《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

1、因式分解待定系数法、换元法、添项拆项法知识点归纳知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于"缺项,或“并项因此不能直接分解。通过进行适当 的添项 或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组 分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无 用的。待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定 系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因 式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。换元法所谓换元，即对结构比较

2、复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体， 用新的字母代替（即换元）,则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫O换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独 到的作用。（1）V使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个(2)V换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特 殊值换元和几何换元。(3)、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式"回归 O典型例题、方法导航方法一:添项拆项法【例1】分解因式:分析=此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分 解。从它的最高次项看是三次，因此我们

3、可以猜想它最多可分解成三个一次二 项式的积，即,再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或，但 的中间项是，因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请 看：解:其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解 结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。方法二: 方法三: 方法四: 方法五:方法六:（余下过程同学自己完成）方法点金=拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运 用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数 有关的因式。变式议练一: 分解下列各式的因式(1)方法二=待定系数法

4、【例2】分解因式:解: 设: 展开后左右两边比较系数求出、即可。分解结果:【例3】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。分析=设，利用多项式的恒等求出、即可。变式议练二: 、已知是的一个因式，则2、用待定系数法分解因式:【例4】在实数范围内分解因式(1)(3)变式议练三: 求的算术平方根。方法三：换兀法直接换元法【例5】用换元法分解因式:方法点金：设， 注意=换元法分解因式最后要回归。变式议练四 、用换元法分解因式:2、用换元法分解因式:方法点金=当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元 法分解因式。【例6】分解因式:分析=两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。组合换元法【例7】分解因式:分析=观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因此也可用组合换元法分解因式。变式议练五 证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方。能力与创新 把下列各式分解因式:快乐体验 、若多项式和多项式有公因式，则2、若能被整除，则3、分解因式:(1)2)4、已知多项式有一"因式是，把这个多项式分解因式。5、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，