初中数学校本作业《分类讨论思想教案》

1、1.1 分类讨论思想教学时间教学目标：1知识技能：让学生清楚地认识分类讨论思想， 树立应用这一数学思想的意识，感悟到这一数学思想在指导解决问题中的作用。2过程与方法：经历在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，感悟到分类讨论的一些基本方法。3情感态度：积极参与数学活动，勇于发表自己的想法，勇于质疑，形成严谨求实的科学态度。教学重难点：分类讨论思想及应用教学过程：一、分类讨论思想在数学的解题中，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。因此在解数学题时，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数

2、学思想方法：分类讨论思想。1 分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”。2分类讨论的原则从某种意义上讲, 分类讨论是不得已而为之的事情, 通过协调、缓和 “矛盾” ,达到运用知识合理解决问题的思想方法. 那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则, 才能使分类科学、严谨, 从而正确、合理地解题。分类讨论有三原则, 同一性、互斥性、层次性中, 同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复, 二者是分类划分的基本原则,

3、 而层次性是在解决某些问题时 , 按同一标准一次分类, 尚不能完全达到目的, 而要求再次分类时必须掌握的原则 , 层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.3分类讨论解题的步骤(1) 确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2) 对所讨论的对象进行合理的分类(3) 逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4) 归纳总结：将各类情况总结归纳4分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1) 由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值等(2) 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、

4、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致(3) 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被1.1 分类讨论思想开方数为非负，不等式两边同乘以一个正数、负数等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论： 有的图形类型、位置需要分类，如角 的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、 不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运 用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中.总而言之，分类讨论思想的本质是逻辑划分，可以用集合的观点依据同一 性、互斥性、层

5、次性正确分类，并依据一定步骤合理地进行分类讨论，分类讨论 即是一种思想，又是一种策略，还是一种方法，它广泛应用于中学数学的问题解 决中.二、应用举例例1.已知a是有理数，求：丁:的值.间解：当 a>0 时，= a =1 ;|a| arr r a当a<0时， |a|a=-1. a例 2. 已知 a、b、c 是有理数，abc>0,且 a+b+c<0,求：-a- + U- + cr|a|b|c|的值.分析：由abc>0知：a、b、c三个数均为正数；或a、b、c三个数中 有两个为负数，有三种情况：(1)a>0 , b<0, c<0, (2) b>0

6、, a<0, c<0, (3) c>0, b<0, a<0.式子是轮换式，再结合a+b+c<0可得：上面不成立而成立；由于号+ bT +(是加法，加号可以省略，也允许交换，又为轮换式, |a|b|c|对的中三种情况在计算上是一致的.解：不失一般性，不妨设a>0, b<0, c<0,ar +r +cr =a + + =1-1-1= -1|a|b|c|a -b -c三、思考：1.若|x| 二 3, |y| = 2,且|x y|二 y x,求 x+ y 的值2 .若有理数m、n、p满足应+皿+皿=1 ,求 科np的值 m n p|3mnp|3 .

7、化简：|x1|+|2x+ 5|教学时间教学目标：1 .知识技能：让学生清楚地认识分类讨论思想，树立应用这一数学 思想的意识，感悟到这一数学思想 在指导解决问题中的 作用。2 .过程与方法：经历在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题， 感悟到分类讨论的一些基本方法。3 .情感态度：积极参与数学活动，勇于发表自己的想法，勇于质疑，形成 严谨求实的科学态度。教学重难点：分类讨论思想及应用教学过程：例1. 已知/ AOB与/ AOC互补，/ AOC=80° , OM、ON分别平分/AOB、/ AOC,求：/ MON解：/AOBf /AOO补，/ AOC=80, ./AOB=180 -Z

8、 AOC=180 80° =100°. OM ON别平分/ AOB / AOC,1 , -1 , 一 ./AOM=2/AOB=50 , /AON=/AOC=40例2. A B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10, B点对应的数为 90.(1)请写出与A, B两点距离相等的M点对应的数；(2)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另 一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的 时间2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？考点：数轴.分析：(1)先求出A、B两点之间的距离：90- (-10) =100,再求出M点到A B两

9、点的距离：100+ 2=50,然后借助数轴即可求出 M点.（2）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位 长度，相遇前：（100-35） + （2+3） =13 （秒），相遇后：（35+100） + （ 2+3） =27 （秒），解：（1） 90- （-10） =100, 100+2=50.借助数轴可知，与A, B两点距离相等的M点对应的数为40.AMB ,-3D -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10（?（2）相遇前：（100-35） + （ 2+3） =13 （秒），相遇后：（35+100） + （ 2+3） =27 （秒）

10、，则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距 35个单位长度.点评：此题考查数轴上两点之间的距离，解决（2）的关键是要分两种情况：相 遇前和相遇后.例3.某公司组织员工到公园范划船，报名人数不足 50人。在安排乘船时 发现：每条船坐6人，就剩下18人无船可乘；每条船坐610人，那么其余的船 坐满后，仅有一条船不空也不满，求参加划船的员工人数。分析：本题可通过建立不等式组，先求出船的数量的范围，再进行分类讨 论。解：设有x条船，则员工有（6x+18）人，依题意得 0<6x+1810（x1）<10 解得 4.5<x<7,: x为自然数x的值为5或6当 x=5 时，6x+

11、18=48;当 x=6 时，6x+18=54;又划船的人数不足50人，所以参加划船的人数是48人。点评：根据题意“仅有一条船不空也不满”，选择组建不等式组模型是解 决问题的关键。思考：1 .已知线段 AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,点M是AC的中 点，求AM的长。2 .有长度分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的线段各1条（不截取）来 拼接成正方形，有多少种不同的拼接方法？请一一加以说明。3 . 一个正整数等于它的各位数字之和的 4倍，则称这个正整数为四合数。那么所有四合数的总和是多少?2.分析：因为9条线段互不相等，所以拼接的正方形至少有三条边上需要线

12、段 的拼接，也就是说，拼接一个正方形至少需取7条线段；又因为9条线段的总长度为1+2 + 3+ 9=45,所以正方形的边长不会大于11。分5种情况讨论：(1).当边长为7时，7=1 + 6=2+ 5=3+ 4,可拼1个正方形；(2) .当边长为8时，8=1+7=2+ 6=3+ 5,可拼1个正方形；(3) .当边长为9时，9=1+ 8=2+ 7=3+ 6=4+ 5,可拼5个正方形；(4) .当边长为10时，1 + 9=2+ 8=3+ 7=4+ 6,可拼1个正方形；(5) .当边长为11时，2+9=3+ 8=4+ 7=5+ 6,可拼1个正方形；所以共计可拼成9个正方形。点评：抓住正方形的边长，根据条件，确定边长的取值范围，然后逐一枚举.3.分析：要解决一个四合数，需知各位数字，对此需分一位数，二位数，三位 数，等等进行分类讨论.一位数四合数满足a=4a,彳导a=0,这表明一位数的四合数不存在；二位数四合数满足10a+b=4(a + b),得2a=b,可知有4组解a=1, b=2； a=2, b=4; a=3, b=6; a=4, b=8;故所求的四合数为12, 24, 36, 48,因止匕它 们的总和为120;三位数四合数满足 100a+10b+c=4(a+b+c)，即 96a+6b 3c=0, va>1, b>0, c&9