《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结

1、振动力学习题集（含答案）质量为mi的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动,1.1质量为m的质点由长度为I、 如图E1.1所示。求系统的固有频率。生活不会辜负努力的人解：系统的动能为:=1 m(xl f +1 Ix2 22其中I为杆关于铰点的转动惯量:/dx x = L Il/'0x2dx=3叶|2则有:T = 1 ml2x2 + 1 mil 2x22 6系统的势能为:mglx2U =mgl(1-cosx)+mig2(1-cosx) +m1glx2 =1(2m + mi )glx2 44利用X =%和T =U可得:=3(2m + m1 g n_V 2(3m +mj1.2质量为m、半径为R的

2、均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为 k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。解：如图，令9为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为:tE討 WmR+2mRF= 3mRV4U =2 牛职 + a P 2 =k(R +a 犯2利用0 =曾g和T =U可得:_ j4k(R + a2 _ R + a 阿_¥ 3mR2 R Y3m1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为ki，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。k2k3求系统的固有频率。ki图 E1.3解：系统的动能为:T42k2和k3相当于串联，则有:k22 k3以上两式联立可得:=&a

3、mp; ekk3k2系统的势能为:u *宀2庞2+制32_ 1 Ckih +k3）+k2k3 活 22 Lk2 + k3利用0 =叫&和T =U可得:=k2k3 +ki（k2 中 k3 ） v J（k2+k3）1.4在图E1.4所示的系统中，已知(i =1,2,3) m, a和b，横杆质量不计。求固有频率。解：对m进行受力分析可得:如图可得:Xi =mg =k3X3，即 X3 =mgb=ki (a+bkJX2 = F2mgk3mgak2 (a + b k2Xo = Xi+ X = xi +2匸20 =竝乎 mg a+b (a+bjk?X = Xo+ X3 广+严+:爲 1mg|_(b

4、2 kik2 ks ko则等效弹簧刚度为:ke =(a + bfKk2k3a2k1k3 +b2k2k3 +(a + b 2k1k2则固有频率为:nkik2k3(a+bfmkik2(a +b f +k3(kia2 + kzb2 »1.7质量m在倾角为a的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所示。确定系统由此产生的自由振动。解:对m,由能量守恒可得（其中 vi的方向为沿斜面向下）mgh = 2 miv；，即 Vi = J2gh对整个系统由动量守恒可得:m,Vi =(mi +m2 Vo，即 V0 =miJ2gh mj +m2令m2引起的静变形为X2，则有:m2gsina

5、= kX2，即 x m2g sin k令m,+ m2引起的静变形为Xi2，同理有:(m, +m2 g sinaX12 =得:X0=Xi2-X2=migTdk则系统的自由振动可表示为:XX = Xo COSnt +sin ©ntn其中系统的固有频率为:注意到Vo与X方向相反，得系统的自由振动为:X = Xo cos nt 直 si n nt1.9质量为m、长为I的均质杆和弹簧 k及阻尼器c构成振动系统，如图 E1.9所示。以 杆偏角0为广义坐标，建立系统的动力学方程， 给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在

6、 过静平衡位置时？f»»kkTac0l图 E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得:1日=kOa -a c日l 1 ,Vml2 m|20 +3cl +3ka =0 ,Bka2vm7<1mg 丄=k日 oa a，2日0mgl2ka2E1.12 所1.12面积为S质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 示。作用于薄板的阻尼力为 Fd = 42Sv, 2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为To，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数4。解:平面在液体中上下振动时:图 E1.12mx + 2AS) + kx=0Td竺=23n =42S2

7、1-©2k-»2S22兀-42S2 一SToTd2.1图E2.2所示系统中，已知 m, C, ki， k2 , Fo和。求系统动力学方程和稳态响应。xiBH-m-j图 E2.1解:X2等价于分别为x1和X2的响应之和。先考虑力为图（b），故:答案图E2.1（a）x1，此时右端固结,-X-XT mAltXq-X&X-X答案图E2.1（b）系统等价为图（a),受mx +(k, +k2 X +(G +Q X = kix+cix(1)mx+cx+ kx = k1Asi+ cA1 cos1tC = G + C2， k = ki + k2， n = ki + k2m(i)的解可

8、参照释义(2.56)，为：sin®it -Q )+ cA叫cos®11 -)/(s2 +(2-fki Alk J(i - S2 2 +(2审(2)其中:s 瓷，tg2(2-4i - sJi+(2M2=J(ki +k2 y +(G +C2 f叫2ki %J(1 -S2 2 +(2l =仁叫2m +(G +C2 妙 2 认"ki+ k2 丿ki+k2 .J(ki + k2 - mco； f +(G 中 c?霸2 "kFk故（2）为:x(t )= kiAi sin®it q ) + ciAi®iCOS(国it 6 )Jk + k2 -m时

