2平面几何定理及公式

1、初等几何选讲复习资料平面几何定理及公式过两点有且只有一条直线两点之间线段最短同角或等角得补角相等同角或等角得余角相等过一点有且只有一条直线与已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接得所有线段中，垂线段最短平行公理 经过直线外一点 , 有且只有一条直线与这条直线平8 如果两条直线都与第三条直线平行 , 这两条直线也互相平9 同位角相等 , 两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行 , 内错角相等14两直线平行 ,同旁内角互补15定理 三角形两边得与大于第三边6 推论 三角形两边得差小于第三边17 三角形内角与定理 三角形三个内角得与等

2、于 1 8 0°1 8推论1直角三角形得两个锐角互余1920角21全等三角形得对应边、对应角相等推论 2 三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与推论 3 三角形得一个外角大于任何一个与它不相邻得内22边角边公理（ SAS ） 有两边与它们得夹角对应相等得两 个二角形全等2 3角边角公理（AS A）有两角与它们得夹边对应相等得两个三角形全等24推论（A AS）有两角与其中一角得对边对应相等得两个二 角形全等25 边边边公理 （SSS） 有三边对应相等得两个三角形全等26 斜边、直角边公理 （HL） 有斜边与一条直角边对应相等得 两个直角三角形全等27 定理 1 在角得平分线上得点

3、到这个角得两边得距离相等28 定理 2 到一个角得两边得距离相同得点，在这个角得平 分线2 9角得平分线就是到角得两边距离相等得所有点得集合30 等腰二角形得性质定理 等腰二角形得两个底角相等 （ 即等边对等角）31 推论 1 等腰二角形顶角得平分线平分底边并且垂直于底 边32 等腰三角形得顶角平分线、底边上得中线与底边上得高互 相重合33 推论 3 等边三角形得各角都相等，并且每一个角都等于60°3 4 等腰三角形得判定定理 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对得边也相等 （等角对等边 ） 35 推论 1 三个角都相等得三角形就是等边三角形36 推论 2 有一个角等于 6

4、0 °得等腰三角形就是等边三角形37在直角三角形中,如果一个锐角等于3 0°那么它所对得直角边等于斜边得一半38 直角三角形斜边上得中线等于斜边上得一半39 定理 线段垂直平分线上得点与这条线段两个端点得距离 相等4 0 逆定理 与一条线段两个端点距离相等得点，在这条线段 得垂直平分线上41 线段得垂直平分线可瞧作与线段两端点距离相等得所有 点得集合4 2定理1关于某条直线对称得两个图形就是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称 ,那么对称轴就是对应点连线得垂直平分线44定理 3 两个图形关于某直线对称 ,如果它们得对应线段或延长线相交 , 那么交点在对称轴上45

5、 逆定理 如果两个图形得对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 得平方与、等于斜边 c得平方,即a八2+b八2=cA2a、a 八2+b八2 =c247勾股定理得逆定理 如果二角形得二边长a、b、c有关系，那么这个三角形就是直角三角形48 定理 四边形得内角与等于3 60° 49四边形得外角与等于36 0 5 0多边形内角与定理 n边形得内角得与等于（5 1推论 任意多边得外角与等于3 6 0 °52平行四边形性质定理 1 平行四边形得对角相等53 平行四边形性质定理 2平行四边形得对边相等54 推论 夹在两条

6、平行线间得平行线段相等55行四边形性质定理3平行四边形得对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等得四边形就是平行四边形57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等得四边形就是 平行四边形5 8平行四边形判定定理3对角线互相平分得四边形就是平行四边形59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等得四边形就是 平行四边形60 矩形性质定理 1矩形得四个角都就是直角61矩形性质定理2矩形得对角线相等6 2矩形判定定理1有三个角就是直角得四边形就是矩形63 矩形判定定理对角线相等得平行四边形就是矩形64 菱形性质定理菱形得四条边都相等65 菱形性质定理线平分一组对角菱形得对角线互相垂直

7、，并且每一条对角66 菱形面积= 对角线乘积得半，即 S =( a Xb) -267 菱形判定定理 1四边都相等得四边形就是菱形6 8菱形判定定理2对角线互相垂直得平行四边形就是菱形6 9 正方形性质定理1 正方形得四个角都就是直角 , 四条边都2 正方形得两条对角线相等 , 并相等并且互相垂直70 正方形性质定理平分，每条对角线平分一组对角7 1定理 1 关于中心对称得两个图形就是全等得72定理2关于中心对称得两个图形,对称点连线都经过对称 中心,并且被对称中心平分73 逆定理 如果两个图形得对应点连线都经过某一点，并且被 这一点平分 , 那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理 等

