初中二次函数知识点详解及典型例题

1、初中二次函数知识点详解及典型例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特y=ox2+Ax+c(a,瓦c是常数,0),特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。y = ax2 +bx + c(a,b,c是常数，a W 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线 画出对称轴(2)求抛物线y =

2、 /+x + c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到 点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二 次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出 一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点(1)一般一般式:y =+是常数，aWO)(2)两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程 +hx +

3、c =。有实根占和占存在时，根据二次三项式的分解因式 ax2 +bx + c = a(x - x )(x - x2) f 二次函数y = / +/?x + c 可转化为两根式 y = a(x-x1 )(x-x2)o如果没有交点f则不能这样表示。的绝对值越大，抛物线的开口越小。(3)二顶点 顶点式:y = a(x-/?)2+%(,/?,女是常数，。H0)知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即业 人口44ac-b2当户一五时为如果自变量的取值范围是2那么，首先要看-二是否在自变量取值范围2ab一 h *心内，若在此范围内，则当x=-；时，

4、)%依=,；若不在此范围内,则需2a ,4。要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当X = *2时，V最大+必2 + C，当工=匹时，y及小=d：+演+C ；如果在此范围内，y随X的增大而减小，则当X = X时，y最大=M+如+J当x = W时，=dX2 +bx2+co知识点、二次函数的性质0x0 x性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(2)对称轴是x=-?,顶点坐标是 2a/ h 4ac b2、 ,;)；2a4a(3)在对称轴的左侧，即当XV-3时， 2ay随x的增大而减小；在对称轴的右根即当x-3时，y随x的增大而 2a增大，简记左戒右增；(4)抛物线有最

5、低点，当x=-?时，y2a天日 -4ac-b2有取小值，y被小的=一(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；(2)对称轴是*=-顶点坐标是 2a/ b40c 一2、(-1-)；2ci4a(3)在对称轴的左侧，即当x-3时，y随x的 2a增大而减小，简记左增右减；(4)抛物线有最高点，当x=-3时，y 2a士日 任4ac-b2有版大值，破大位42、二次函数y = *+bx + c(a,Z?,c是常数，中，、b、c的含义：。表示开口方向：。0时，抛物线开口向上4 Vo时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-A 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0, c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元

6、二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 = b2-46/c,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当()时，图像与x轴有两个交点；当二()时，图像与x轴有一个交点；当（）时，图像与X轴没有交点。知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）11如图：点A坐标为（xi, yi）点B坐标为（X2, y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为府二了而二7了2,二次函数图象的平移将抛物线解析式转化成顶点式y = -力+女，确定其顶点坐标（刀，“）;保持抛物线=的形状不变，将其顶点平

7、移到s，k）处，具体平移方法如下：y=ax向上（Q0）1或下（kO）】平移图个单位向上伏0）或下（k0）】平移阳个单位 na/p+k向上依。）【或向下伏。）】平移网个单位 -A y=ax2+k向右（/0）或左SvO）】 平移同个单位向右S0）或左（0）平移同个单位向右（无0）【或左（九0）】 平移凹个项位平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；k值正上移，负下移函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆一一同左上加异右下减（必须理解记忆）说明函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必

8、在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减3、直线斜率：v _y, b为直线在y轴上的截距4、直线方程:k = tana = 一项4、两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式：y - ?| = kx+ b = (tan a)x + b =- 个乩”内)此公式有多种变形 牢记 X2 X点斜 =kx（x-x）3斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式：广辰+以产。）截距 由直线在x轴和）轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式:2 = 1 a b牢记口诀 一两点斜截距一两点 点斜斜截截距5、设两条直线分别为，L：y = gb-：y = k2x + b2若乙4,则有IJ2 0

9、 kl =心且工/o若4 O勺勺=一16、点P （xq,州）到直线y=kx+b （即：kx-y+b=O）的距离：d =依）- .+）=心。一凡+4、/，+（-1尸 ylk2+7、抛物线y = ax2 +bx + c中，a be,的作用（1）。决定开口方向及开口大小，这与y 中的。完全一样.（2） 和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =，/+ + c的对称轴是直线工=-二，故：=。时，对称轴为y轴；2。（即。、Z?同号）时，对称轴在2aay轴左侧；0,与），轴交于正半轴；evO,与），轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在），轴右侧，则 10.a二次函

10、数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点，它 们确定图象现；开口、大小由a断,c与丫轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶 点位置先找见，丫轴作为参考线，左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一 般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反，一般、顶 点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简 便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变 换，配方法作用最关键。关于a轴对称），=+版+。关于轴对称后，得到的解析式是 y = -ax

11、-bx-c ；y = a（xi）2+A关于x轴对称后，得到的解析式是y =；关于）轴对称），=&+云+。关于），轴对称后，得到的解析式是y = axz -bx + c ；y =关于）轴对称后，得到的解析式是y = a（x +力-A ;关于原点对称），=4./+Zu+C关于原点对称后，得到的解析式是），= -/ +6- c ；y = a（x-）2 + A关于原点对称后，得到的解析式是y = -a（x + h）2-k关于顶点对称y = aY+bx + c关于顶点对称后，得到的解析式是y = eix2 -bx + c ； 2ay = a（xi）2+k关于顶点对称后，得到的解析式是）,=一4（厂炉+人

12、 .关于点（小, ）对称y = a（x-h）2+k关于点（，?，。对称后，得到的解析式是y =-。（3+力-21+ 2-攵根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此M永 远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找

13、见, Y轴作为参考线，左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就 现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式， 不同表达能互换。解一元二次不等式:首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负,曲线横轴有交点。a正开口它向上,大于零则取两边。代数式若小于零,解集交点数之间。方程若无实数根,口上大零解为全。小于零将没有解.开口向下正相反。13.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc,计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一

14、元二次方程：左未右已先分离，二系化T”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c相等都为零，等根是零不要忘。b、c同时不为零，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方。二次函数：二次方程零换y,二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。A定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径