分数裂项法解分数计算

1、分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公 式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到, 需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所 以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法 项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的 和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母 之间

2、具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间 部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。axb(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即亠 形式的，这里我们把较小的数a xbb-a a b写在前面，即 a cb，那么有 = (丄-)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:"+1)如2厂5+1)廿2)如3)形式的，我们有:裂差型裂项的三大关键特征:(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是 1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，

3、并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:0a +ba b+axb axb axb b aa2 +b2a xba xbb2+a xb裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】【巩固】【巩固】1 1+2x31-+11X12+丄1x211 1 1+3x44X5 5x6【例2】【例3】10X1121+ +59X6010X99X82 2+HI+ +丄5X44X31 1 11 +丄+

4、1一+111111 +11+21+2+31+2+HI+1001+111 +3X5 5X799X101丄+丄1X3【巩固】计算:f 11125X|+山+i1咒3 3x5 5x723X25 丿【巩固】251 +251十251十山亠 251 十 2512000X20042004X20084X88X1212X16【巩固】计算:丄+丄+亠+亠+亠2X55X77X1111X16162222X2929【例4】计算：+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）咒128 =8244880120168224288【巩固】丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄=612203042567290【巩固】3610152128【巩固】计算.11

5、1111111八 2612203042567290【巩固】104088154238【例计算:1x3x5 3x5x7 5x7x92001X2003X2005【例护4.5+0.16X h +丄+丄+丄L 133.75X3.20153563 丿3【例7】计算:111 1 11+2 +3+4+ III +20261220420【巩固】计算：111112008 +2009 +2010+2011+2012=1854108180270【巩固】计算：1+丄+2+2 +_£=。26153577【巩固】计算：1亠1昇J + 1 + 1315356399143195【巩固】计算：1+ 5 J1 J9+29

6、+h| + 9701 +9899 _2612203097029900【例8】【巩固】11小1+ +1 x2x32x3x47x8x91计算:【巩固】计算:1x2x31【巩固】【巩固】1x3x599【例9】1x2x3113x54+35x798+2x3x41+2x3x41+24x6+111 +98x99x1001 1+111 +35x72022x2444+93x95x9795x97x99971+111 +3X4X599x100x1011 1 1【巩固】+ +1X2X3X4 2X3X4X5 3x4x5x66x7x8x9 7x8x9x10333【例10】【巩固】【巩固】+.1X2X3X42X3X4X51

7、x2x32x3x451155 (+-2X3X43X4X53,4计算:计算:计算:.+ 17x18x19x2019+111+8X9X107 ) 8X9X109X10X115,，12【例11+切 1+105咒 13144 91X2X4X522X32X3X41【例12】1X2+1(1 +2X3X4X52x3x4H|x103,4,5【巩固】计算:【例13】+ 2 +1X2X3 1X2X3X4 1X2X3X4X5 1X2X3X4X5X6 1X2X3X4X5X6X73!4!100!350- _ +111 +1 x(1+2)(1+2)x(1+2 +3)(1+2+3)X(1+2+3+4)(1+2+3+11)+

8、 49)x(1+ 2+)(| + 50)【巩固】_2+3+4+川+1001X(1 +2)(1 + 2)X(1 +2+3) (1+ 2 +3)X(1 +2+3+4)(1 + 2+| |+ 99)x(1 +2+| +100)2310【巩固】1【例14】III1 (1+2)(1+2)X(1+2+3)132 -1【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】(1 +2 +3 + 111+9) x(1 +2 +3+11!+10) 11111+亠+亠 + 亠=.5 -17 -19 -111113 -11111 1 1(1 -) X (1 - -r) X (1 -) X (1 -) 41X (1 -) X (1

9、- r)=234548493 + 5 + 7I +1512 X22 232 3427823? +1 亠 5? +1 亠 7? +12十十3 -15 -1 7 -112+ 3222+42 丄32+522222 -13 -14 -1,22二亠+丄+丄+山+-5 咒 7991018+9 +9+108"9X10+口+至3042丄+二 +土+5+7 +2+卫+11+坐=34578202124351+2+3 +乙+2+11+口+空3571220283042计算:计算:计算:计算:计算:【例15】【巩固】【巩固】【巩固】5+65咒63 , 6+丄1 咒33X56+7 +7+86咒77咒8+5+Z+

10、26 12 20 1丄3丄2丄小丄 1993? +11995+1+ | I 丨 +2+2=1993 -11995 -1刊1叶98 +100992 -1502【巩固】【巩固】111 2010263827卜一+ + + +3031415111912012312449+ 6377 *91105、131220304256丿881 1一 +23【巩固】_19+ + + 567290【巩固】【例16】【巩固】【例17 1【例18 1【例19 1计算：1_5+工_9 J 13 .15 176122030421179817一 + + + + + 451220153012 +2222 +32+2x31+2 X20061 1+2X34X5S丄+一3 3X53X5X71 2 2 丄 +_ + 2 +HI+ 1X33X55X71x2(為计算:计算:计算:5+122 2182 +19218x191+2