圆锥曲线解题方法技巧归纳

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储藏：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式.(2)与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k tan ,0,) 点到直线的距离d以B%C夹角公式：tank2ki1 k2k1(3) 弦长公式直线 y kx b上两点 A(xi, yi), Bg, y2)间的距离：AB Ji k2|x X2J(1 k2)(Xi X2)2 4x1X2或 AB Ji £|yi y2(4) 两条直线的位置关系 l1 l2k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)

2、22标准方程：匕1(m 0, n 0且mn)m n距离式方程：,(x c)2 y2, (x c)2 y22a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：1(m n 0) m n距离式方程：|.,(x c)2 y2(x c)2 y2 | 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22椭圆：2L；双曲线：色；抛物线：2p aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:Fi、F2是椭圆§ % 1的两个焦点,平面内-个动点M满足MF1MF？ 2那么动点M的轨迹是(A、双曲线;B、双曲线的一支；C、两条射线;D、一条射线b2 tan 2P在双曲线上时,S

3、FPF b cot1 22(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时,SFiPF2,t| pF |2 | PF |2 4C2 UHT UJLU UHf UUULf(其中F1PF2,cos|1-|2,PF1 ？PF2|PF1| PF2|cos )|PF1| |PF2|(6)、 记 住 焦 半 径 公 式： (1)椭圆焦点在x轴上时为a exo；焦点在y轴上时为a ey°,可简记为“左加右减,上加下减.(2) 双曲线焦点在x轴上时为e|x0| a(3) 抛物线焦点在x轴上时为|x1|壹,焦点在y轴上时为| y11 p(6)、椭圆和双曲线的根本量三角形你清楚吗？_第二、方法储藏1、点差法(中

4、点弦问题)22设Ax,y1、Bx2,y2 , M a,b为椭圆1的弦AB中点那么有4322222222土 土 1 , W1 ；两式相减得 X1 X2yi y20434343Xi X2 Xi X2yi y2 y y23a43kAB一 瓦2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到 一个二次方程,使用判别式 0 ,以及根与系数的关系,代入弦 长公式,设曲线上的两点 A3, yi), Bg, y2),将这两点代入曲线方 程得到(1(2两个式子,然后(1-(2,整体消元,假设有两个字母未知数

5、,贝腰找到它们的联系,消去一个,比方直线过焦点, 那么可以利用三点A、B、F共线解决之.假设有向量的关系,那么寻 找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理. 一旦设直线 为y kx b ,就意味着k存在.例1、三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正半轴上).(1) 假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC的方程；(2) 假设角A为90°, AD垂直BC于D ,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心,利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程.第二问抓住角A为900可得 出AB

6、 ± AC,从而得X1X2 w 14(y1 y2)16 0,然后利用联立消元 法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：(1)设 B ( xw ) ,C(X2,y2 ),BC 中点为(x.,y.),F(2,0 测有(xx2)(x乂2)(yy2)(yy)0奕y°k0例工七1 F左7H2016542Xi2 yi201621空202y216F(2,0)为三角形重心,所以由 W2 2,得xo 3,由y1 ；2 y直线过定点(0 ,：),设D ( x,y),那么一七业9y2 9x2 32y 16 0所以所求点D的轨迹方程是x2 (y3、设而不求法例2、如图,梯形ABCD中|ab成的比为,双曲

7、线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当3:时, 求双曲线离心率e的取值范围 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 0得 y°2,代入(1)得k °5直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB X AC 得 x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0(2)设直线 BC 方程为 y kx b,代入4x2 5y2 80, 得(4 5k2 )x2 10bkx 5b2 80 010kbxx2r , x1 x24 5k25b2 804 5k28ky1y25k2,y1 y24b2 80k24 5k2代入(2)式得9b2 32b 164 5k20,解得b

8、4(舍)或b16、2 ,20、2小寸(&)(y 4).2CD,点E分有向线段月所和性质,推理、运算水平和综合运用数学知识解决问题的水平.建 立直角坐标系xoy,如图,假设设C5建立目标函数22进而求得xE L ,yE L ,再代入与与1 ,a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,此运算量可见是难上加难.我们对h可 米取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图,以AB为垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,那么CD ± y轴由于双曲线经过点 C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性

