多边形内角和及外角和讲义

1、多边形内角和及外角和讲义第一讲三角形内角和及外角和、谜语导入：形状似座山，稳定性能坚。三竿首尾连，学问不简单。大家都知道，我们几何都是由线段组成的各种图形， 最简单的也就是 三条线段围成的闭合图形，但是我们谜面上却说 学问不简单”好, 那么它到底多神秘？我们先从三角形内外角和讲起。、基础知识回顾:第一部分：三角形内角和 180° （只知道两角的三角形碎纸可以 求出另一角么？）证法1,把三个角剪下来拼凑成一个平角 180°这是我们小学法。 证法2,利用平行线法，这是初中生应该掌握的。三角形ABC中，过点A做EF平行于BC-/EF/BC/-ZABC=ZEAB , ZACB=zF

2、AC azEAB + zBAC +zCAF=180a 故三角形内毎和为方法很多种，就靠我们自己去发现，去掉 EA这段，延长BA至E， 同样可利用平行线法证出内角和180°。后面方法很多，同学们自己去 发现，去探讨。法3:利用平行线把三角形做成一个平行四边形，即两个ABC的内角和（四边形内角和360°,故三角形ABC内角和180°。这也是证 明四边形内角和的主要方法。（同学们可以借鉴此法推断其它多边形 内角和。）由三角形内角和180°可知两个特殊的三角形:直角三角形，直角外的两角互补。正三角形的三个角都为60°第二部分：三角形的外角和三角形 一条

3、边 与另一 条边的 延长线 组成的 角叫外 角性质1一个外角等于不相邻的两内角和性质2外角与相邻内角互补性质3三角形的外角大于不相邻的任内角性质4三角形的外角和为360°由逆反思维提出三角形的外角和怎么证明呢？由定义三角形ABC中/ A的外角二/ B+ / C / B 的外角二 / A+ / C > =>外角和=2(/A+ / B+ / C)=360°/ C的外角二/ A+ / B /多边形外角和都是360°，请同学们思考我们如何得出来的？三、实战秒杀计详解：例 1、三角形 ABC 中，/ A: / B: / C=2: 3: 4，那么/ A、/ B、/

4、C对应的外角度数比如何？内角和法：设每份 X，得出2X+3X+4X=180，得X=20°=> / A=40° / B=60° / C=80°=>对应外角140° 120° 100°故比为7:6:5。外角和法：设每份X，由三角形外角和360°得出有：180° 2X+180° -3X+1800 4X=360° ,得 X=20°=对应外角140° 120° 100°故比为7:6:5。提高法：设每份X，三角形 / A、/ B、/ C对应为2X

5、、3X、4X , 那么他们对应的外角应为(3X+4X )、(2X+4X )、(2X+3X ),我们不 用解直接得到比为7:6:5。这种类型的题主要锻炼我们的例2、如图，求五个角的度数和。解：标出/ 6,2 7/ 6=2 1 + 2 3,2 7= 2 2+2 5故 2 4+2 6+2 7=180°即 2 1 + 2 2+2 3+2 4+2 5=180°同理，我们也能分出其他三角形解出。识图、分图能力 例 3、如图示，2 1=80° 2 2=70°,求2 CEA, 2 BDA 的度数我们观察出，题中三角形可以还原成一个完整的三角形，如下图。2 ADE= 2

6、A'DE 2 仁80°2 AED= 2 A'ED 2 2=70°2 BDA=180 80° >2=20°2 CEA= 180 70° 疋=40°提高点：关于这类型的题我们都可以推本溯源找到其母体所在，再分析问题就简单多了。模型一：已知2 ADE、2 AED，猜想2 CEA和2 BDA与2 A的关系同理，把三角形母体示意出来，如图/ BDA=180 2/ 1/ CEA=180 2 /2/ A=180° (/ 1 + / 20)=> / BDA+ / CEA=2 / A模型二：如图，已知/ ADE、/

7、 AED，猜想/ CEA和/ BDA与/ A的关系把三角形母体图示意如右/ CED=180 /AED / CEA= / AED / CED=2/AED 180°/ BDA= 180 2/ ADE/ A= 180°(Z ADE+ / AED)=> / BDA / CEA=2 / A模型三：如图，已知/ ADE、/ AED，猜想/ CEA和/ BDA与/ AEABA jC把三角形母体图示意如右/ BDE=180 -Z ADE/ BDA= Z ADE Z BDE=2 Z ADE 180° Z CED=180 Z AEDZ CEA= Z CED Z AED=180

8、2Z AED Z A=180° Z AED Z ADE联立，可得 Z CEA Z BDA=2 Z AA3四、实题演练（2013,中考原题）如图，四边形 ABC冲，点M N分别在AB BC上，将 BMN沿 MN翻折，得 FMN若 MF/ AD FN/ DC 则Z B多少（95°）第二讲 多边形内角和及外角和三角形是最简单的几何图形，我们已经学了其内外角和，那么多边形的内外角和又有什么特点呢？ 一、老师上一讲留了两个悬念给大家，不知道同学们课后有没有思考 呢？五边形的内角和怎么去算?怎样证明多边形外角和都是 360 ° ？二、知识回顾：1、四边形内角和任意一个四边形只

9、要连接一条对角线都可以分成两个三角形，故四边形内角和为 2X180°也可如右图，在四边形中间取一点再连接各顶点,以构成四个三角形，那么四边形内角和表示为：4X80° (/ 1 + Z2+Z 3+Z4) =4X180°- 360°2、五边形内角和任意一个五边形都能分成如右图所示的三个三角形，故五边形内角和为3X180°也可如右图所示，在五边形中间取一点再连 接各顶点，可以构成5个三角形，那么五边形内角 禾口表示为：5X180°- (/ 1 + Z 2+Z 3+Z4+Z 5) =5X180°-360 3、多边形内角和把多边形可拆

10、分为若干个三角形，在多边形中间取一点再连接各顶点可以得出内角和为：n >180° 360° （n 2） X180°（n 2 ） * 180正多边形各内角度数为：n4、多边形外角和如右图示，外角和由一角的外角和此角互补可得：外角和=180° / 1 + 180° / 2+180°亠 Z 3+180° / 4=4X180° 360° =360°同理，多边形外角和 nX180°（ n 2） X80°360°三、秒杀技能详解口头回答：1、当多边形边数增加时，它的内角和也增大？2、当多边形边数增加时，它的外角和也增大？3、 从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，那么可以得到（n-2）个三角形？例1、如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45°那么这个多边形边数最少为几条？解：假令每个外角恰好等于45°则360°泊5°8每个外角都小于45°即n>360°詔5°8（多边形外角和不变，角度就越小，边数愈多）故，边最少为 9条例2、凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则边数的最大值为多少？解：由题意，其外角仅有两个为锐角，其余的（n-2）则三90°2* a +（n2