC ,故选D.则下列7. 已知两个不同的平面 四个命题中不正确的是（A. 若 m/ n , ml a ,贝J n 丄B. 若 ml a , nl p ,贝J aC. 若 ml a , mil n , n? p ,【答案】Dm可能在平面p内，也可能与p平行；B不

22、对，m 满足条件的m在p内，也可能 all p,结合m丄a知 m丄p,故【答案】D 【解析】A不对，可能与p平行，也可能相交，C不对， 和p平行；D对，由nl a, nl p可知 选D.二、填空题AB= 8,Z ABC = 60° PC丄平9.如图，在 ABC 中，/ ACB= 90° , 面ABC , PC = 4 , M是AB上的一个动点，贝J PM的最小值为ACPB【答案】2 77【解析】作CH丄AB于H，连接PH.因为PC丄平面ABC，所以PH 丄AB, PH为PM的最小值，等于277.10. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD，则这全国名

23、校高考数学优质课时专题训练汇编(附详解)对.个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有【答案】5【解析】因为AD丄AB , AD丄PA且FAnAB = A,可得AD丄平面PAB. 同理可得BC丄平面FAB、AB丄平面FAD、CD丄平面FAD ,由面面 垂直的判定定理可得，平面 FAD丄平面FAB ,平面PBC丄平面FAB , 平面PCD丄平面FAD ,平面FAB丄平面ABCD ,平面FAD丄平面 ABCD ,共有 5 对.11. 已知a、b、I表示三条不同的直线，a、3 丫表示三个不同的平面， 有下列四个命题：aP3= a, pn尸b,且 a/ b,贝J all ya、b 相交，且都在 a 3外，a

24、l a, al 3 bl a, bl 3 贝 J all 若 若a丄(3, aP 3= a, b? (3, a丄b,贝J b丄 a；a? a, b? a, I 丄a, l 丄b, I? a,贝J l 丄 aa曰宁疋 . 若 若 其中正确命题的序【答案】【解析】若平面a 3 丫两两相交于三条直线，则有交线平行，故 不正确.因为a、b相交，假设其确定的平面为 Y根据all a, b/ a, 可得丫/ a同理可得丫/ 3因此all 3正确.由面面垂直的性质定 理知正确.当alb时，I垂直于平面a内两条不相交直线，不能得 出I丄a,错误.三、解答题12. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄平面AB

25、CD，底面ABCD是菱 形，点0是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB= 2, / BAD = 60°(1) 求证：OM /平面FAB;(2) 求证：平面PBD丄平面PAC;(3) 当三棱锥M-BCD的体积等于 亜时，求PB的长.cAV*P.4B【证明】(1):因为在 PBD中，O, M分别是BD, PD的中点, 所以OM是PBD的中位线，所以OM / PB,又OM?平面FAB, PB?平面FAB,所以0M /平面FAB.(2) 因为PA丄平面 ABCD, BD?平面ABCD，所以FAX BD. 因为底面ABCD是菱形，所以BD丄AC,又AC?平面FAC, FA?平面FAC

26、, ACQFA= A,所以BD丄平面FAC. 因为BD?平面PBD,所以平面 PBD丄平面FAC.(3) 因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以 VM-BCD = Vm-ABCD = 7VP-ABCD，从而 Vp-ABCD = T3 又AB= 2,Z BAD = 60°所以S四边形abcd = 23.因为四棱锥P-ABCD 的高为FA,所以1疋庙XPA= 73，得FA=-,32125+22 =-.丿 213.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA= SB= SC= SD,底面ABCD 是菱形，AC与BD交于O点.(1)求证：ACX平面SBD;若E为BC中点，点P在侧面 SCD内

27、及其边界上运动，并保持PEXAC,试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.5因为PA丄平面ABCD, AB?平面ABCD，所以FAX AB.在 Rt FAB 中，P B= J PA2 +AB2AG【证明】(1)连接SO,v底面ABCD是菱形，O为中心， ACX BD.又 SA= SC,.ACXSO.而 SOnBD = 0,二 ACX平面 SBD.EsCAB解 如图，取棱SC中点M, CD中点N,连接MN，贝y动点P的 轨迹即是线段MN.连接EM、EN,v E是BC的中点，M是SC的中点， EM / SB同理，EN/ BD, 又 EM PEN = E, .平面 EMN/平面 SBD, V AC丄平面

28、SBD,. ACX平面EMN.因此，当点P在线段MN上运动时，总有ACX EP;P点不在线段MN上时，不可能有ACX EP.21 / 15故点P的轨迹为 SDC的中位线.14. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/ BAD = 60° Q为AD的中点.(1)若PA= PD,求证：平面 PQB丄平面PAD ;点M在线段PC上，PM = 3pC,若平面PAD丄平面ABCD, FA=2PD = AD，三棱锥M-BCQ的体积为3求点Q到平面FAB的距离.【证明】(1)由条件知，PQ丄AD, BQ丄AD, PQQBQ= Q, 所以AD丄平面PQB.因为AD?平面FAD,所以平面PQB丄平面PAD.【解析】(2)因为FA= PD, Q为AD的中点，所以PQ丄AD. 因为平面PAD丄平面ABCD，平面PAD n平面ABCD = AD, 所以PQ丄平面ABCD._232=一 a3设 FA= PD = AD = 2a,贝J