9、知 C、D关于y轴对称依题意,记A c, 0 , C c, h2,Ex°,y0,其中 c ；|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高,由定比分点坐标公式得22设双曲线的方程为5 % 1, c. I c.za b那么离心率由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e三代入双曲线方a程得由式得h2b2将式代入式,整理得2 e 4412,4故1必一e2 1由题设Z 2得,Z 1义3 343 e2 2 4解得7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为 后,而 分析：考虑AE , AC为焦半径,可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示,回避h的计算,到达设而不求的解题策略.解法二：建系

10、同解法一,XecC _222 c121AEa exE , AC,又常厂,代入整理岂,由题设23得,2 1,？34' 3 e2 2 4解得.7 e、,10所以双曲线的离心率的取值范围为旧,而4、判别式法例3双曲线CH xl 1,直线l过点A克,0,斜率为k,当0 k 1'22时,双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线l的距离为,试求k的值及此时点B的坐标.分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因 此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有 这个微观入手,对照草图,不难想到：过点 B作与l平行的直线,必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程

11、的判别式0.由此出发,可设计如下解题思路:l : y k(x .2)0 k 1直线i在i的上方且到直线i的距离为"2 1 F_ 2l': y kx 2k2 2 2k把直线l'的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式0解得k的值分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点 B到直线l的距离为捉,相当于化归 的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：关于x的方程kx <2 x2 克k|L 捉 0 k 1有唯u转化为一元二次方程根的问题简解：设点M(xa'2 x2)为双曲线C上支上任一点,那么点 M至直 线l的距离为：kx 2

12、 x2 2k于是,问题即可转化为如上关于x的方程.kx <2 x2 V2kkx 2 x22 k.于是关于x的方程于是关于x的方程,2厂1kx 2 x2k由于0 k 1,所以V2 x2 x kx,从而有2 x2 2 ( 2(k2 1) . 2k kx)2, _2-2(k1). 2k kx 02k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x2(k2 1) 2k 2 0,2(k2 1) 2k kx 0.由0 k 1可知：方程 k2 1x2 2k%2(k2 1) jWkx J2(k2 1) V2k 2 2 0 的二根同正,故J2(k2 1) 扼k kx.恒成立,于是 等价于 _2k2 1 x2

13、2k 2(k2 1). 2k x . 2(k2 1).2k2 0.由如上关于x的方程有唯一解,判别式 0,就可解得k玄5.5点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分表达了全局观念与整体思维的优越性.例4椭圆C：x2 2y2 8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使藉 普,求动点Q的轨迹所PB QB在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往 往不知从何入手.其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可到达解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线

14、AB的变化引起的,白然可选择直线 AB的斜率k作为参数,如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在 直线AB上；另一方面就是运用题目条件：器QB来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到x 4g x)2xxb,要建立x与k的关系,只需8笊x)将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决此题,已经做到心中有数.在得到x f k之后,如果能够从整体上把握,熟悉到：所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程(不含k),那么可由y k(x 4) 1解得k m,直接代入x f 程.k即可得到轨迹方程.从而简化消去参的过简解：设 A

15、 x,yi , Bg,y2),Q(x, y),那么由 APPBQB可得:4x1x2x x1x2 x解之得：x 些M2x1 x28 (xi X2)(1)设直线AB的方程为：y k(x 4) 1 ,代入椭圆C的方程,消去y得出关于x的一元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)2(2)XiX24k(4k 1)2k2 1XiX22(1 4k)2 82k2 1代入1,化简得x y3k 2与 y kx 4 1 联立,消去 k 得：2x y 4x 4 0.在2中,由 64k2 64k 24 0 ,解得 k W!0 ,结合3 44可求得 16 2 1016 2.10.99故知点Q的轨迹

16、方程为：2x y 4 0 16 2而x 16项.99点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到 .这当中,难点在 引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参 三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 .5、求根公式法例5设直线l过点P 0, 3,和椭圆丈1顺次交于A、B两点, 94试求住的取值范围.PB分析：此题中,绝大多数同学不难得到： 苴=也,但从此后却一 PB xb筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够 .事实上,所谓求取 值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个 参数的函数关系式或方程

