空间向量与立体几何的的知识点和习的题目

1、空间向量与立体几何【知识要点】1 空间向量及其运算：(1) 空间向量的线性运算： 空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立. 空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a+ b= b+ a；加法结合律：(a+ b+ c) = a+ (b+ c)；分配律：(+)a=a+a;(a+ b) =a+b.(2) 空间向量的基本定理： 共线(平行)向量定理：对空间两个向量a, b(b0) , a/ b的充要条件是存在实数，使得a / b. 共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是存在惟一一对实数， ，使得c

2、= a+ b. 空间向量分解定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组1,2,3,使得P= 怡+2b+3C.(3) 空间向量的数量积运算： 空间向量的数量积的定义：a b= | a | | b | cos a, b； 空间向量的数量积的性质：a e= | a | cos v a, e>； a丄 b：= a b= 0；2| a| = a a； | a b| < | a | | b |. 空间向量的数量积的运算律：(a) b=(a b)；交换律：a b = b a；分配律：(a+ b) c= a c + b c.(4) 空间向量运算的坐标表示：

3、空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxyz,分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i , j , k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i , j , k,由空间向量分解定理，对于空间任一向量 a,存在惟一数组(ai, a2, a3)，使a= aii + aj + a3k，那么有序数组(ai, a2, a3)就叫做空间向量 a的坐标，即a= (ai, a2, a3). 空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a= (ai, a2, a3), b = (bi, b2, k)，贝Ua+ b= (ai + bi, a2 + b2, & + b3) ； a- b= (ai

4、 bi, a2-b2, a3- b3)；a= ( ai, a2, a3)； a b= aibi+ a?b2+ a3b3. 空间向量平行和垂直的条件：a / b(b 0) = a= b= ai=bi, a2=b2, a3=b( R)；a丄 b= a b= 0：= aibi+ a?b2+ a3b3= 0. 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a= (ai, a2, a3), b = (bi, b2, k)，贝U|a = a a 二.a； a； ' af ,| b= b. bi b2 b3;cos ： a, b *=a bITb"|aQ +a2b2 +a3ba； a； a； b

5、2 b； b；在空间直角坐标系中，点A( ai,a；,as),B(bi,b；,ba)，贝UA,B两点间的距离是； ； ；1 AB= . (ai -bi)(a2' (a3 - b3)2.空间向量在立体几何中的应用：(1) 直线的方向向量与平面的法向量： 如图，I为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，对空间任意一点Q点P在直线I上的充要条件是存在实数t，使得OP = 0A ta，其中向量a叫做直线的方向向量.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定. 如果直线I丄平面，取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.由此可知，给定一点A及一个向量a,那么经过点 A

6、以向量a为法向量的平面惟一确定.(2) 用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线I , m的方向向量分别是 a, b,平面 ，的法向量分别是u, v,贝U I / a/ bu a= kb, k R； I丄侮a丄b= a b= 0; I /二 a丄 u：= a u= 0； I 丄二 a/ u：= a= ku, k R； 二 u / v = u= kv, k R； 丄 ：=u丄v：=uv = 0.(3) 用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： 异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点 O作直线a'/ a, b'/b,贝U a'与b'所夹

7、的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.设异面直线a与b的方向向量分别是 V1, V；, a与b的夹角为，显然二 (0,、，则2,I Vi V； I|cos： y, v2 I 1I Vi | v ；| 直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的 角.设直线a的方向向量是u,平面的法向量是v,直线a与平面的夹角为，显然n| u v |：=0,，则 |cos ： u, v |二2 |u|v | 二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作l 在二面角的棱上任取一点 0,在两个半平面内分别作射线OAL l , OBL l ,则/ AOB叫做二

8、面角 一| 的平面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB CD分别是二面角一I 的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角 一I 的大小就是向量 AB与CD的夹角的大小.方法二：如图，m, m分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m, m与该二面角的大小相等或互补.(4) 根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立 体几何问题.【复习要求】1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直