8、腰梯形在同一底上得两个角相等7 5等腰梯形得两条对角线相等7 6等腰梯形判定定理 在同一底上得两个角相等得梯形就是 等腰梯形77 对角线相等得梯形就是等腰梯形7 8平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得 得线段相等 ,那么在其她直线上截得得线段也相等79推论1经过梯形一腰得中点与底平行得直线，必平分另 一腰80 推论 2 经过三角形一边得中点与另一边平行得直线 ,必平 分第三边81 三角形中位线定理 三角形得中位线平行于第三边 ,并且 等于它得一半L= (a +b) - 2 S=L X h8 2 梯形中位线定理 梯形得中位线平行于两底 ,并且等于两底 与得(1)比例得基本性质如果a:

9、b= C :d，那么a d=bc如7果 a d = b c, 那S么 a: b =c:d 84 ( 2 )合比性质 如果 a /b = c/d,那么(a ±b) /b=(c ±d)/d85(3)等比性质 如果 a/b=c/d = /n (b + d + +n 工 0),那$么(a+c + )/( b+d + n) = a /b行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得 得对应线段成比例87 推论 平行于三角形一边得直线截其她两边（或两边得延 长线）,所得得对应线段成比例8 8定理 如果一条直线截三角形得两边（或两边得延长线 ） 所得得对应线段成比例 ,那么这条直线平行

10、于三角形得第三边平行于三角形得一边 ,并且与其她两边相交得直线 ,所截得得三角形得三边与原三角形三边对应成比例90 定理 平行于三角形一边得直线与其她两边 （ 或两边得延 长线） 相交,所构成得三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三 角形相似93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 （SA S ） 94 判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SS S ） 95 定理 如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似9

11、 6性质定理1相似三角形对应咼得比，对应中线得比与对 应角平分线得比都等于相似比9 7性质定理2相似三角形周长得比等于相似比 9 8 性质定理 3 相似三角形面积得比等于相似比得平方9 9 任意锐角得正弦值等于它得余角得余弦值，任意锐角得 余弦值等于它得余角得正弦值100 任意锐角得正切值等于它得余角得余切值，任意锐角得余 切值等于它得余角得正切值101 圆就是定点得距离等于定长得点得集合1 02圆得内部可以瞧作就是圆心得距离小于半径得点得集合103 圆得外部可以瞧作就是圆心得距离大于半径得点得集合104 同圆或等圆得半径相等10 5到定点得距离等于定长得点得轨迹,就是以定点为圆心，定 长为半

12、径得圆10 6与已知线段两个端点得距离相等得点得轨迹,就是看条线 段得垂直平分线107到已知角得两边距离相等得点得轨迹，就是这个角得平分线1 0 8 到两条平行线距离相等得点得轨迹， 就是与这两条平行线 行且距离相等得一条直线109 定理 不在同一直线上得三点确定一个圆1 10垂径定理垂直于弦得直径平分这条弦并且平分弦所对得两条弧111推论1平分弦（不就是直径）得直径垂直于弦，并且 分弦所对得两条弧弦得垂直平分线经过圆心， 并平分弦所对得两条弧平分弦所对得一条弧得直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对得另一条弧112 推论 2 圆得两条平行弦所夹得弧相等13 圆就是以圆心为对称中心得中心对称图形1

13、14 定理 在同圆或等圆中 ,相等得圆心角所对得弧相等 ,所对 得弦相等，所对得弦得弦心距相等115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦或两弦得弦心距中有一组量相等那么它们所对应得其余各组 量都相等116 定理 一条弧所对得圆周角等于它所对得圆心角得11 7推论1同弧或等弧所对得圆周角相等；同圆或等圆中， 相等得圆周角所对得弧也相等118推论2角所对得弦就是直径半圆（或直径 ）所对得圆周角就是直角 ;90 °得圆周半，那么1 1 9推论3如果三角形一边上得中线等于这边得这个三角形就是直角三角形1 2 0 定理 圆得内接四边形得对角互补 等于它得内对角121直线L

14、与O O相交d < r 直线L 与O O相切d =r直线L 与O O相离 d> r1 22切线得判定定理 经过半径得外端并且垂直于这条半径 得直线就是圆得切线12 3切线得性质定理 圆得切线垂直于经过切点得半径12 4推论1经过圆心且垂直于切线得直线必经过切点125 推论 2 经过切点且垂直于切线得直线必经过圆心126 切线长定理 从圆外一点引圆得两条切线 ,它们得切线长 相等，圆心与这一点得连线平分两条切线得夹角127圆得外切四边形得两组对边得与相等1 2 8弦切角定理 弦切角等于它所夹得弧对得圆周角1 29 推论 如果两个弦切角所夹得弧相等， 那么这两个弦切角 也相等13 0相

15、交弦定理段长得积相等圆内得两条相交弦，被交点分成得两条线13 1推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦得一半就是它分直径所成得两条线段得比例中项13 2切割线定理 从圆外一点引圆得切线与割线，切线长就是 这点到割线与圆交点得两条线段长得比例中项1 33 推论 从圆外一点引圆得两条割线，这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等134 如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上1 3 5两圆外离d>R+r 两圆外切 d =R+r 两圆相交Rr<d<R+r (R>r)两圆内切 d = R-r(R> r )两圆内含d < R-r(R > r) 1 3 6定理