17、,这只需利用对应的思想实施；其二那么 是构造关于所求量的一个不等关系.分析1：从第一条想法入手, 冬=么已经是一个关系式,但由于PBxb有两个变量xa,xb ,同时这两个变量的范围不好限制, 所以白然想到利用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化为关于k的表达式,至耻匕为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.简解1:当直线1垂直于x轴时,可求得蓄当1与X轴不垂直时,设Axi,yi,B(X2, y2),直线1的方程为:y kx 3,代入椭圆方程,消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得xi,227k 6 9k2 5由于椭圆

18、关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑k.的情形.当 k 0 时,xi27知6'了 5 , x2所以 AP 互=9k 2 9k2 5 =PB x2 9k 2.9k2 5227k 6 9k 59k 189 2 9 5 k由所以(54k)2 180 9k2 40,解得 k2189 2 95 2k29,APPB分析2:如果想构造关于所求量的不等式,那么应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,原因 在于备芝不是关于X1,X2的对称关系式.

19、原因找到后,解决问题的方法白然也就有了,即我们可以构造关于 Xi,X2的对称关系式.简解2:设直线l的方程为：y kx 3,代入椭圆方程,消去y得9k* 2 4 x54kx 45 0*)X1那么X1X2X254k9k2 4,459k2令也X2那么,324 k245k2 20在*中,由判别式0,可得k2从而有5.324 k24245k结合036,所以 51201 得！ 1.等,解得APPB不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等.此题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能 说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实

20、质所在,只有 见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里第三、推理练习：数学推理是由的数学命题得出新命题的基 本思维形式,它是数学求解的核心.以的真实数学命题,即定义、 公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,到达解题目标, 得出结论的一系列推理过程.在推理过程中,必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推 理严密.通过编写思维流程图来锤炼白己的大脑,快速提升解题水平.例6椭圆长轴端点为A,B,.为椭圆中央,F为椭圆的右焦点, 且AF FB 1, |6| 1.(1)求椭圆的标准方程；(丑)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两

21、点,问：是否 存在直线l ,使点F恰为PQM的垂心？假设存在,求出直线l的方程； 假设不存在,请说明理由.思维流程：/ T UULT uunUULT(I)由 af？fb 1, of 1(a c)(a C) 1 , c 1厂 写出椭圆方程a V2,b 1由F为PQM的重心* PQ MF,MP FQ(n)223x 4mx 2m 2 0两根之和, 两根之积uuiruuirMP？ FQ 0得出关于m的方程解出m解题过程:(I)如图建系,设椭圆方程为Ka2 3y2b21(ab 0)那么 c 1又AF FB 1 即(a c) (a c)a2 2故椭圆方程为f yc 2m 2 4m z2 (m 1(H)假设

22、存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F恰为PQM的垂心,设 P(Xi,yi),Q(X2, y2),M(0,1),F(1,0),故 kPQ 1,于是设直线l2> m2 得3x2 4mx 2m2uuir uuu . MP FQ0 x1(x21) y2(y1)Xim(i1,2)得 X1(X2 1)(X2m)(x1 m 1)2x1x2 (x1 x2)(m1) m2m 0由韦达定理得1) m2解得m 3或m1 (舍)经检验m如合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、椭圆E的中央在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1,- 三

23、点.(I )求椭圆 E的方程:2(n)假设点D为椭圆e上不同于A、B 的任意一点,F( 1,0), H (1,0),当DFH内切圆的面积最大时,求DFH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2 ny2 1» 得到m,n的方程解出m,n(丑) 由 DFH内切圆面积最大_转化为 DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为J3S DFH1周长2内切圆r内切圆"3碍出D点坐标为 0,3解题过程：(I)设椭圆方程为22-mx ny 1 m0,n3A( 2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入椭圆E的万程,得9 解得m -,

24、n -.椭圆E的方程一 m n 143434(n) |FH | 2,设ADFH 边上的高为 Sdfh 1 22当点D在椭圆的上顶点时,h最大为右,所以S DFH的最大值为V3 .设 DFH的内切圆的半径为R,由于ADFH的周长为定值6.所以,S DFH R 62所以R的最大值为 季.所以内切圆圆心的坐标为©乎)S的内切圆- 的周长 r的内切圆2例8、定点C( 1,0)及椭圆x2 3y2 5,过点C的动直线与椭圆 相交于A, B两点.(I )假设线段AB中点的横坐标是 】,求直线AB的方程；2(丑)在x轴上是否存在点M,使MA而为常数？假设存在,求出 点M的坐标；假设不存在,请说明理由