9、.4.理解直线的方向向量与平面的法向量.5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 【例题分析】例1 如图，在长方体 OAEOA1E1B中，OA= 3, OB= 4, O8 2,点P在棱AA上，且 AP= 2PA，点S在棱BB上，且BS= 2SB点Q R分别是OB, AE的中点，求证：PQ/ RS【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得PQ二kRS.解：如图建立空间直角坐标系，则O0, 0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，0(0, 0，2)，A(3，0，2)，B(0，4，2)，E(3，4, 0).2 24 A

10、l 2PA， APAAi(0,0,2) =(0,0,),3 334- P(3,0,)32同理可得：Q0，2，2)，R(3，2，0)，S(0,4,)3PQ =(-3,2,勻=RS,3PQ/RS，又 R PQ PQ/ RS【评述】1、证明线线平行的步骤：(1) 证明两向量共线；(2) 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接PR QS证明PQR是平行四边形即可，请完成这个证明.例2 已知正方体 ABCB Ai B C D中，M N E，F分别是棱 A D，AiBi, D C，BG的中点,求证：平面AM/平面EFBD【分析】要证明面面平行， 可以

11、通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行.解法一：设正方体的棱长为 4,如图建立空间直角坐标系，则D(0，0, 0)，A(4，0，0)，M2 , 0, 4) , N(4 , 2, 4) , B(4, 4, 0) , E(0 , 2, 4) ,F(2 , 4, 4).取 MN勺中点 K, EF的中点G BD的中点 Q 则 Q2, 2, 0) , K(3 ,1 , 4) , G1, 3,4).MN = (2 , 2, 0), EF = (2 , 2, 0), AK = ( 1, 1, 4), QG = ( 1, 1, 4), MN / EF ,AK 二 OG MN/EF, AK/OG

12、MN/ 平面 EFBD AK/ 平面 EFBD平面AM/平面EFBD解法二：设平面AMN勺法向量是a= (ai, a2, a0，平面EFBD勺法向量是b= (bi, b2, b3)由 a AM =0, a AN =0,得_2a1 十4玄 _0,取 33= 1，得 a=(2 , - 2, 1) 2a2 + 4a3 = 0,由 b DE =0, b BF = 0,2b2 +4b3 =0,得丿取 b3= 1,得 b= (2 , - 2, 1) -2b| +4b3 = 0,/ a / b，平面 AMN 平面 EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.AM和CN所例3 在

13、正方体 ABC- A1B1CD中，M, N是棱A1B1, BB的中点，求异面直线 成角的余弦值.AM =(0,1,2), CN =(2,0,1),5A(2 , 0, 0),设AM和CN所成的角为贝y COST =AM CN| AM |CN |2异面直线 AM和CN所成角的余弦值是 2 -5解法二：取AB的中点P, CC的中点Q连接BP，BQ PQ PC易证明：BP/ MA BQ/ NC / PBQ是异面直线 AM和CN所成的角.设正方体的棱长为 2,易知Bf =BQ = .*5,PQ fPC2 QC2 = J6,二 cosPB|Q =B1P2 BQ2 PQ22B,P B,Q2异面直线 AM和C

14、N所成角的余弦值是 土P BQC【评述】 空间两条直线所成的角是不超过 分子的数量积如果是负数， 则应取其绝对值, 角(锐角).90°的角，因此按向量的夹角公式计算时， 使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的例4如图，正三棱柱 ABC- ABC的底面边长为a,侧棱长为 J2a，求直线AC与平面ABEAi所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标.求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABEA的法向量求 解.解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0 , 0, 0) , B(0 , a, 0) , A (0,0,、

15、. 2a),f-P3a a la 厂亠Ci(, , 2a) 取 AB 的中点 D,则 D(0, 2a)，连接 AD, CD.2 2 2:/3a则 DC = (-,0,0), AB = (0, a,0), AA1 = (0,0,、2a),2DC 1 AB = 0, DC1 AA = 0,- DC丄平面 ABEA1, Z CAD是直线 AC与平面ABEA1所或的角.AC占一子»2a）,AD"|"a）,AC1 AD5/3.cosGAD| AG | AD |2直线AG与平面ABBA所成角的大小是 30°.<3 a a 、(-*2a)解法二：如图建立空间直角

