完整八下勾股定理典型例题归类总结,推荐文档

1、勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例 1 .在 ABC 中, C 90 .AB 17, AC 15,求BC的长AC 6 , BC 8 .求AB的长跟踪练习：1. 在 ABC 中,C 90 .(1) 假设 a=5,b=12,那么 c= ;(2) 假设 a:b=3:4,c=15,贝U a= ,b=.(3) 假设Z A=30° , BC=2,那么 AB= , AC= .2. 在Rt ABC中,/ C=90° , ZA, ZB, ZC分别对的边为 a, b, c,那么以下结论正确的选项是 ()A、尸+ /；=$b、廿一胪=砂 C、X=/ 一歹 D、W疽=/3. 一个直

2、角三角形的三边为三个连续偶数,那么它的三边长分别为()A、2、4、6 B、4、6、8 C、6、8、10 D、3、4、54. 等腰直角三角形的直角边为2,那么斜边的长为()A、历 B、2历 C、1 D、25. 等边三角形的边长为2cm,那么等边三角形的面积为()A、b、妪C、1 D、庐6. 直角三角形的两边为2和3,那么第三边的长为.7. 如图,/ ACB= / ABD=90° , AC=2 , BC=1 , AD =,贝J BD=.8. ABC中,AB=AC=10 , BD是AC边上的高线, CD=2,那么BD等于()A、4 B、6 C、8 D、AW,求这个三角形的面积.9. Rt

3、ABC的周长为10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广(1) 如图,以Rt ABC的三边长为边作三个等边三角形,那么这三个等边三角形的面积Si、S2、S3之间有何关系？并说明理由.(2) 如图,以Rt ABC的三边长为直径作三个半圆,那么这三个半圆的面积S1、S2、,3之间有何关系？(3) 如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180° ,请探讨两个阴影局部的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由.(此阴影局部在数学史上称为“希波克拉底月牙)例1.如果梯子的底端离建筑物 9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟

4、踪练习：1. 如图8,水池中离岸边 D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水局部BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B恰好落到D点,并求水池的深度 AC.2.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现: 长为13米,那么云梯可以达该建筑物的最大高度是/K+0 5j/I5 来, 消防革的玄悌最夫升H 2A、12 米 B、13 米 C、14 米D、15 米F1 AB如么委尹基直3.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高 4米,两树相距 8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行D、14 米A、8 米B、10 米 C、12 米题型三：勾股定理和逆定理并用一一 例3.如

5、图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且FB 角三角形吗？为什么？注：此题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题. 跟踪练习：1.如图,正方形 ABCD中,E为BC边的中点,F点CD边上一点,且 DF=3CF,求证：/ AEF=90°题型四：利用勾股定理求线段长度一一例1.如图4,长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好 落在BC边上的点F,求CE的长.1.如图,将一个有45度角的三角板顶点 C放在一张宽为边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另30&

6、#176;角,求三角板的最大边 AB的长.2. 如图,在 ABC 中,AB=BC , Z ABC=90° , D 为 AC 的中点,DE ± DF ,交 AB 于 E,交 BC 于 F, (1) 求证：BE=CF; (2)假设 AE=3 , CF=1,求 EF 的长.3. 如图,CA=CB,CD=CE, Z ACB= Z ECD=90° ,D 为 AB 边上的一点.假设 AD=1 , BD=3,求 CD 的长.试判断费ABC的形题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例1.有一个传感器限制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动翻

7、开,一个身高 1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好翻开？跟踪练习:1. 如图,每个小正方形的边长都是1, ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上,状,并说明理由.(1)求证：/ ABD=90 ; (2)求2. 以下各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是()_ _ £11A、9, 12, 15B、7,24,25 C、航*媚D 3,4,53. 在 ABC 中,以下说法/ B= / C- / A :+ 诺顶a： Z B: Z C=3 : 4: 5;a:b:c=5:4:3 ;r己！产：/=1:2:3,其中能判断 ABC为直角三角形的条件有()A、2个B、3个 C、4个 D、5个

8、4. 在 ABC中,Z A、Z B、ZC的对边分别是 a、b、c.判断以下三角形是否为直角三角形？并判断哪一 个是直角？(1) a=26, b=10, c=24; (2) a=5, b=7, c=9; (3) a=2,6 = 3, = A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个5. ABC的三边长为a、b、c,且满足S 3尸十化一魄|十-13 - 0,那么此时三角形一定是()A、等腰三角形B、直角三角形 C、等腰直角三角形D、锐角三角形2 c= nA、锐角三角形B、钝角三角形7.如图,正方形网格中的 ABC是(C、)等腰三角形D、直角三角形2.6. 在 ABC 中,假设 a= n 1 ,

