小学奥数教程-完全平方数及应用(一)教师版(83)全国通用(含答案)

1、_ -一 一 15-4-4.完全平方数及应用（一）5-4-4,完全平方数及应用（一）.题库教师版page 3 of 9教学目标1.学习完全平方数的性质;2,整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。知识点拨、完全平方数常用性质1 .主要性质1,完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2 .在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3,完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。24,若质数p整除完全平方数a，则p能被a整除。2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9.性质2:完全平

2、方数被3, 4, 5, 8, 16除的余数一定是完全平方数.性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 p2n 1|N ,则2np |N .性质4:完全平方数的个位是 6 它的十位是奇数.性质5:如果一个完全平方数的个位是 0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个位是5,则其十位-一定是 2,且其百位-一定是 0, 2, 6中的一个.性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3,一些重要的推论1,任何偶数的平方一定能被 4整

3、除；任何奇数的平方被 4 （或8）除余1,即被4除余2或3的数一定 不是完全平方数。2 .一个完全平方数被 3除的余数是0或1,即被3除余2的数一定不是完全平方数。3 .自然数的平方末两位只有：00, 01, 21, 41, 61, 81, 04, 24, 44, 64, 84, 25, 09, 29, 49, 69,89, 16, 36, 56, 76, 96。4,完全平方数个位数字是奇数（1,5, 9）时，其十位上的数字必为偶数。5,完全平方数个位数字是偶数（0, 4）时，其十位上的数字必为偶数。6,完全平方数的个位数字为 6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是 25

4、的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 “0勺自然数不是完全平方数；个位数字为1,4, 9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：a2 b2 （a b）（a b）gIMIfe 例题精讲模块一、完全平方数计算及判断【例1】 已知：1234567654321X 49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解：121= 112；12321 = 1112; 1234321 = 11112,于是，我们归纳为1234 什-4321=（叼胡）2 ,

5、所以， 1234567654321 : 11111112;则,1234567654321 49=11111112 72=77777772 .所以，题中原式乘积 为7777777的平方.【答案】7777777 【例 2】1234567654321 （1 23456765432 1）是 的平方.【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】1234567654321 11111112 , 1234567654321 72, 原式 （1111111 7）2 77777772 .【答案】7777777【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则 n的最小

6、值是 。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】（法1）先将12!分解质因数：12! 210 35 52 7 11,由于12!除以n得到一个完全平方数，那么 这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210 34 52 ,所以n最小为 12! 210 34 52 3 7 11 231。（法2） 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的哥次是奇数，所以 n的 最小值是3 7 11 231。【答案】231【例4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.【考点】完全平方数

7、计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9,因为111, 444, 555, 666, 999都不是完全平方数，所以 所求的数最小是 4位数.考察1111, 1444 可以知道1444 38 38,所以满足条件的最小正整数 是1444.【答案】1444【例5】 A是由2002个“4组成的多位数，即444胆，A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出 B; 20024如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答 【解析】略【答案】A 444*4 22 3归.如果A是某个自然数的平方，则11即 也应是某个自然数的平方

8、,2002'个 42002个 12002* 11应是4的倍数,并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减0不是4的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方.【巩固】A是由2008个4”组成的多位数，即叫小，A是不是某个自然数 B的平方？如果是，写出 B;如 20084果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不是.A 44j|14 22 11|1假设A是某个自然数的平方，则11口1也应是某个自然数的平方，并且2008*42008 单 12。0升 1是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4

9、的倍数，而112008V11 1111110不是4的倍数，与假设矛盾.所以A不是某个臼然数的平方.2007%【例6】计算i=AXA,求 A.5-4-4,完全平方数及应用（一）.题库教师版page 7 of 9【难度】4星【题型】解答,从而找出突破口 .所以，A= i一 一、 2邓必）=A【例7】444 心888 呼2004 T 42003 个 89 A2 ,求A为多少？求是否存在一个完全平方数，它的数字和为【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星2005?【题型】解答【解析】 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解:注意到有444阳888队89可以

10、看成；2004 个 42003 个 8寻找规律：当n=1时，当n=2时，当n=3时，：444M4888 m8n 4n-11 89 ,其中 n=2004;49 72 ;24489 67 ;2444889 667【考点】完全平方数计算及判断【解析】此题的显著特征是式子都含有g3 - 222中 =口冲 叫胪 332003 110021 21002 11002* 01002 1于是，类推有 方法二：下面给出严格计算：444488889 = 444八 4000”10 + 888 / +1 ;2004 42003 820041 4 2004 02004 84444000用0 + 8888+1=可/ X (

