高考二轮复习之探索性问题

1、专题探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索考点2：猜想、归纳、证明问题考点3：探索存在型问题考点4：命题组合探索性问题【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程（以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示）【重点难点热点】问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需

2、探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意例1例1（02年上海）设函数是偶函数，则t的一个可能值是 分析与解答：函数 由此可得点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力演变1：(05年浙江)如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、

3、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()求证：OD平面PAB；()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； () 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？点拨与提示：()找出O点在平面PBC内的射影F，则ODF是OD与平面PBC所成的角又ODPA，ODF即为所求；()若F为PBC的重心，得B、F、D共线，进一步得BDPC，故PB=BC，得k=1问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结

4、论例2（04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组（写出所有符合要求的组号）S1与S2；a2与S3；a1与an；q与an(其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出的首项和公比解：（1）由S1和S2，可知a1和a2由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得，满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量（3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数

5、列，所以也不一定是数列的一个基本量（4）由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量故应填、评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元 （1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该

6、机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： ()当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； ()当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x年的维修、保养费用总和为，求出x与y之间的函数关系问题3：存在判断型 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理

7、，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用例3： ( 06年湖南）已知椭圆C1:，抛物线C2:，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点()当AB轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；()是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由思路分析：()中，分别将直线方程与椭圆、抛物线的方程联立，再由得可到k的值解（）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，） 因为点A在抛物线上，所以，即 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点

8、不在直线AB上 （）：假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上当C2的焦点在AB时，由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为由消去y得 设A、B的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），则x1，x2是方程的两根，x1x2由消去y得，C2的焦点在直线上，所以，代入得 由于x1，x2是方程的两根， ，从而 = AyBOx因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以，且从而所以，代入得解得，此时因为C2的焦点在直线上，所以即当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行“不存在”就是没有，找不到这类问题常用反证法加以认证“是否存在”

9、的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由这类问题常用“肯定顺推”演变3：（06年福建）已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间的位置关系；(II)转化为的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点， 利用导数分析函数的极值情况问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段

10、一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力例4 （99年全国）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn n m以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证解：依题意可得以下四个命题：(1)mn， ， n m；(2)mn， ， mn；(3)m， n， m ；(4)，n，mmn不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题故填上命题(3)或(4)点评：本题的条件和结论都

11、 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的演变4：6（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= （注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型 这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高例5：

12、（06年上海春）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 思路分析：，由此得到解：（1） （2）， 当时， （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等 演变5：在等差数列a

13、n中，若a10=0，则有等式a1+ a2+ an = a1+ a2+ an-19(n<19，nN)成立类比上述性质，相应地在等比数列 b n 中，若b9=1，则有等式_成立点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n+(19n)=19(定值)，19与a10的序号关系为：2101=19；由此得相应等式专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去

14、认证结论3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高【临阵磨枪】一 选择题1(05年江西)的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ ）A 4项B3项C2项D1项

15、2(05天津)设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （ ）A B C D 3 （05年山东）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）A1 B2 C3 D44(05湖北)如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）AKBH CG DB5（06年湖北卷）已知平面区域由以、为顶点的三角形内部和边界组成若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 （C） A B C D 46（06年陕西）已知

16、不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （ ）24C6D87（06年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D8（04年北京）已知三个不等式：（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二 填充题9(05年山东）设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是_10(05湖南文)已知平面和直线，给出条件：； （i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有（填所选条件的序号）11（02年全国理）已知函数，那么12设函数，给出以下四个结论：它的图象关于直线对称；

17、它的图象关于点(对称；它的周期是；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_三 计算题13（05江西卷）已知向量是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之14（05湖北理）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点 （）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离15 （06年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列的前项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求

18、使得对所有都成立的最小正整数16 （06年湖北）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，（）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于并证明你的结论xyOAB图417（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由O18（02年上海）规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广 （）求的值； （）组合数的两个性质：；是否都能推广到（，是正整数）的

19、情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （）我们知道，组合数是正整数那么，对于，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些成立的例子吗？参考答案：1B 提示：的展开式为，因此含x的正整数次幂的项共有3项选B2D 提示：A选项：缺少条件；B选项：当时，；C选项：当两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；D选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题本题答案选D3 B 提示：直线关于原点对称的直线为：2x+y2=0，该直线与椭圆相交于A(1， 0)和B(0， 2)，P为椭圆上的点，且的面积为，则点P到直线l的距离为，在直线的下方，原点到直线的距离为

20、，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x+y2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q(， )，该点到直线的距离小于，所以在直线上方不存在满足条件的P点4C 提示：用排除法AB平面KEF，平面KEF，平面KEF，平面KEF，否定(A)，平面HEF，平面HEF，平面HEF，平面HEF，否定(B)，对于平面GEF，有且只有两条棱AB， 平面GEF，符合要求，故(C)为本题选择支当P点选时有且只有一条棱AB平面PEF综上选(C)5C 提示：由、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故由得，它表示斜率为（1）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即1；（2）若，则要使取得最小值，必须

21、使最小，此时需，即2，与矛盾综上可知，16B 提示： ，9，47D 提示：椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线的焦点为(2，0)，则，故选D8D 提示：若，若故三个命题均为真命题，选D9 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围可知，在(2， 3) 点目标函数取得最大值 10 ， 提示：解析:由线面平行关系知:可得; 由线面垂直关系得: 11 提示：考察函数可发现左式构成规律：，于是立得结论为若直接代入费力又费时12答：或13解： 14解：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为 （）

22、在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PACN点到AB的距离，N点到AP的距离15 解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ，则 f(x)=2ax+b，由于f(x)=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f(x)3x22x又因为点均在函数的图像上，所以3n22n当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5当n1时，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）因此，要使（1）<（）成立的m，必须且仅须满足，即m1

23、0，所以满足要求的最小正整数m为1016 解法1：（）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面相交于点，连结OG，因为PC平面，平面平面APCOG，故OGPC，所以，OGPC又AOBD，AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP与平面所成的角 在RtAOG中，tanAGO，即m所以，当m时，直线AP与平面所成的角的正切值为（）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1A1C1， 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直解法二：(本题也可用空间向量来求解) 17O解：（I）

24、设AOB的重心为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 （1）OAOB ，即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；18解：（）（）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义从这个角度很快可以看出：性质不能推广例如当时，有定义，但无意义性质如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：，其中，是正整数类比于性质的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论事实上，当时，当时，由此，可以知道，性质能够推广（

25、）从的定义不难知道，当且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形先从熟悉的问题入手当时，就是组合数，故当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？一方面再一次考察定义：；另一方面，可以从具体的问题入手由（）的计算过程不难知道：另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论因此，将转化为可能是问题解决的途径事实上，当时，若，即，则为组合数，故若，即时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：0，可以猜想，此时这个结论不难验证事实上，当时，在这m个连续的整数中，必存在某个数为0所以，综上，对于且为正整数，均有【挑战自我】直角梯形ABCD中DAB90°，ADBC，AB2，AD，BC椭圆C以A、4B为焦点且经过点D （1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程； （2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由讲解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）设椭圆方程为：令椭圆C的方程是：（2），lAB时不符，设l：ykxm（k0）由M、N存在D设M（，），N（，），MN的中点F（，）， 且l与AB的夹角的范围是，【答案及点拨】演变1：()O、D分别为AC、PC的中点：ODPA，又AC平面PAB，O