9、b=2n ,A、直角三角形B、锐角三角形 C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8.在 ABC中,Z A、Z B、ZC的对边分别是 a、b、c,以下说法中,错误的选项是(A、如果/ C- / B= / A,那么Z C=90° B、如果/ C=90°,那么少一厦二册C、如果(a+b) (a-b) =乏,那么Z A=90°D、如果Z A=30°,那么 AC=2BC 9. ABC的三边分别为a, b, c,且a+b=3 , ab=1 , = 求+甘的值,试判断 ABC的形状,并说明理由10. 观察以下各式：32 4-42 = 5七中+铲=1评,1驴十驴=1&

10、quot; " + 1俨=溯,根据其中规律, 写出下一个式子为 11. ,m > n, m、n为正整数,以？n2 n2, 2mn , 广小 "一为边的三角形是 三角形.12. 一个直角三角形的三边分别为n+1 , n-1 , 8,其中n+1是最大边,当n为多少时,三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图,P是等边三角形 ABC内一点,PA=2,PB= 2/3 ,PC=4,求 ABC 的边长.跟踪练习1.如图, ABC 为等腰直角三角形,/ BAC=90 ° , E、F是BC上的点,且/ EAF=45.,试探究222BE、CF、EF间的关系,并说明理

11、由.B E F C题型七：关于翻折问题 例题7.如图,矩形纸片 ABCD的边AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点,将矩形纸片沿 AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.跟踪练习,把 ADC沿直线AD翻折,点C落在点C '的位置,BC=4,1.如图,AD是 ABC的中线,/ ADC=45 求BC '的长.1.如图,在 ABC 中,Z A = 90处,AB=4 , AC=3,求 BD 的长.一折叠直角三角形；点D为AB上一点,沿 CD折叠 ABC,点A恰好落在BC边上的A2.如图,Rt ABC中,/ B=90° , AB=3 , AC=5 .将

12、 ABC折叠使 C与A重合,折痕为 DE ,求BE的二折叠长方形1.如图,长方形 ABCD中,AB=4 , BC=5 , F为CD上一点,将长方形沿折痕 BC上的点E处,求CF的长.AF折叠,点D恰好落在2.如图,长方形 ABCD中,AD=8cm , AB=4cm,沿EF折叠,使点 D与点B重合,点C与C'重合.1 求DE的长；2求折痕EF的长.3. 2021部德如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边CD落在对角线 AC上,折痕为CE ,且D点落在对角线 D'处.假设AB=3 , AD=4,贝U ED的长为4.如图,长方形 ABCD中,AB=6 , AD=8 ,沿BD折叠使 A到

13、A'处DA'交BC于F点.1求证：FB=FE2求证：CA / BD3求 DBF的面积7,如图,正方形 ABCD中,点E在边CD上,将 ADE沿AE对折至 AFE ,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结 AG、CF. (1)求证：AG / CF; ( 2)求五的值,题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图,公路 MN和公路PQ在P点处交汇,点 A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向18千米/小时,那么学行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；如果受到影响,拖拉机

14、的速度是 校受到影响的时间为多少？例2,一辆装满货物高为 1.8米,宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利通过吗？跟踪练习:1. 某市气象台测得一热带风暴中央从A城正西方向300km处,以每小时26km的速度向北偏东 60°方向移动,距风暴中央 200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响,请说明理由.北$0!O2. 一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如以下列图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂I'T ？3.有一个边长为 50dm数的正方形洞口,

15、想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长？结果保存整4.如图,铁路上 A , B两点相距 25km , C , D为两村庄, DA ± AB 于 A , CB ± AB 于 B , DA=15km,CB=10km ,现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E,使得C, D两村到E站的距离相等, 那么E站应建在离 A站多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿 A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它成心不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后

16、对害虫进行忽然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？兀取3.14,结果保存1位小数,可以用计算器计算例2.跟踪练习:1. 如图为一棱长为 3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,那么它从下地面 A点沿外表爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟？2. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm , A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从 A点出发,沿着 台阶面爬到B点,最短线路是多少？3. 一个长方体盒子的

17、长、宽、高分别为8cm, 6cm, 12cm, 一只蚂蚁想从盒底的 A点爬到盒顶的 B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4. 如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为 能全部放进去吗？4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,题型十：勾股定理与特殊角一直接运用30°或45°的直角三角形1.如图,在 ABC 中,Z C = 90 ； Z B = 30；AD是 ABC的角平分线,假设 AC= 2石,求AD的长.2. 如图,在 ABC 中,Z ACB = 90 °, AD 是 ABC 的角平分线, CDL AB于 D, Z A

18、= 30 °, CD=2,求 ABA DL BC于 D, Z B= 60 °, Z ,C= 45；AC=2,求BD的长.3.如图,在 ABC中,(二) 作垂线构造30°或45°的直角三角形(1) 将105°转化为45°和601. 如图,在 ABC 中,/ B= 45 °, ZA=105° , AC=2 ,求 BC 的长.2.如图,在四边形ABCD 中,Z A= Z C= 45 °, Z ADB= Z ABC=105,假设 AD=2,求AB的长；假设AB+CD= 2右+2,求 AB的长.B2将75°