9、2 +9 +c2 窗I 2+22ki ci i1 -s=tg/c©1/(k1 +k2)2- k1 + k2=tgJ (Gpm2k1 + k2 «1 m日2 =tg1 c1考虑到X2（t ）的影响，则叠加后的x(t )为:aJk2 +苗2X(t )=S2 22i rn V ki + k2 - moOi ) +(G + Q ) d/sin ©it-tg-1 (C1 + Shi + tg-1 CQi k<H k2 -时 jm2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动， k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零,如图T 2-1所示。已知，a =30&#

10、176;, m = 1 kg， 求系统的运动规律。图 T 2-1答案图T 2-1解:1.疔1咒9.8X-心 Imgsi2 c 彳mgsin a = kx0， x0 = = = 0.1cmk49叫=肚=70rad/s1X =x0cos%t = 0.1cos70t cm另一重物W422如图T 2-2所示，重物W悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置, 从高度为h处自由下落到W上而无弹跳。求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。Xi解:Eiiiiiiiiij|iiRt»ii4+i|1hlUFBlHl1 « 11th1kWi图 T 2-2W2xo平衡位置xi2答案图T 2-2

11、W2h1 W22V2，2 gV2动量守恒:W2V2Wi +W2Vi2，gW2V12 =J2ghW +W2平衡位置:Wi =kxi，Xi 4 kW +W2Xi2 =故:W2Xo = Xi2 - Xi = Tk<>n =kg+Wjfg 彳 Wi+W2故:X = Xo COSCO nt + Xo sin eontVi2=-Xo coscnt +sin eOnt ©2.4在图E2.4所示系统中，已知 m，ki, k2, Fo和©，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。图 E2.4X1kiXik2（X2 儿）k X2 X1 ）Fosi n©tmX2答案

12、图E2.4解:取坐标轴Xi和X2，对连接点A列平衡方程:-k1x1 +k2（X2 -为）+F0sinQt =0即:（K + k2 ）x, = k2x< F0 sin©t（1）对m列运动微分方程:mx2 = -k2（X2 -為）即:mx2 + k2x k2（2）由（1）， （ 2）消去Xi得:F0k2""丄 Kk 2 0 '2-丄mx2 +X2 =sin 国 tk1 + k2k1 + k2故:斗K1K2'm（k1 中 k2 ）由（3）得:X2 （t =Fo? 2厂J sin t -sin 壮m（k1 + k2如n-）l叫 丿2.5在图E2.3所

13、示系统中，已知 m, c, k，F。和©，且t=0时，X = Xo，X =Vo，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。解:x(t )= e-t(ccosOdt + Dsi门©壮)+AcoS©t -日)x(0 )= Xo = C + AcosT = C = Xo - AcosT-T戶x(t )= -©0*t(C cosdt + D sin «dt)+ e$t(_c©dSinodt +D©d cos©dt)Asin(©t 日)x(0)=V0 包皿"Casing D=v0

14、+30CAn日求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成 的支承上，如图 E2.7所示。当齿轮转动角速度为 O时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为me2 sin列。已知偏心重 W = 125.5 N，偏心距e = 15.0 cm，支承弹簧总刚度系数k = 967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅 Xm = 1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X。= 0.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在© =300r/min运行时机器的垂直振幅。解:x(t)晋Ms2s=1时共振，振幅为:远离共振点时，振幅为:由（2）M =匹

15、X2由（1）故:2sin®t -日),-s2X1X2mememe2X1=0.32cmme/X22X12X1=0.15= 300i7min，0 =tg1 -s2(1)(2)4(1 s2 S +(20 2= 3.8X10'm2.7求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽略不计。kik4需碌£曲諭. VUVR H H HH k2无质量SSHiZHraHHWVn - - B-n * I e ca rEsan a h TTa * b V a*! i-anrT *a-ujuH-VBH9 E3 =n9 n .!图 T 2-7答案图T 2-7

16、解:ki和k2为串联，等效刚度为:k12kik2ki+k2。（因为总变形为求和）ki2和k3为并联（因为ki2的变形等于k3的变形），则:k12 k12 + ks =+ k3k1 +k2kk2匕23和k4为串联（因为总变形为求和），故:ke =kl23k4k1k2kk1k3kk2k3k4匕23 + kqk1 kKka + k2k3 + k1 kkzkq故:kem2.9如图T 2-9所示，一质量 m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计,求下列情况系统作垂直振动的固有频率:（1）振动过程中杆被约束保持水平位置;解:(2) 杆可以在铅锤平面内微幅转动；(3) 比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说