16、坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），Ai（0，0,2a），Gi( 3a,a. 2a)，从而 AB =(0,a,0), AA = (0,0,2 a), ACi 2 2设平面ABBA的法向量是a= (p, q, r),由 a AB =0,a AA =0,小 aq =0,小得l取 p= 1，得 a= （1 , 0, 0）.J2ar =0,n设直线AC与平面ABBA所成的角为日月0,2sin j 彳 cos AC1, a | = - 30 .I ACi|a |2【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再

17、利用两角互余转换.例 5 如图，三棱锥 P ABC中, PA!底面 ABC ACLBC PA= AC= 1, BC = . 2，求二面角A PB- C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中点D,连接CD作AE!PB于E./ PA= AC= 1, PAL AC, PC= BC=2 , CDL PB/ EAL PB向量EA和DC夹角的大小就是二面角 A PB- C的大小.如图建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0, . 2，0），P（1，0，1），由D是PB的中点，得D(；22J由PEEB_ AP2=AB211 ,得E是PD的中点，从而3e(33)4 44弓 DCt,24

18、2 EA DC 3.cos ： EA, DC 沪| EA | DC |3解法二：如图建立空间直角坐标系，则即二面角A- PB- C的平面角的余弦值是A(0 , 0，0)，B( . 2,1,0)，C(0，1, 0)，P(0，0，1），AP =(0,0,1), AB = ( . 2,1,0), CB = C、2,0,0), CP 二(0,-1,1).设平面PAB的法向量是 a= (a1, a2, a3),平面PBC的法向量是b= (b1, b2, b3).由 a AP = 0, a AB 二 0,a2取 a = 1,=0,得 a 二(1,- .2,0).由 b CB=O, b CP=O得广'

19、;2b) =0,取 b3= 1,得 b= (0 , 1, 1).厂匕2性=0,cos a, b =I a | b |面角A- PB- C为锐二面角,二面角A PB- C的平面角的余弦值是|_T |二T3 3【评述】1求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为 这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平 面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.例 6 如图，三棱锥 P ABC中, PAL底面 ABC PA= AB / ABC=

20、 60°,/ BCA= 90°, 点 D, E 分别在棱 PB PC上，且 DE/ BC(I )求证：BC丄平面PAC(n )当D为PB的中点时，求 AD与平面PAC所成角的余弦值；(川)试问在棱PC上是否存在点 E,使得二面角 A- DE- P为直二面角？若存在，求出PE： EC的值；若不存在，说明理由.解：如图建立空间直角坐标系.设PA= a,由已知可得 A(0 , 0, 0),B1a23a,0),C(0232 2 2a,0), P(0,0,a). - 1(I 厂.AP =(0,0,a), BC =(a,0,0),2 Ap bc=0, BCL AP 又/ BC= 90&

21、#176;,. BCL AC BC丄平面PAC(n ) V D为PB的中点，DE/ BC E为PC的中点.1V31<31、- D( a,匸 a-a), E(0,q aa)4 4242由(I )知，BC丄平面PAC DEL平面PAC/ DAE是直线AD与平面PAC所成的角.一 1. 31 一31、AD = ( a, a, a),AE =(0, a, a),44242/AD AEvJ14cos 匕 DAE =|AD|AE| 4即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是 -4-4(川)由(n )知，DEL平面 PAC 二 DEI AE DEL PE, / AEP是二面角 A- DE- P的平面角.

