带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个 边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、 半径、在磁场中的运动时间 等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1 .圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F丄v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一 般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个 洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点

2、即为圆心，或利用圆心位置必定 在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。團12 .半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：粒子速度的偏向角©等于转过的圆心角a并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）B的2倍，如图2所示，即©二a=2 9o相对的弦切角B相等，与相邻的弦切角互补，即3+ 9= 1803 粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆 心角，利用圆心角a与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360。计算出圆t = 7心角a勺大小，并由表达式，确定通过该段圆弧

3、所用的时间，其中 t即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间 t越长，注意t与运 动轨迹的长短无关。4 带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长 线）。團3a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由 sin 0= L/R求出；（B、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2= L2- （R-y） 2解出；（y见所图标）廉8i = _、C、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。a、求出；（0、r和R见图标）土 -哎b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出、带电粒

4、子在有界磁场中运动类型的分析1 .给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀 强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为 B。一带正电的 粒子以速度vo从0点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为0 若粒子射出磁场时的位置与0点的距离为I，求该粒子的电量和质量之比q/m0B團5解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图 6 所示的轨迹运动，从A点射出磁场，0、A间的距离为I，射出时速度的大小仍 为vo，射出方向与x轴的夹角仍为0。由洛仑兹力公式和牛

5、顿定律可得，（式中R为圆轨道的半径）解得R=mv o/qB圆轨道的圆心位于0A的中垂线上，由几何关系可得1/2= Rsin 0联立、两式，解得点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射点和出射点， 求该粒子的 电量和质量之比，也可以倒过来分析，求出射点的位置。在处理这类问题时重点 是画出轨迹图，根据几何关系确定轨迹半径。(2) 确定入射速度的方向，而大小变化，判定粒子的出射范围【例2】如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为 L,宽为L/2。磁感应强度 为B,质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使 该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围？解析：（1）带电粒子射入

6、磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径Ri=L/4，再由 Ri=mv i/eB，得eBL巧=4巾当速率最大时，粒子恰好从c点射出，由图可知其半径 R2满足丘冷斗（舟-2 ，即 R2=5L/4，再由 R2=mv 2/eB，得泗L片=4朋S电子速率V的取值范围为：。点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的方向， 由于入射速 度的大小发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹半径，导致粒子的出射点位置变 化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图， 再根据几何关系 确定对应的轨迹半径，最后求解临界状态的速率。（3）

7、确定入射速度的大小，而方向变化，判定粒子的出射范围【例3】（2004年广东省咼考试题）如图8所示，真空室内存在匀强磁场， 磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 B=0. 60T，磁场内有一块平面感 光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l= 16cm处，有一个点状的a放 射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速度都是V=3 0Xl06m/s，已知a 粒子的电荷与质量之比q/m= 5. 0 xi07c/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a 粒子，求ab上被a粒子打中的区域的长度。XXXX XXXXXXXx；xXX八XXXXXXXKXxXKXXXxXXX乂覺址xyyXX.X料迖XXXXX

8、XXX xXXX解析：a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用 R表示轨道半径，有qvB=mv 2/R，由此得 R=mv/qB，代入数值得R=10cm。F】AT H團9可见，2R>I>R，如图9所示，因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过 S， 由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是a粒子能打中 的左侧最远点。为定出P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距 离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与 ab的交点即为P1。再考虑N的右侧。任何a粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆，

9、交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。 由图中几何关系得所求长度为PiP2=NP i+NP 2，代入数值得PiP2=20cm 。点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨 迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子 运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确 定对应的出射范围。2 .给定动态有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定粒子出射点的位置【例4】（2006年天津市理综试题）在以坐标原点 0为圆心、半径为r的 圆形区域内，存在

10、磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x轴的交点A处以速度v沿-x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y轴的交点C处沿+y方向飞出。>CXV Xxx；x XX J圍L0（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 q/m ；（2） 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B',该 粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60。角,求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多 少？解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷如图11所

11、示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了 90。，则 粒子轨迹半径r=R，又= as J?则粒子的荷质比为工- 0（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变了 60。角故AD弧所对圆心角60粒子在磁场中飞行时间：点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（包括磁感应强度的大小或方向的改变），从而改变了该粒 子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时 重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定 对应的出射点的位置。（2）确定入射速度和出射速度的大小和方向，判定动态有界磁场的边界位置【例5】（199

12、4年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为 m， 电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区 域o为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的 地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一 个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。6qjr圈 12解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，qvB= （ Mv2）/R，得 R=（ MV）/（ qB ）。根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R的圆上的1/4圆周，这 段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如图13所示，过a点作平行于x轴的

13、直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距 R的0 '点 就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以 0 '为圆心、R为半径的圆（图 中虚线圆）上的圆弧 MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。團13在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以 MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（磁感应强度不变，但磁场区域在改变），从而 改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图， 导致粒子的出射点位置变化。在处理 这类问题

14、时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，确定临界状态的粒子 运动轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场区域的位置。综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场， 若仅受洛仑兹力作用 时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨 迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。【巩固练习】不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可哪个图是正确的?1.（2005年理综I）如图14所示，在一水平放置的平板 MN的上方有匀 强磁场，磁感应强度的大小为 B,磁场方向垂直于纸面向

15、里。许多质量为 m带 电量为+ q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁 场区域。不计重力， 能经过的区域，其中XMOV图14抵 ORB.C.答案：A2 .（1999年全国高考试题）如图15所示中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向 垂直纸面向外是MN上的一点，从0点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为 m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射入 的两个粒子恰好在磁场中给定的 P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子 间的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；（2）求这两个粒子从0点射入磁场的时间间隔。答案：（1）R=mv/qB ；（ 2） =4marcco s（ LqB/2mv）/qB。3.（2007年武汉市理综模拟试题）如图16所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P （0，a）点以初速度vo平行于x轴射出，为