17、明理由。liI2k2X1X2x2严i F 2Hi"图 T 2-9答案图T 2-9故:保持水平位置:微幅转动:+ I2bmgli+(h + |2 Kih 十1?Lmg丄liliI2(h + k2 (h +|2 Ki9hki - 沐2mg(li +I2 Kk2(iiTki li+i2I2k2(ll +I2)+Il2kl-Ill2k2mg =(Ii+l2)2Kk2mg_ Ii2ki+I；k2 mg(li+l?2%&=(11+12徐水2和+1花2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。解:图 T 2-10答案图T 2-10m 的位置：X = X2 + Xa =

18、+ xAk2mgl = Fia , Fiak1mgl_ mgl，/. X1 aX1=XaXa = ¥ X1_mg|2-a2k1_ mg +mgl2 k2 a2k122a2k1 +rk2=1mg/. x = X2 +Xa£mg a k1丿a2k1k2a2 k1k2二 k a2k +|2k0X1 r22.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m,刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为。2（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质量m为0.9 kg时，测得频率 厲）为1.5 Hz, m为1.8 kg时，测得频率为0.75Hz ,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平

19、衡状态?零平衡位置©9；*答案图T 2-11(1)零平衡位置答案图 T 2-11(2)1 '2122T=10 = ml 02 212122-mgl0 =(ka -mglp=2 2 £ kea 2 -mgl(1 -cosQ )Jka2/；2 2利用 Tmax =Umaxmax =叫日 maxJka2 -mgl ka2ml2g = k便l V Vmc（2）若取下面为平衡位置，求解如下：T =! I日2 =1ml22k(日a 2 +m glcos日=-ka2日2 + mgl 1 - 2sin2匕 i c I2V "'2 2U =2丄2l2丿1 2 2 1

20、 2 1 2 2= -ka 日 +m gl- mgl 日 =-(ka -mgl 貝 +mgl 2 2 2db +U )=0， 2ml2朋+28(ka2 -mgl =0 dt叫彳ka2mglml22.17图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k,试问:（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离?kikk3k4图 T 2-17解:k23 = k? + k3 = 2k 厶 3k123 kik23k1234ki + k23 23 Ktkl23 中 k4mg=ki234X0，Xo HkkX（t ）= Xo COSCO n

21、t， Xmax =2Xo4mgk如图T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动， 的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。2.19鼓轮绕轴解：系统动能为:系统动能为:-mix2 +1|2 21 (=-m, +2l1-2=-mux2屮丿+2x2+1|2厂” 2-m2r2(2x2V 二尹 + 2kR2xJ根据:="2卜秋= £keX2R2、R；丿Tmax Vmax，XmaxRim1k2 中 ki r2+吕2.20如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为|0，求系统的固有频率。解:系统动能为:1 2 1 2 1 2

22、T =-100 +-0（阳）+-m2倒）1 2 2 "2=一（10 + m1a + m2I 输2系统动能为:V =1匕（鈕 2 + 1k2 2 + 1k3（日bf= -1（kia2 +k2|2 +丘3&2 2根据:Tmax =Vmax，日max =®n日max时2n 10 + ma2 + m2I22.24 一长度为I、质量为m的均匀刚性杆铰接于 O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如 图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。解：利用动量矩方程，有:J8 = ka a C日I ”1 , JJml23ml 旳 +3c|2£ +

23、3ka2&=03cI2ml22叽 =12c =一 mn3 n2|3ka22a 际2.25图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数 及阻尼固有频率。答案图T 2-25解:m日I I +c8a £ +咼 b = 0 ml2 日 +ca2 日 +kb2& = 0ca2ml2ml2 I V2ca-2mlb=命研E由匕十cY二马而a2.26 图 T 2-26 所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 N ?s / m，li = I = 0.49 m，cn及阻尼匚。I2图 T 2-26答案图T 2-25I2 =

24、0.5 l， I3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率解：受力如答案图T 2-26。对0点取力矩平衡，有:mSh £ +cd3 lk3l22=02 2 2ml1 9 +cl39 + kl29 =0- 1 - 1m9 +C0 + k9 =016=36 m21=叫=-4rad /s1C= 2%m=匚=16m丄=0.252叫并计算主质量、主刚答案图E4.7(1)4.7两质量均为m的质点系于具有张力 F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦 张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态， 度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。图 E4.7解:sin 0 = ，

25、 sin 罠=日2 = ， sin 83 =日3 =根据mi和m2的自由体动力平衡关系，有:miyi=-F sin日1 + Fsin92 丄一F y1 + F y2y1 = ： 02-2$ )= _Fsi n02 -Fsi丄-F 兀y1 _ f 卡=$(% -2y2 )故:当m, = m2时,令:【m1 ml幵E :归11 2汀0yY, si n©t， yY2 si n©t,几代入矩阵方程,有:2(-12 紅匕2.2-Z-1-12=(2-扎)一1=(a-1Ia-3)=021 =mlmlF2Fmlml根据(2 Yi Yi = 0 得:/丫11丫2 丿 1=1,2-打=12卜2

