12弯曲正应力、切应力与强度条件.

1、梁截面上的正应力is"J处二？；&s码匡a 口*2毛匪皿二3!血应湖r旳§ 93当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上mMni又有剪力Fs。既又弯矩M ,Fsill'ti Fs tn只有与切应力有关的切向内力元素dFs = T dA才能合成剪力只有与正应力有关的法向内力元素dFN = bdA才能合成弯矩所以，在梁的横截面上一般既有 正应力,又有 切应力一，纯弯曲梁横截面上的正应力RappaaPa横力弯曲梁的横截面上同时有弯 矩和剪力的弯曲。纯弯曲梁的横截面上只有弯矩 没有剪力的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算

2、公式。几何 物理 静力学取一纯弯曲梁来研究。m ana梁变形后观察到的现象（1）变形前相互平行的纵向直线（aa , bb等），变形后均为圆弧线GF, bF，等），且靠上部的缩短靠下部的伸长。aabb（2）变形前垂直于纵向直线的横向线等）变形后仍为直线（nVinXirir等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向线垂直。纯弯曲的变形特征基本假设1:平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。基本假设2:纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴与横截面的对称轴成正交O中性层与中性轴纵向对称面横截面的 对称轴横截面的对称轴横截面横截面/中

3、性层中性层d0X将梁的轴线取为X轴。横截面的对称轴取为y轴。中性轴取为Z轴Op为中性层上的纵向线段OQ2变弯后的曲率半径。在横截面上取距中性轴为y处的纵向线AB。作O2B1与0 A平行。的长度为y 0deo.dxVVdOBAOiAB|为变形前AB的长度BB为AB的伸长量AAB£为A点的纵向线应变。AZ _ AAB _ BB£ = _ _I ABxO O2y(d0)dxdeP02yd0ROidx中性层的曲率为dePo.dxVVdOBAO|ABi BB y(d0) ABi O1O2 dx1 _d0P dx该式说明，e和y坐标成正比,因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等

4、。dePO2yd0RAOidxX2,物理方面假设:纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态O材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系a =E£b=Ew=E yp上式为横截面上正应力变化规律的表达式。<7 = Ee = E p上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比；在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等O需要解决的问题3,静力学方面O=E£ =E*如何确定中性轴的位置？如何计算P?在横截面上法向内力元素bdA 构成了空间平行力系。该空间平行力系简化为X轴方向的主矢对y轴和Z轴主矩M y= J4Z

5、（也4）cr = Ee = E、 p1 EI A ydA = Sz = 0'PMy = fz(odA) = p1 ELzy =/z = 0"2("尸砰"EEF N =CT-dA=ydA = Sz = OppSz = O中性轴必通过横截面的形心I中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直；中性轴中性轴MCZy中性轴中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。EEA/ J = (orfA) = Jaz * y 血4 = /并=0PPI yz=因为y轴是横截面的对称轴，所以Q定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴P El,EI,称为截面的抗弯刚度<5 =

6、Eg = E PIz该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式式中:M横截面上的弯矩。横截面对中性轴的惯性矩。求应力点的y坐标OIz公式的适用性由于推导过程并未用到矩形截面条件,因而 公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且 载荷作用在对称面内的情况。公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截 面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。公式是从纯弯曲梁推得,是否适用于一般情 形（横力弯曲）？横力弯曲时的正应力横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）一寵此外，横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论,有结论:当梁的长度/与横截面的高度力的比值:-5 h 则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正

7、应 力有足够的精度。l/h>5的梁称为细长梁。Iz4,讨论（1）应用公式时，一般将M, y以绝对值代入。根据梁变形的实际情况直接判断b的正，负号。梁变形后凸出边的应力为拉应力（b为正号）以中性轴为界梁变形后凹入边的应力为压应力（b为负号）Iz(2) 横截面中性轴上各点的正应力最小。且bmin=0中性轴中性轴Iz(3) 最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处中性轴为对称轴tnuixtnuixy升rraxrraxAerraxAerraxniatnwynuxAcrraxrraxM VM V用ymax表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。y t max y c max ，maxnuiyArrraxiraxM yb =Izbmaxmax厶Wz= “y maxWz称为抗弯截面模量。中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为brnax32矩形截面的抗弯截面系数maxbh?6?圆形截面的抗弯截面系数maxIz =Tr £/64d/2.4矩形截面梁横截面上正应力分部图Ocmax =6 max CTmax对于中性轴不是对称轴的横截面y rmaxFin”y cnuxy t rnax应分别