工程数学本工程数学复习资料

1、一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)11012015x3，则 X(A) . .2 C.03D. 22.已知2维向量组2,a3,oc4,则 r ( % ,oc2,oc3,oc4)至多是(B).a1b2C3D43.设A,B为n阶矩阵，则下列等式成立的是(C) AB BA (AB) A, B满足(B )，则A与B是相互独立.P(B) P(A)P(B A) P(AB) P(A)P(B)p(a b) p(A)AB (A B)A B (AB) AB若P( B) P(A)P( B)P(A B)若随机变量X的期望和方差分别为 E(X)和D(X),则等式(D)成立.D(X) EX E(X) D(X) E(

2、X2) E(X)2D(X) E(X2)D(X)E (X 2) E(X)2若A是对称矩阵，则等式(B)AA 1成立.立，则I A A A A 1 A 1 A 34n元线性方程组 AX 。有唯一解.5若(A )成3r(A)4.若条件(a. ABc. ABnC)A O r(A) n A的行向量线性相关成立，则随机事件 A, B互为对立事件.BUB. P(AB)BUD.P(AB)0 或 P(A0 且 P(AB)B)9.对来自正态总体X N(2)未知)的一个样本X X21 ,2 ,X3,3Xi ,则下列i 1各式中(C )不是统计量. XXi1 33(Xi3 i 1)23(Xi i 1X)2设A, B都

3、是n阶方阵，则下列命题正确的是(A).A- ABC. ABA|BB. (ABAD.若 ABB)2 A22AB B211 .向量组 0 , 1 ,0012 . n元线性方程组2 , 3 AX。，则A 。或B2 的秩是(B) . .3 C.37b有解的充分必要条件是(r(A) r(A b). A不是行满秩矩阵r(A) n.A) .r( A) n13.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是(251-X153 3 9 ”设X110 20 251-X25工 X3 x1 5的是(A ) .A. ABBA B.X2,Xn是来自正态总体 N(2)的样本，则(C)

4、是 无偏估计.1X3 X152X3设A , B为n阶矩阵，则下列等式成立5B C._1(A B)B 1 D. (AB ) 1 A 1B 1相容的充分必要条件是(B),其中ai0，(i 1,2,3).x1 x2a116.方程组X2 X3 a2Xi X3 a3A. aia2a3 0 B-aia 2a30C. aia2a 30 D.aia2a3017.下列命题中不正确的是(D) . A. A与A有相同的特征多项式B.若是A的特征值，则(IA) X 。的非零解向量必是A对应于的特征向量C.若 =0是A的一个特征值，则 AXO必有非零解D. A的特征向量的线性组合仍为 A的特征向量i8.若事件 A与B互

5、斥，则下列等式中正确的是( A ) .a. P(A B) P(A) P(B)B. P(B) i P(A)C. P(A) P(AB)d. P(AB) P(A)P(B)i9设Xi,X2, ,Xn是来自正态总体 N(5,i)的样本，则检验假设 Ho：5采用统计量U= ( C)“ X 5 X 5 X 5 X 5A B C D.J5i/、5 i/ n i二、填空题(每小题 3分，共i5分)1 .设A, B均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为 A，B，则(BA) (A i) B .2 .向量组 i (i, i, 0), 2(0, i, i), 3(i, 0, k)线性相关，则 k -i.3 .已知 P(A) 0

6、,8, P(AB) 0.2 ,则 P(A B) .4 .已知随机变量X i 025 ，那么E(X) .0.3 0.i 0,i 0.5i i045 .设Xi,X2,Xi0是来自正态息体 N( ,4)的一个样本，则 Xi N( ) -i0 i i'i06 .设 A, B均为 3阶方阵，A 6, B 3,则(Ab1)38.7 .设A为n阶方阵，若存在数？和非零n维向量X ,使得AX X ,则称X为A相应于特征值？的特征 I8 .若 P(A) 0,8, P(AB) 0,5,则 P(AB) .2、 一20.9 .如果随机变量 X的期望E(X) 2, E(X ) 9,那么D(2X) io.不含未知

7、参数的样本函数称为 .ii .设 A, B 均为 3 阶方阵，|A 2, |B 3,则 3AB 1-18 .01212 .设随机变量 X -，则a=0.2 0.5 a 13 .设X为随机变量，已知 D(X) 3,此时D(3X 2)27 .14 .设？是未知参数 的一个无偏估计量，则有 _E(?).112 i-口1, -1 , 2, -2.15.设12,则A 0的根是A 11 X 22 X2 143个解向量.16 .设4元线性方程组 A为B有解且r (A) =1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有17 .设A, B互不相容，且P(A) 0,则P(B A) 0.Xi11、，则 X -_N(

8、0, - ) . n18 .设随机变量 X-B (n, p)，则 E (X) =np.19 .若卞XjX2, Xn 来自总体 X - N(0, 1),且 X 1n三、计算题(每小题1设矩阵 11A 233216分，共64分)2 ,求(1)A , (2)A 14解：(1)A(2)利用初等行变换得2.当取何值时，线性方程组210020101072100151X1X2X42X12x2X34x432x13x2X35x41即2211001102111112112有解，在有解的情况下求方程组的全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当3时，方程组无解。当3时，方程组有解 此时相应齐次方程组的一般解

9、为XiX32x4乂2乂3分别令Xq 33x41,x4x3, x4是自由未知量)0及 x30,x41，得齐次方程组的一个基础解系Xi令x, 3X22 3 0 10, x40,得非齐次方程组的一个特解X。11 0 0由此得原方程组的全部解为 X X03.设X N(3,4),试求 P(5KXiXk2 X2 (其中ki, k2为任意常数)9)； P(X7).(已知(1) 0.8413,(2)解：0.9772,0.9987P(59)P(X7)1(2) 1P(“ 20.9987X 3F0.97729 3 T p(i3)0.8413 0.15747 3、)P(0.02282) 1P(2)4.已知某种零件重量