16、 相交两圆得连心线垂直平分两圆得公共弦13 7定理把圆分成口( n > 3): 依次连结各分点所得得多边形就是这个圆得内接正 n 边 形经过各分点作圆得切线，以相邻切线得交点为顶点得多 边形就是这个圆得外切正 n 边形1 3 8 定理 任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两 个圆就是同心圆139正n边形得每个内角都等于(n- 2) X180 ° /n14 0定理 正 n 边形得半径与边心距把正 n 边形分成 2n 个全 等得直角三角形141正n边形得面积Sn= pn rn /2 p表示正n边形得周长142正三角形面积V 3a/4 a表示边长 143 如果在一个顶点周围有

17、k 个正 n 边形得角，由于这些角得 与应为 3 6 0° ,因此 kX(n 2 )18 0 °/n =3 6 0° 化为(n-2 )(k-2)=41 44弧长计算公式：L= n兀R/18014 5扇形面积公式:S扇形=n兀R八2/3 6 0 =L R/214 6内公切线长=d (R-r )外公切线长=d ( R+ r)实用工具：常用数学公式乘法与因式分a -b =(a + b )( a b ) a3b =(a-b) ( a2+ a b+b(a± b) 2=2±b 3a3+b ' =( a +b)( a '-ab + b2)2)

18、a 2 ± 2ab+b 2(a ± b)3 = a '± 3a2 b +3ab(a ±b± c)= a +b 2+ c2± 2ab± 2a c+2 bc三角不等式|a+b| a | + |bab|<|a|+|b| a| < b<=-b < a<b|a I < a <1 a|a- b| > I a| |b一元二次方程 aX 2+b X + c = 0 得解 X= -b± V (b -4 a c) 2 a根与系数得关系Xi+X2= - b/ a Xi X X2 =

19、c / a 注:韦达定理 判别式 ：b 24ac=0 注: 方程有两个相等得实根b24ac0 注:方程有两个不等得实根b ' - 4a c 0注:方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式 两角与公式sin(A+ B) =sin Acos B +c os A s inBB )=si n AcosB-sin B cosAsi n( A-cos(A+B) =c osAcosB si n Asi n Bc os(A-B)=co s AcosB + sinA sin Bta n (A+ B )= (tanA+ta n B) /( 1 t a nAtanB) tan (A B)=(ta n A-ta

20、nB ) /(1+t a nA t a nB)ctg( A +B)= (c tgActg B1 )/( ctgB+ c tgA)t g (A B) =(c tgA c tgB+ 1 )/ (c tg B- c t g A)倍角公式t an2A=2tanA /(1-tan 2 A)c t g2A=( c tg 2 A 1)/2 ctgac os 2 a=cos 2 asin2 a = 2 co s 2 a 1=1 2 s i n2a角公式sin (A/2 )= V(1-c os A)/2 )= - V( 1 co sA) /2 )sin (A/2 )c o s (A / 2) = V (1 +c

21、osA) / 2 )=V (1+c o s A) /2)c os(A/ 2)tan (A/2)=V(1 -cos A)/(1+c osA)tan(A/2)=- V(1 c osA)/(1+co s A)ctg (A/2)= V(1+c osA)/ (1 cosA) tg (A/ 2)= V(1+ co sA)/( 1 cosA ) 与差化积2sinAco sB= si n(A+B)+ sis in (A-s in B = si n(A+B )n( AB)B)2co s A2cosA co sB= c osnB =cos(A+B) cA+ B )-sinos (A-B )(A B)2sinAsi

22、(A+ B )/2)co s ( (A-B)/22)s inA+sin B =2sin(o sA+cos B = 2c os( A+B )/2)si n ( A -B )ta n A+tanB=s i n( A+B )/c os Acos B tanA tan B=sin( AB)/c osAco sB ctgA+ctgB si n (A + B) /sin A si nB -ctgA+c t g Bs in(A+B) /si n AsinB某些数列前 n 项与1+ 2 +3+4+5 +6+7+8+ 9+ +n= n( n + 1)/ 2+3+ 5 +7+9+11+3+1 5 +(2n1 )=n22+4+6+8+ 10 + 1 2 +1 4 + + (2 n) =n( n +1)1 2 + 22 + 3 2 + 43 + +n1 3+ 2 3 + 3 3 + 4 3+ +n2=n(n+1)(2n+ 1) - 63=(1 +2 + 3+ 4+n) 2= n(n+ 1) 2/41 X 2+2 X 3+ 3X 4+4 X5 + 5X 6+6 X7 + + n (n+1=n(n+1)( n+ 2 )/3正弦定理 a/sinA=b/si n