空间向量及其坐标运算B

1、9.7空间向量及其坐标运算（B）【教学目标】掌握空间点的坐标及向量的坐标和向量的坐标运算法则、空间中两点间距离及两向量的夹角公式的坐标、a b,a / b,的坐标表示；会求平面的法向量。 培养学生的建系意识，并能用 空间向量知识解决有关问题。【知识梳理】1.空间向量的直角坐标运算律：a2d3abb（1）若a住耳）,（"da），则ab33 a bb2 a b 冃 /V r b r aa3/V r ab a1 r b r aa2bb3 a2,a3 aP2RRa baibi a?b2 直4 0 uuu(2)若若 A(Xi,yi,zJ, B(X2,y2,Z2)，则 AB (x? “y yiP

2、 zj .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标，rr2 .模长公式：若若a (a1,a2,a3),b (bbb),0? 0?, |b| 航£ b22 b32 r r3.夹角公式： cos： a a baibi a?b2 asR4两点间的距离公式:-|a| |b| 一a, a22 as2"2 b22 d2若若A(xi, yi,zi), B(X2, y2, Z2),uur/uuu2则丨 ABI AB222(X2 Xi)(y2 yi) (Z2 Zi)或dA,B,(X2 G2 (y2 yi)2 (Z2 乙)2 *【点击双基】1若a=(2

3、x,1, 3),b=(1-2y ,9）,如果a与b为共线向量，则111313A. x=1 ,y=1B.x=y=c.x= , y=一D.x= y=-226262解析：' a=(2x, 1,3)与b=(i,2y, 9)共线，故有2x_1=312y9._ 1X,y=-.应选C.62答案：c2在空间直角坐标系中，已知点 P (x, y, z),下列叙述中正确的个数是点P关于x轴对称点的坐标是 Pi(x，-y, z)点P关于yOz平面对称点的坐标是p2 (x, - y,- z)点P关于y轴对称点的坐标是 P3 (x, - y, z)点P关于原点对称的点的坐标是 P4 ( x,- y, z)A.3

4、B.2C.1D.O解析：P关于x轴的对称点为Pi ( x, - y, - z),关于yOz平面的对称点为 P2 (-x , y , z),关于y轴的对称点为P3 (- x , y , z).故错误答案：C3已知向量a= (1 , 1, 0), b= (- 1, 0 , 2),且ka+ b与2a b互相垂直，贝U k值是137A.1B.C.D.555解析：ka+b=k (1 , 1,0) + (- 1, 0 , 2)=(k- 1 , k , 2), 2a- b=2(1 ,1 , 0)-(1 , 0 ,2) = ( 3 , 2,-2) V两向量垂直，3 ( k- 1)+ 2k- 2X 2=0. k

5、=75答案：D4已知空间三点 A (1 , 1 , 1 )、B (- 1, 0 , 4)、C (2, 2 , 3),贝U AB与 CA的夹角 e的大小是.解析：AB = ( 2, 1, 3) , CA = ( 1 , 3, 2),cosAB, CA( 2) ( 1)( 1) 3 3 ( 2)7=14 -答案：1=-, e = AB , CA > =120 ° 2120 °、14 . 14uur uur.5已知点 A (1 , 2 , 1 )、B ( 1 , 3 , 4)、D (1, 1, 1),若 AP= 2PB ,则 | PD |的值解析:设点P (x , y ,

6、z),则由AP =2 PB，得(x- 1, y- 2 , z- 1) =2 (- 1-x , 3-y ,4 -z),即12 6 2y,解得12x,2z,13，8,则 |PDI=、：( 3 1)2 (| 1)2 (3 1)2 v773,答案:【典例剖析】【例1】已知AB= (2 ,1), AC= (4 , 5 , 3),求平面ABC的单位法向量(x,1即 x 2,-y 1,解：设面ABC的法向量n=y , 1),则 n丄 AB 且 n丄 AC ,即 n AB =0 ,且 n 1n1-n= ( , - 1 , 1),单位法向量 no=±=± (2|n|3AC =0 ,"

7、;2x+2y+1=0 ,4x+5y+3=0,特别提示一般情况下求法向量用待定系数法 由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一 个自由度，可把 n的某个坐标设为1,再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量, 故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解【例 2在三棱锥 S- ABC 中，/ SAB= / SAC=/ ACB=90°, AC=2, BC= 13 , SB= . 29 .（1）求证：SC丄BC;（2）求SC与AB所成角的余弦值解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2,BC= 13 , SB= 29，得 B (0

8、,V17 , 0)、S (0,0, 2*0 )、C (2 J,V 17,0), SC朋、 CB=（-2 需,場,0）xC(1)T SC CB =0, SC丄BC.(2)设 SC 与 AB 所成的角为 a , / AB = ( 0 , .17 , 0) , SC AB =4 , |SC| AB|=4 .一 17 ,17 COS a =,即为所求.17解法二：(1)v SA丄面ABC , AC丄BC, AC是斜线SC在平面ABC内的射影， SC丄BC.(2)如下图，过点 C作CD / AB ,过点A作AD / BC交CD于点D,连结SD、SC ,17cos/ SCD=,即为所求.17则/ SCD为

9、异面直线SC与AB所成的角四边形ABCD是平行四边形，CD= 17 , SA=2 . 3 ,2 2SBCSD= SA2 AD2 =.12 13=5，在 SDC 中，由余弦定理得特别提示本题（1、采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形【例3】 如下图，直棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC中，CA=CB=1，/ BCA=90 ° , 棱AAi=2，M、N分别是AiBi、A1A的中点.Ax(1) 求BN的长；uuir uuur(2) 求

10、cos BA1,CB1的值；二 cos BA1 , CB1 >BAi CBi 30| BA1 |CB1 | io(3) 求证：AiB 丄 CiM.(i)解:依题意得B(0,i, 0),N (i , 0, i),| BN1 = (i20)(02i)(i 0)2 = 3.(2)解:Ai (i,0,2),B ( 0,i , 0), C (0, 0, 0), Bi (0, i, 2),-BAi =(i, i，2),CBi=(0,i, 2),BAiCBi =3,|BAi| =J6, |CBi|=.51 i(3)证明：Ci (0, 0, 2) , M ( , , 2),2 2i iAiB= (- i

11、, i, 2) , CjM = ( , , 0), - AB CiM =0,a AiB丄CiM. 2 2深化拓展根据本题条件，还可以求直线ACi与平面AiABBi所成的角.（答案是.i0 arcsini0【例4】如下图，在正方体ABCD AiBiCiDi 中，E、F 分别是 BBi、CD 的中点.DiCCi（1）证明 AD 丄 DiF ;B（2）求AE与DiF所成的角；（3）证明面 AED丄面AiDiF.解：取D为原点，DA、DC、DDi为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长 为 2,则 A （2，0，0）、Ai （2，0，2）、Di （0，0，2）、E （2，2，i）、F （0，i，0）.(i)T DA DiF = (2，0，0) (0，i， 2) =0，a AD 丄 DiF.(2) v AE DiF = (0, 2, 1) ( 0,1, 2) =0, AE丄 DiF,即 AE 与 DiF 成 90° 角.(3) t DE DiF = (2, 2, 1) ( 0, 1, 2) =0, DE 丄 D1F. / AE 丄D1F, D1F丄面 AED.TD1F £面 A1D1F，面 AED 丄面 A1D1F.思考讨论本