10、 X N(15, 0.09),采用新技术后，取了 9个样品，测得重量(单位：kg)的平均值为,已知方差不变，问平均重量是否仍为150.05, U0.9751.96)?解：零假设H0 ：15,由于已知0.09,故选取样本函数UxN(0,1)- n已知x 14.9,经计算得 0314.9 150.1由已知条件U09750.97512.93.QA ,故接受零假设，即零件平均重量仍为15.1 .96 u0.9755.设矩阵，求 A 1B.解:10利用初等行变换得A1由矩阵乘法得15A 1B10151220x22x3x42有解,x27x33x467x24x3x411 121212 173609 7411

11、06.当 取何值时，线性方程组2xi9x1解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当1时，方程组无解。当1时，方程组有解。在有解的情况下求方程组的全部解.12121115102 22 1019此时齐次方程组化为x1 9x3 4x4、，人分另I令x31, xx211x3 5x4'0及x30, x41 ,得齐次方程组的一个基础解系令x30, x40 ,得非齐次方程组的一个特解X。810 0 0由此得原方程组的全部解为X X0 k1X1 k2X2(其中k1, k2为任意常数)7.设 X N(3,4),试求：(1) P(X 1) ; (2) P(5 X 7).(已知 (1) 0.8413, (

12、2) 0.9772, (3) 0.9987 )解：(1) P(X 1) P(X 3 12100 3)P(JLJ1)( 1)1(1)1 08413 0158722253X373X 3(2) P(5 X 7) P()P(1 2)2222(2) 0.9772 08413013598.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为 0.063 50 10 2 40 0111 0922010 721001511,试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(u0.9751.96).解：由于已知 2,故选取样本函数uN(0,1)一

13、n已知又15.1,经计算得0.060.0293滚珠直径均值的置信度为的置信区间为xU 0.975一 , X9 9u0.975 7,又由已知条件9U0.9751.96,故此置信区间为15.0608, 15.13929.设矩阵A32 4解：利用初等行变换得21 5 ,且有AX0 1 11 0 0201即01 07210 0 1511210 01112 100115 1100201A 1721511210012101511由矩阵乘法和转置运算得xi 3x2 x3 x412的全部解.10.求线性方程组2x 7X2 2X3 X4x1 4x2 3x3 2x412x1 4x2 8x3 2x42解：将方程组的

14、增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为X2X3X0(1 0 0 0).方程组相应的齐方程的一般解为1 5x4X4X4Xi5x4X2x4X3（其中x4为自由未知量）令 x4=0,得到方程的一个特解（其中x4为自由未知量）X4令x4 =1,得到方程的一个基础解系 X1（5k为任意常数）11.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度1 1）.于是，方程组的全部解为 X X0 kX1（其中X N（32.5,1.21）,今从这批砖中随机地抽取了9块,测得抗断强度（单位:kg/cmi）的平均值为，问这批砖的抗断强度是否合格（0.05, U0.975196 ) .解：零假设H°：32.5 .由于已知2

15、 _21.21，故选取样本函数U x . nN(0,1)已知 X 31.12,经计算得.91.10.37,31.12 32.037373 由已知条件u0.9751963731.96U0.975故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格12.设矩阵A，求（AA ）1. 一 一，,一 一V解：由矩阵乘法和转置运算得AA利用初等行变换得14.即(AA)求下列线性方程组的通解.2X13x14x14x2 5x36x2 5x38x2 15x33x42x411x415利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即6 528 15 11方程组的一般解为:令X2X4515X12x2X3X4X2,x4是自

16、由未知量.0 ,得方程组的一个特解X0 (0, 0,方程组的导出组的一般解为:x1 2x2X31 , x40 ,得导出组的解向量 X0 , x41,得导出组的解向量 X人，其中X2, X4是自由未知量.X4(2, 10, 0);（1, 0,1, 1） .所以方程组的通解为:令x2令x2(2)( 1)=+ 1 =a=3+2 1.28=X=，求 的置信度为99%勺置信区间.(已X XokiXik2X2(0,0, 1 0)k1(2,1 0, 0)k2(1,01,1)其中k1k2是任意实数.15.设随机变量 XN (3, 4).求：(1) P (1<X<7)(2)使 p (X<a)=

17、成立的常数 a.(已知(1.0)0.8413,(1.28) 0.9,(2.0) 0.9773).解：(1) P (1<X<7) =P(1 3 X 3 7 3) = p( 1 X 3 2)= -2"2-2-；2(2)因为 P (X<a) =P(X 3 a 3)= (a 3)=所以 a 3 128, 222216.从正态总体N(, 4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得15.1mm,知 U0.9952. 576 )解：已知 2, n=625,且u x N ( n因为 x =,0.01，1 一 0.995，u21 -22所以置彳t度为99%勺 的置信区间为：x uL

18、 117.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.,1)22.576 u - 2.576 0.2061 7 .n625,x u- 2.294, 2.706.n 1 2 n从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为2右已知这批滚珠直径的万差为 0.06 ,试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(u0.9751.96).解：由于已知 2,故选取样本函数.又八 已知又15.1,经计算得一 .0106 002U N(0,1).乙n< 93f T滚珠直径均值的置信度为的置信区间为x u0 975 x u0 975 V，又由已知条件u0975 1.96,故此置信9 .9区间为15.0608, 15.1392四、证明题(本题 6分)1设A, B是两个随机事件，试证： P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A).证明：由事件的关系可知 B BU B(A A) AB AB而(AB)(AB) ,故由加法公式