25、.思维流程：(I )解：依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y k(x 1),将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5,消去y整理得(3k21)x2 6k2x3k2 5 0.设 Ag y),Bg, V2),36k4 4(3k2 1)(3k2 5)那么6k2X x22.3k2 10,甘线段AB中点的横坐标是3k23k2 1k * ,符合题意.3所以直线AB的方程为x右y 10,或 x3y0.(II)解：假设在x轴上存在点M (m,0),使MA MB为常数.当直线AB与x轴不垂直时,由6k2xiX22,3k 13k2 53k2 1uuur unr所以 MA MB (x1m)(x2 m)

26、 v*2 ,(x1 m)(x2 m) k (x1 1)(x2 1)(k2 1以的(k2 m)(x x2) k2 m2.将(3)代入,整理得_12142 (2m)(3k1) 2m -uuur uijj(6m 1)k52332MA MB/- mc 1 6m 142m2 3(3k2 1)例9、椭圆的中央在原点,焦点在 x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2, 1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m (mz3 m23k2 13k2 12 c 1 6m 14 m 2m - z3 3(3k2 1)注意到MA MB是与k无关的常数, 从而有6m 14 0,mr unr 4 MA MB -.9当直线

27、AB与x轴垂直时,此时点A, B的坐标分别为1,当 m V、,uuir uuir 4亦有MA MB9综上,在x轴上存在定点M,使MA诡为常数.1214点石成金:uuu uuur(6m 1)k2MA MB23k2 1(2m -)(3k2 1) 2m 323m23k2 1乒0), l交椭圆于A、B两个不同点.(i)求椭圆的方程；(n)求m的取值范围;(HI)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解:(1)设椭圆方程为2 x-2 a2y21(a b 0)b2a 2b那么4a2 b2a28解得1 b22椭圆方程为(H) .直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m又Kom_ 121yx

28、 m由2222xx七i82直线l与(2m)24(2m2 4)2 m2,且 m00,2mx 2m2解得椭圆交l的方程为：y(m)设直线MA、MB的斜率分别为 女,k2,设 A(xi, yi), Bg, y2),且xx22m, x1x22m2那么kiyixi2,k2y2 ix22x2 2mx2m2xiX22m, x1x22m2而kik2yi ixi2y2 ix22(yi1) (x2i)(x2两个不同点,只需证实k1+k2=0即可4 0可得2) (y2 1)(xi 2)(xi2)(x2 2)12) (§x2m i)(x 2)(xi 2)(x2 2) 2m2 4 (m 2)( 2m)4(m

29、i)(xi 2)(x22)2m2 4 2m2 4m 4m4 0(xi 2)(x22)0(xi 2)(x22)xix2(m 2)(xi x2) 4(m i)ki k2 0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形ki k20例i0、双曲线|的离心率e号,过A(a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是手求双曲线的方程;C, D且C, D都2直线y kx 5k 0交双曲线于不同的点在以B为圆心的圆上,求思维流程：解：1、.ab距罟 Ja2 b2b 1, a x 3.abc室¥原点到直线3,、32 .AB:故所求双曲线方程为23&q

30、uot;y2(2 ) 把y kx 5代入3y23中消去整理得(1 3k2)x2 30kx 78 0.设C(xi,yi), Dg, y2),CD 的中点是Exo,y.,那么x_x-x 021y 01x.k be15 k r y3k1 kkx5521 3kx° ky°k 0,即沿/5k1 3k 20,又 k 0,k2点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE ± CD;例11、椭圆C的中央在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.I 求椭圆C的标准方程； II假设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点A、B 不是左右顶点

31、,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直 线l过定点,并求出该定点的坐标.22思维流程：解：(I)由题意设椭圆的标准方程为xy,-、221(a b 0),ab由得：a c 3, a c 1,a2, c 1,.222.b a c 3椭圆的标准方程为2七1.3y kx m,(II )设 AM yi), Bg, y2). 联立 x2y21.43得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ,贝U2 2222264m k 16(3 4k )(m3) C 3 4k m 0,8mkx1 x22,3 4k4( m2 3) x1x2 .3 4k又y、222(kx1 m)(kx2 m) k x1x2 mk