11、4X100011+8) +120。4 个 42004 个 020。4 个 82004 个 12004 个 0解得n=167,X 4X(二硼1X2004 个 1,于是数字和为 由知444出4888胖9 =n 个 4n-11个 8+1) +8 +1)+12 +14X (2004 个 91)2 X36+12 3胛2004 个 1+1X36+2 X (6+1=(1)2=(阿)2004 个 12004 个 12(4n+8n-8+9)=12n+1;令 12n+1=2005所以 444.4888胪9 = '6661672 c1671 个 4166 个 8所以存在这样的数，是 444*888胪9167

12、 个 41661个 8(1) 喻#72 , (2) 444488889 = 6661671661 个 82003个 6167 个 4 1661个 8166个6模块二、平方数特征(1)平方数的尾数特征【例8】下面是一个算式：1 121231234 12345123456,这个算式的得数 能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少.平方数的个位数只能是0, 1, 4,5, 6, 9,而2, 3, 7, 8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为 3,中间二项之和的个位数为0,

13、后面二项中每项都有因子 2和5,个位数一定是 0,因此，这个。算式得数的个位数 是3,不可能是某个数的平方.【答案】不是例9 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方.各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有 个.【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】49 1 4 9 25, 1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24【例10】用19这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方 数.那么，其中的四位完全平方数最小是 .【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星 【题型】填空【关

14、键词】迎春杯，高年级，复试， 11题【解析】四位完全平方数 >1234>352=1225,所以至少是 362=1296.当四位完全平方数是 1296时，另两个 平方数的个位只能分别为 4,5,个位为5的平方数的十位只能是2,但数字2在1296中已经使用.当四位完全平方数是 372= 1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位一样只能是2,还剩下7,8,而784恰好为282.所以，其中的四位完全平方数最小是1369.【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N,它既是三角数，又是完全平方数，N=。【考点】平方数特

15、征之平方数的尾数特征【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14题【解析】N=kx (1+k)/2=mA2 , 4 位数的话 2000<=k x (k+1)<20000, 45<=k<=140, k=2n n*(2n+1)=N 。 n 与 2n+1 互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是 4950。23<=n<=70发现没有：k=2n-1 , nX(2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49 , N=1225, m=35。【答案】1225(2)奇数个约数 指数是偶数【例12】 在2 2

16、4,3 3 9,4 4 16, 5 5 25, 6 6 36,等这些算是中，4, 9, 16, 25, 36, 叫做完全平方数。那么，不超过 2007的最大的完全平方数是 。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 4题，5分【解析】45X45=2025; 44X44=1936,所以最大的是 1936.【答案】1936【例13】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数 (次数)力口 1后所得的乘积如:1400严格分

17、解质因数后为 23X52",所以它的约数有(3+1) >(2+1) >(1+1)=4 X3X2=24个.(包1和它 自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数（除。外）有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数 ？18M8=324,19 19=361,25 25=625,26 26=676,所以在 360 630 之间的完全平方数为 192,202,212,222,

18、232,242,252 .即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625 .【答案】361,400,441,484,529,576,625【例14】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是 .【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【解析】先将1016分解质因数：101 6 23 1 27,由于1016 a是一个完全平方数，所以至少为24 1272,故a最小为2 127 254.【答案】254【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【解析】

19、3528 23 32 72 ,要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子 3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至 少为2.【答案】2 【例15】 从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现.而72 23 32 2 6 6 ,所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于 2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048,所以 2 12、2 22、2 312 都满足题意，

20、即 所求的满足条件的数共有31个.【答案】31【例16】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则 n的最小值是 。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】（法1）先将12!分解质因数：12! 210 35 52 7 11,由于12!除以n得到一个完全平方数，那么 这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210 34 52 ,所以n最小为 _10_4212! 23 53 7 11 231。（法2） 12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的哥次是奇数，所以 n的 最小值是3 7 11 231。【答案】231

21、【例17】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星 【题型】填空【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的.设中间数是 x,则它们的和为 5x,中间三数的和为 3x. 5x是平方数，设 5x 52 a2,则x 5a2 , 3x 15a2 3 5 a2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个，即a2至少是225，中间的数 至少是1125,那么这五个数中最小数的最小值为 1123.【答案】112

22、3【例18】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以 3后是完全立方数，乘以 5后是5次方数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星 【题型】解答【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子.设这个数分解质因数之后为 2a 3b 5c由于它乘以2以后是完全平方数，即2a 1 3b 5c是完全平方数，则(a 1)、b、c都是2的倍数；同理可知a、(b 1)、c是3的倍数，a、b、(c 1)是5的倍数.所以，a是3和5的倍数，且除以2余1; b是2和5的倍数，且除以3余2; c是2和3的倍数，且除以5余4.可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24,所以这样的