22、/ PAL底面 ABC - PAL AC / PAC= 90°.在棱PC上存在一点 E,使得 AE! PC2PEPA24这时，/ AEP= 90°，且=-PA=-ECAC23故存在点E使得二面角 A- DE- P是直二面角，此时 PE： EC= 4 : 3. 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.练习1-3、选择题：1.在正方体 ABCDAi B CD中，E是BB的中点，则二面角 E AD- D的平面角的正切值是()2.3.4.(A) .2(B)2(D) 2、2正方体ABC A1B1CD中，直线AD与平面AACG所成角的大小是() (A)30 &

23、#176;(B)45 °(C)60 °(D)90已知三棱柱 ABC- ABC的侧棱与底面边长都相等， 心，则AB与底面ABC所成角的正弦值等于()A在底面ABC内的射影ABC的中(C)<3如图，AB与 a> b,Cl= l , A, B所成的角分别是 和:,AB在 则下列结论正确的是,A,B到I的距离分别是a和b，内的射影分别是m和n，若> :,m> nv , mx n(A)(C)二、填空题：5.在正方体ABCABCD中,EF与GH所成角的大小是(E, F, G H分别为AA，ABmx nBB, BiC的中点，则异面直线6 已知正四棱柱的对角线的长为

24、.6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为-，则该正四3棱柱的体积等于7.如图，正四棱柱 ABCD- ABGD中，AA= 2AB则异面直线 AB与AD所成角的余弦值为&四棱锥P ABCD勺底面是直角梯形，/BAD= 90 ° , AD/ BC AB = BC = 1 AD , PAL2底面ABCD PD与底面ABCD所成的角是30°.设AE与CD所成的角为，则cos三、解答题：9.如图，正四棱柱 ABC ABCD中，AA= 2AB= 4，点E在CC上，且 CE= 3ECAB(I )证明：AQ丄平面BED(n )求二面角 A DE- B平面角的余弦值._n10.如图，在四

25、棱锥 O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，/ABC二,OAL底面4ABCD OA= 2, M为OA的中点，N为BC的中点.O(I )证明：直线MN/平面OCD(n )求异面直线AB与MD所成角的大小.,CA= CB / BAP= 4511.如图，已知直二面角一PQ-, A PQ B, C直线CA和平面所成的角为30°Q(I )证明：BC± PQ(n )求二面角B- AC- P平面角的余弦值.习题1、选择题:1.关于空间两条直线 a、b和平面，下卜列命题止确的是 ()(A)若 a / b, b 二，则a/(B)若 a/,b-，贝U a / b(C)若 a/, b/，

26、贝U a / b(D)若a丄,b丄，贝U a/b2.正四棱锥的侧棱长为2 3，底面边长为2，则该棱锥的体积为()(A)8(B) 83(C)6(D)23已知正三棱柱 ABC- ABC的侧棱长与底面边长相等，则直线AB与侧面ACCA所成角的正弦值等于()(D)乎cm),可得这个几何<6<10<24.(A) (B) 4-(C) T已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位:体的体积是()5.A 40003(A) cm33(C)2000cm若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,的菱形，则该棱柱的体积等于()(B) 80003(B) cm33(D)4000cm另外两个侧面都是

27、有一个内角为60°(A) 、 2(B) 2.2(C) 3 2(D) 4 2、填空题:6已知正方体的内切球的体积是4j3n,则这个正方体的体积是 7.若正四棱柱 ABCB AiBiCiD的底面边长为1, AB与底面ABC成60°角，则直线AB和BC 所成角的余弦值是 .&若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3，则其外接球的表面积是 .9 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦 AB CD的长度分别等于2j7、4j3，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为.10已知AABC1等腰直角三角形， AB= AC= a, AD是斜边BC上的高

28、，以AD为折痕使/ BDC 成直角在折起后形成的三棱锥A- BCD中，有如下三个结论： 直线ADL平面BCD 侧面ABC是等边三角形；三棱锥A- BCD勺体积是 a3.24其中正确结论的序号是(写出全部正确结论的序号)三、解答题：11.如图，正三棱柱 ABC- ABC中，D是BC的中点，AB= AA.(I )求证：AD丄BD;(n )求证：AQ/平面ABD(川)求二面角B- AB D平面角的余弦值.12.如图，三棱锥 P ABC中, PAI AB PA! AC ABL AC P心 AC= 2, AB= 1 , M 为 PC 的中占八、(I )求证：平面 PCBL平面MAB(n )求三棱锥P-