19、;转化为30°和453. 如图,在 ABC 中,Z B= 45 °, Z BAC=75 ° , AB= J6 ,求 BC 的长.题型十一：运用勾股定理列方程一直接用勾股定理列方程求AD的长.1. 如图,在 ABC 中,Z C= 90 °, AD 平分Z CAB 交 CB 于 D, CD=3,BD=5 ,AB的长.2. 如图,在 ABC 中,ADL BC于 D,且Z CAD=2 Z BAD,假设 BD=3 , CD=8 ,求二巧用“连环勾列方程1.如图,在 ABC 中,AB=5 , BC=7 , AC= 4 J2 ,求 S abc2. 如图,在 ABC 中

20、,Z ACB= 90 ° , CDL AB于 D, AC=3, BC=4,求 AD 的长.3. 如图, ABC 中,Z ACB=90° , CD ± AB 于 D , AD=1 , BD=4,求 AC 的长4. 如图, ABC 中,Z ACB=90° , CD ± AB 于 D, CD=3 , BD=4,求 AD 的长题型十二：勾股定理与分类讨论一 锐角与钝角不明时需分类讨论1.在 ABC中,AB=AC=5 , $另"=浦,求BC的长2.在 ABC 中,AB=15 , AC=13 , AD 为乙 ABC 的高,且 AD=12,求 AB

21、C 的面积.二腰和底不明时需分类讨论3.如图1, ABC中,/ ACB=90° , AC=6 , BC=8,点D为射线AC上一点,且 ABD是等腰三角形, 求 ABD的周长. B囹I(三) 直角边和斜边不明时需分类讨论1. 直角三角形两边分别为2和3,那么第三边的长为 2.在 ABC中,/ ACB=90° , AC=4 , BC=2,以AB为边向外作等腰直角三角形ABD,求CD的长x轴上,这样的等腰三角形能画多少个3. 如图,D(2,1),以OD为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在 写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三:以b =寸弓厂或由仁问题的证实DM1.如图1, ABC

22、中,CA=CB , Z ACB=90° , D为AB的中点,M、N分别为 AC、BC上一点,且 ± DN. (1)求证：CM+CN= I ".(2)如图2,假设M、N分别在AC、CB的延长线上,探究 CM、CN、BD之间的数量关系式.限I2. Z BCD=a , / BAD=.,CB=CD. (1)如图 1,假设 a = 3 =90.求证：AB+AD=因AC ; (2)如图 2, 假设 a =3 =90° 求证：AB-AD= V,项AC ; (3)如图 3,假设 a =120°, 3 =60；求证：AB=AD= AC ; (4)如图3, 假设

23、a =3 =120 求证：AB-AD= VAC;题型十四：隹问题的证实1.如图,OA=OB , OC=OD,匕 AOB= Z COD=90 , M、N 分别为 AC、BD 的中点,连 MN、ON.求证:MN= ON.2. ABC 中,AB=AC , / BAC=90° , D 为 BC 的中点,AE=CF,连 DE、EF. (1)如图 1,假设 E、F 分别在AB、AC上,求证：EF=U？DE ; (2)如图2,假设E、F分别在BA、AC的延长线上,贝U (1)中的结 论是否仍成立？请说明理由.3.如图, ABD中,O为AB的中点,C为DO延长线上一点, / ACO=135°

24、; , / ODB=45探究OD、OC、 AC之间相等的数量关系.4. 如图, ABD 是等腰直角, Z BAD=90° , BC / AD , BC=2AB , CE 平分Z BCD,交 AB 于 E,交 BD 于H .求证：S N Si C(1) DC=V'2dA ; (2) BE=也DH题型十五：勾股定理逆定理与网格画图1.如图,每个小正方形的边长为1, A、B、C是小正方形的顶点,那么Z ABC的度数为.2.如图,每个小正方形的边长都是1,在图中画一个三角形,使它的三边长分别是3,*,八后,且三角形的三个顶点都在格点上.3.如图,每个小正方形的边长都是1 ,在图中画一

25、个边长为的正方形,且正方形的四个顶点在格点上.4. 在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3个.5. 如图,在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这 与众不同的是 中的三角形,图 4中最长边上的高为 4个三角形中,6. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段 MN ,使MN=/HT; (2)画 ABC,三边长分别为 3,寸17, 以.7. 如图,在5 X5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.(1) 图1中以AB为腰的等腰三角形有 个,画出其中的一个,并直接写出其底边长.(2) 图2中,以AB为底边的等腰三角形有 个,画出其中的一个,并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1.如图,在 ABC中,点D为BC边上一点,且AB=10 , BD=6 , AD=8 , AC=7,其求 CD 的长.2.如图,在四边形ABCD 中,/ B=90°, AB=2 , BC =, CD=5 ,AD=4,求细虹D3.如图,在 ABC中,AD为BC边上的中线, AB=5,AC=13