23、自然数最小为 215 320 524 .【答案】215 320 524【例19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为美妙数问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】60 3 4 5是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60.任何三个连续正整数， 必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3.若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为 4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4.另外，由于完全平方数的个位数字只能是0, 1, 4, 5,

24、6, 9,若其个位是0和5,则中间的数能被 5整除；若其个位是1和6,则第一个数能被5整除；若其个位是 4和9,则第三个数能被 5整除.所以，任何美 妙数必有因子5.由于3, 4, 5的最小公倍数是60,所以任何美妙数必有因子60,故所有美妙数的最大公约数至少是 60.综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.【答案】60【例20】考虑下列32个数：1!, 2!, 3!,，32!,请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为 个完全平方数，划去的那个数是 .【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星 【题型】填空【解析】设这32个数的乘积为A.A 1!

25、2! 3!32! (1!)2 2 (3!)2 4 | (31!)2 32(1! 3! 31!)2 (2 4 | 32) (1! 3! 0 31!)2 216 16!, 所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数.另外，由于16! 16 15!,而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意.【答案】16!或15!,答案不唯一 【例21】一个数的完全平方有 39个约数，求该数的约数个数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【解析】设该数为p；1p2a2川Pnan,那么它的平方就是P12a1P22a2Pn2an,因止匕 2al 12a2 1 口 2a

26、n 1 39 .由于 39 1 39 3 13,所以，2a1 1 3, 2a2 1 13 ,可得 a1 1 , a2 6；故该数的约数个数为 116 114个；或者，2a1 1 39,可得a1 19 ,那么该数的约数个数为 19 1 20个.所以这个数的约数个数为14个或者20个.【答案】14个或者20个【例22】有一个不等于0的自然数，它的-是一个立方数，它的1是一个平方数，则这个数最小23是.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分【解析】设为2a3bc (c为不含质因子2, 3的整数)，则它的。是2a 13c是立方数，所以a 1是

27、3的倍数，b2是3的倍数，另外它的即2a3ble是一个平方数，所以a是偶数，b是奇数，符合以上两个条件的 a3的最小值为4, b的最小值为3 ,这个数最小为 432.【答案】432(3)平方数的整除特性【例23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为美妙数问所有的小于2008的 美妙数”的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 11题，10分【解析】 任何三个连续正整数，必有一个能为3整除.所以，任何 美妙数”必有因子3. 若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数

28、是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数”必有因子4. 完全平方数的个位只能是 1、4、5、6、9和0,若其个位是5和0,则中间的数必能被 5整除， 若其个位是1和6,则第一个数必能被 5整除，若其个位是4和9,则第三个数必能被 5整除.所以, 任何美妙数”必有因子5.上述说明美妙数”都有因子3、4、和5,也就有因子 60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60 . 60=3 X 4 X是一个美妙数”，美妙数的最大公约至多是 60.所有的美妙数的最大公约数既不能大 于60,又至少是 60,只能是60。【答案】60 【例24】证明：形如11, 111, 1111, 11111,的数中没有完全

29、平方数。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1,偶数的平方能被 4整除.现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.【例25】 记S (12 3川n) (4k 3),这里n 3 .当k在1至100之间取正整数值时，有 个不 同的k,使得S是一个正整数的平方.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】3星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】一个平方数除以4的余数是0或1.当n 4时，S除以4余3,所以S不是平方数；当n 3时，S 4k 9,当k在1至100之

30、间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：52,72,92, 112, 132, 152, 172, 192,其中每1个平方数对应1个k,所以答案为8.【答案】8【例26能够找到这样的四个正整数， 使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被 4除余1,因此任一正整数的平方 n2被4除余0或1.假设存在四个正整数nn、n、n4,使得ng2002m2(i,j1,2,3,4,i j).又2002被4除余2,故ng被4除

31、余2或3.若n1、窕、n3、n4中有两个偶数，如ni、rt是偶数，那么nin2是4的倍数，ng2002被4除余2,所以不可能是完全平方数；因此以、马、鹏、，中至多只有一个偶数，至少有三个奇数.设n马、飞为奇数，叫为偶数，那么n1、n2>上被4除余1或3,所以n1、n2> %中至少有两个数余数相同.如 小、也被4除余数相同，同 为1或3,那么必明被4除余1,所以必叫 2002 4除余3,不是完全平方数；综上，n nj 2002不可能全是完全平方数.【例27】1 3 5 | 1991的末三位数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1 3 5991的平方再乘以993 995 997 999的末三位.而 993 995 997 999 993 999 995 997 993000 993995000 995 3993000 993995000 2985 ,其末三位为7 15