29、ABC的表面积.13.如图，在直三棱柱 ABC-ABC 中，/ ABC= 90°, AB= BC= AA = 2, M N分别是 AC、BC的中点.(I )求证：BC丄平面ABC;(n )求证：MIN/平面 AABB;(川)求三棱锥M- BCBi的体积.14在四棱锥 S- ABCD，底面 ABC为矩形，SDL底面 ABCD AD=12 , DC= SD= 2点 M在侧棱 SC上，/ ABM= 60°.(I )证明：M是侧棱SC的中点；(n )求二面角S- AM- B的平面角的余弦值.练习1-3、选择题：1. B 2. A 3. B 4、填空题:5. 60°6. 2

30、7三、解答题：9以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D- xyz .DE =(0,2,1),DB =(2,2,0),AC =(-2,2,-4),DA =(2,0,4).(I ) T AC DB =0, AC DE =0, / AQ丄 BD AQ丄 DE又 DBA DE= D,. AQ丄平面 DBE(n )设向量n= (x, y, z)是平面DAE的法向量，贝U n _ DE,n _ DA,."2y + z = 0, 2x 4z 二 0.令 y= i,得 n= (4 , 1, - 2) cos(n, A,C)n ACI n |A,C|普J二面角Ai- DE-

31、B平面角的余弦值为1410作API CD于点P.如图，分别以AB AP, AO所在直线为x, y , z轴建立坐标系.4 ' 42叮 2：?'2' 2(1) MN =(1-牙，壬，一1),0卩=(0,2,2),od22)4242 丘则 A(0, 0 , 0) , B(1 , 0 , 0) , P(0, 2 ,0), D( 2 , 2 ，0，2) , M(0 , 0 ,-/ 221), n(1-¥,¥,0)设平面OC的法向量为n= (x , y , z),则n OP = 0, n OD二0,2oc取 z =2,二 0.得 n= (0,4, , 2).-

32、2z=0,、2 .2 ox 2 y _2z/ MN n = 0, MN/平面 OCD(n )设AB与MD所成的角为AB =(1,0,0), MD =(2,2,、.| AB MD |丁，丁，-1),. COST22| AB |MD |n即直线AB与MD所成角的大小为 一311. ( I )证明：在平面 内过点C作COL PQ于点O,连结OB丄， n = PQ COL.又 CA= CB - OA= OB/ BAO= 45°,./ ABO= 45°,/ AOB= 90°,二 BCL PQ 又 COLPQ PQL平面 OBC： PQL BC(n )由(I )知，OCL O

33、A OCL OB OAL OB故以O为原点，分别以直线 OB OA OC x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图).r肇=。,得n AC =0,易知n2= (1 , 0 , 0)是平面的一个法向量.COL, / CAO! CA和平面所成的角，则/ CA©= 30°不妨设 AC= 2，则 AO = 3 , CO= 1.在 Rt OAB中/ AB=Z BAO= 45 ° , BO = AO =、； 3. 0(0,0,0),B( . 3,0,0), A(0, . 3,0),C(0,0,1).AB =(3,-、.3,0), AC = (0,- .3,1).设n1 = (

34、x, y, z)是平面ABC的一个法向量,取 x= 1，得 n (1,1,、3).J3x - J3y = 0,I厂 J3y + z = 0,设二面角B AC- P的平面角为COSTn-i n 251.、6.三、11.即二面角B- AC P平面角的余弦值是-5习题1选择题：D 2. B 3. A 4. B 5. B填空题：324 37.8. 99. 510.、4解答题：(I )证明：T AB( ABC是正三棱柱， BB丄平面ABC平面BBCC丄平面 ABC正 ABC中, ADL BD.D是BC的中点， ADL BC - ADL平面BBCC,(n)解：连接AB,/ AB= AA, E是AB的中点, DEU 平面 ABD,四边形AABB是正方形，又D是BC的中点， DE/ AQ. AC広平面ABD AQ/平面ABD.(川)解：建立空间直角坐标系，设AB= AA= 1,小V31小八则 D(0,0,0),代0,无,0), B1(-2,0,1)设n1 = (p, q, r)是平面ABD的