几何模型一线三等角模型

1、一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直“弦图”等，以下称为“一线三线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对 此有不同的称呼，“ K形图”，“三垂直”，等角”。一线三等角的分类全等篇锐角相似篇锐角直角同侧PDAqP钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1. 一般情况下，如图 3-1，由/ 1 = / 2=/ 3,易得 AE3A BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED则 AECA BDE.是 ABC的内心.可以考虑构3. 中点型“一线三等角”J如图 3-2，当/ 1=/ 2=/ 3,且 D

2、是 BC 中点时， BD0A CFBA DFE.4. “中点型一线三等角“的变式（了解）如图 3-3，当/仁/2 且 NBOC=90。+ ZBAC 时，点 02造“一线三等角”.如图3- 4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1NBOC =90。+NBAC这是内心的性质，反之未必是内心2D 是PEF的旁心.）在图3-4 （右图）中，如果延长 BE与CF，交于点P,则点5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进

3、行解题四、“一线三等角”的应用1. “一线三等角”应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造- 线三等角解决问题更是重要的手段.C、D3. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似 坐标系中，

4、要讲究“线”的特殊性 如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角 当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了 “量化”的需 要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不 容易掌握.AB上解题示范例1如图所示，一次函数 y =-x+4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段是等腰一个动点（不包括 A、B两端点），C是线段 0B上一点，/ 0PC=45 °若AOPC 三角形，求点P的坐标.例2如图所示，四边形 ABCD 中，/ C=90 °,/ ABD= / DB

5、C=22.5 ° AE丄BC 于 ADE=67.5 ° AB=6,贝U CE=.例 3 如图，四边形 ABCD 中，/ABC= / BAD=90 °，/ ACD=45 ° , AB=3 , AD=5.求 BC 的长.例 4 如图， ABC 中，/ BAC=45 °，AD 丄 BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图，在ABC 中，/ BAC=135， AC= J2 AB, AD丄

6、 AC 交 BC 于点 D，若 AD = J2，求ABC的面积当然有45。或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.大练身手：例7:在平面直角坐标系中，已知点A (1, 0 )，B ( 0，3 )，C (-3，0)，D是线段AB上一点，CD 父 y 轴于 E，且 & bce= 2Saob .(1) 求直线AB的解析式；(2) 求点D的坐标，猜想线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；(3) 若F为射线 CD上一点，且/ DBF= 45°求点F的坐标.例8:如图，直线 y = X

7、+ 2与y轴交于点C,与抛物线y= ax2交于A、B两点(A在BBC= 2AC,点P是抛物线上一点.B(1)(2)(3)求抛物线的函数表达式；若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值； 若点P在直线AB的上方，且/ BPC= 45°求所有满足条件的点练1:.如图，抛物线的顶点为 C (-1 , -1)，且经过点 A、点 酢“坐标原点 O, 点0 为-3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点D为抛物线上的一点，且 BOD的面积等于BOC的面积，请(3) 若点E的坐标为(0, 2)，点P是线段BC上的一个动点，是否存 若存在，求岀点 P的坐标；若不存在，请说明理由.课后作

8、业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线 y= -x+5 上一点若 在四边形 ABCD 中，/ ABC= / BAD=90 °，/ aCd=45 ° 如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在 AB,BC,CD 上,BE+GC= /3bC的左侧)，B在'y .岀点 D的坐标；，使得/ OPE= 45° ?CAAPO EF,AD=4,求如图， ABC L DBA，且 AC= 72 BC,求证:CD=2AB.,求点 P 的坐边三角形,求证:aOxC如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= 90° AB= 3，BC= 4，CD= 10

9、，DA= 5宅店，求 BD 的长如图，点A是反比例(X >0)图形上一点，点 B是X轴正半轴上一点，点 C的坐标为(0, 2)，点 ABC是等边三角形时，求点 A的坐标.2如图，抛物线y = ax + bx + 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直17线I： y = -2x+ m经过点A，与抛物线交于另一点D (5，-2)，点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接 PC、PD.(1)(2)(3)求抛物线的解析式；当 PCD为直角三角形时，求点 设 PCD的面积为S,请你探究:P的坐标；使 S的值为整数的点 P共有几个，说明理由.4.22X交于点 A(3，6).(1)求直线y=kX的解析式和线段 0A的长度；1.如图1,已知直线y=kx与抛物线y =C(2 )点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线/交交X轴于点M (点M、0不重合)， /轴于点NA试探究：线段 QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求岀这个定值,如果不是，说明理由;(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的仝A点E在！合)，点D ( m，0)是X轴正半轴上的动点A /且究：m在什么范围时，符合条件的如图，直线AC： y= 2x +y? 过A、C两点，与X轴交(1