26、第一振型答案图住1二4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态 Xi和Xj及自然数n证明:xT (MKMxj =0，xT(KMKxj =0解:Kx j=时2Mx j，等号两边左乘 KM /重复两次:KM -*KXj =©2km MXj =cj2Kxj，等号两边左乘xT KmKXj *2 XTKXj =0，当 i K j 时KMKxj =硏Kxj ,等号两边再左乘 KMKMKMKXjKm 'k】，等号两边左乘TXi重复n次得到:xT Km TKx)=02Kxj =知Mx j，等号两边左乘 MK-1MK 'Kxj "2mk -1Mxj故:M

27、xj =052MK °Mxj ,等号两边左乘TXiTXiKm TKxj =©2xT Km 'k k0，当 i h j 时xTMxj “2xT MkM xj = 0 ,当 i 工 j 时即 xT Mx j = 0，当 i H j 时重复运算:MK 4Mx j重复n次。2.10 图 T 4-11XTMK MXj "2xTMk 4FMxj =0，当 i H j 时所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。解：先求刚度矩阵。令 Q =1，X = 0,得:6 = k,b b +k2akzi = k? a令 Q =0, X =1，k22 = k：图 T 4-11a

28、 = k1bk2a2得:则刚度矩阵为：K =Kb2 +k2a21_-k2a再求质量矩阵。令 0 =1，X =0，得:口11=丄叶32，叫=03令日=0 , X = 1，得:mi2 = 0 , m22=m2则质量矩阵为:1M = 3I 02m1am2故频率方程为:K 一2M5.1质量m、长I、抗弯刚度=0k22kzak2m2iEI的均匀悬臂梁基频为3.515(EI / ml3)"2,在梁自由端放置集中质量mi。用邓克利法计算横向振动的基频。解:心515解，3EI2 r'm1?I3201112.3553 丿©1 =|仁+51)6.088EI频。3mOI/4I/4I/4I

29、/4图 E5.2解:当系统中三个集中质量分别单独存在时:fii9(1 14 3叫2_,_ 16(1/4 3， f22 _12EI12EIf33l/4312EI13ml3匸十存 mf11+mf22+3mf33=192EI一 (12磅5.3在图E5.3所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。5.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基km2mc co o图 E5.3解:近似选取假设模态为:普=(1 1.52.5 T系统的质量阵和刚度阵分别为:M = diag(m3k-2k-2k3k0-k-k2.5k由瑞利商公式:2：=0111.75m5.9在图E5.9所

30、示系统中，已知 k和=(a1J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J/2Kjyi k图 E5.9解：两端边界条件为:固定端:自由端:phX iR11 监 1 i k PLk72j i"2。h .,2 Ji W LkLk=Si X 0R =kid J2k JLi2k22 JI时 rkk2-c" 一 + fl-©2丄 Yi-©2 2k I2k 八kjj由自由端边界条件得频率方程:代入各单元状态变量的第+2kz1 -o2斗12k八32元糸，即:2Lk1k时21 J k2得到模态:软)=1 1.414T，恥2)= 1 -1.414T5.1O在图E5.1O所示

31、系统中，已知 GIpi ( i = 1 , 2)，li ( i = 1 , 2)和Ji ( i = 1 , 2)。用传递矩 阵法计算系统的固有频率和模态。JiJ2解:Gl piGl p2ll图 E5.10两自由端的边界条件为:X TH：。X 2 =S2 X 1.5Y R Y L qF Y RX 1.5 = X 1.5 = S1 X 1k2i2 Jk2其中：k1=G, k2I1GIP2= 。I 2由自由端边界条件得频率方程:Uj1LO1 44¥3" jJ2k2代入各单元状态变量的第元糸，即:得到模态:OjOHw-V 1 Ik1k1-C2J11心1k15.11在图E5.11所示

32、系统中悬臂梁质量不计, 的固有频率。韻（0）醤EI图 E5.11-c2J10/J1J2ki2 J1k2JiTm、1-2卓L- Ji J"«2J12 J1"1 -« k1k2Jk2(GI p11 p2( J1 + J 2 )"彳2(1 P1I2+I P2l1)I和EI已知。用传递矩阵法计算系统(1)解：弓I入无量纲量:2宀，-Mi1，-普I 3八2、ml豹A =EI定义无量纲的状态变量:边界条件:左端固结：X (R=O0 M Fs，右端自由:X1R=y 00 0T根据传递矩阵法，有:X R = sT SF X (R其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:1ooo-1126o1ooc1，S1 =o11oo1o2oo110oo1Looo1sP -得:利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:11 z+r6 1二扎=31 3EIH mlm、I 和 EI5.12