关于化学平衡的数学模型

1、关于化学平衡的数学模型高等工程学院 于孟择指导教师 : 摘要：本文从学习中遇到的问题出发，利用化学中的有关知识，通过对可逆反应增加或减少反应物的浓度的研究，对给定化学方程式所代表的化学反应建立了模型，从理论上对不同情况进行了分析，最后得到了不同情况下转化率与投入量的关系，所得的结论对于工业生产具有一定指导意义。关键字：化学平衡 求导声明 本人郑重声明：所呈交的数学化学应用论文是在指导教师的指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对完成本论文做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 论文作者签名：2016年1月30日

2、1引言 在化学的课堂教学中，有这样一个结论：对于一个可逆反应，我们可以通过增加一个反应物的浓度来增加另一个反应物的转化率，该反应物本身转换率降低。但是，随着我们的学习，我们发现了一些问题。为此，我们对这一问题进行了深入的探究。2问题的产生 我们都知道工业合成氨的化学方程式： 这是一个可逆反应。我们假设氮气的初始浓度为1，平衡常数K=3，当氢气的初始浓度为1时，设平衡时氮气转化的浓度为x，则K=，解出x0.1988，此时氢气的转化率为0.5964。其它条件不变时，当氢气的初始浓度为2时，解出x0.41997，此时氢气的转化率为0.6299。当氢气的初始浓度为3时，通过计算得到氢气的转化率为0.6

3、27。我们发现氢气的初始浓度为2时的转化率比氢气的初始浓度为1时的转化率大。这说明在可逆反应中，并不是所有情况下都有增加其中一个原料的浓度，该原料的转化率降低。3问题剖析从上面的讨论中，由于K的值为3是假设的，并不是真实值，那会不会是因为K的值不同而影响结论呢？仔细想一想，我们不难发现其实没有太大影响，因为K的值会随着温度和压强的变化而变化，我们可以假设达到某一条件时，该反应的K值为3。所以，K的值与最后的结果除了在数值上外没有什么影响。那转化率与用料的投入量到底有什么关系？我们需要从一般的化学方程式入手。4有关问题建模4.1、基本假设 （1）我们对形如的化学方程式进行研究（其中大写字母为化学

4、物质，小写字母为系数）。 （2）该反应在一定的温度和压强下进行，平衡常数K的值为定值。 （3）反应物与生成物均为气体（或全部为溶液）。4.2、有关变量与常量的定义 （1）所用到的常量：K 平衡常数 （2）设：C 浓度（mol/L） m 转化率4.3、模型计算与分析 （1）考虑该化学方程式中原料的投料成比例时 反应前： a b c 0 0 0变化量： ax bx cx dx ex fx平衡时: a-ax b-bx c-cx dx ex fx 同理，把带人可得： 将该等式看成，利用隐函数求导法则可得： 显然，分母是大于0的，分子的符号与a+b+c-d-e-f的符号相同 所以，当a+b+c<d

5、+e+f时，即A的转化率随A的浓度变大而变小； 当a+b+c=d+e+f时，即A的转化率不随A浓度的变化而变化； 当a+b+c>d+e+f时，即A的转化率随A的浓度变大而变大。 由此可见，当原料的投料成比例时，转化率的变化与化学方程式中的系数有关。 5模型优化与改进在上面的建模及计算分析中，我们对于用料成比例时进行了研究，存在一定的特殊性。一般而言，反应物的投入量不一定成比例，可以加入任意浓度的反应物。现考虑将前述模型一般化，推广到任意浓度的用料，使建立的模型得到优化，并继续探讨转化率与浓度的关系。还是同一个化学方程式：反应前： 0 0 0变化量： ax bx cx dx ex fx平衡

6、时：-ax -bx -cx dx ex fx 由于转化率, 把代入等式，得到：整理得： 此式中只有,两个变量，设上式为F(,)=0，则由隐函数求导法则有_由于所有字母都为正值，且平衡时所有物质的浓度也都为正值，我们不难发现该分式的分母大于0，且当d+e+f-a>0时，分子小于0，此时。i) 即当a<d+e+f时，也就是浓度变化的那种物质的系数比生成物的系数和小时，该物质的转化率随着浓度的增加而减小。ii) 当a=d+e+f时，分子小于0，即，该物质的转化率随着浓度的增加而减小。iii) 当a>d+e+f时，分子的正负不能确定，我们可以对分子做如下变形：由得： 把代入等式，整理

7、后得到： = = 上式同理可得：=根据以上几个等式，可以得到大分式的分子为：其中第二个中括号中的代数式是小于0的，第一个中括号中的代数式可变形为：现在，我们不妨令=0，即假设反应物为两种，可以得到：当时，此时A的转化率随A浓度的增加而增加；当时，此时A的转化率达到最大值；当时，此时A的转化率随A浓度的增加而降低。6结论当成比例增加反应物时，若反应物系数和小于生成物系数和，所有反应物的转化率随浓度的增大而减小，若反应物系数和大于生成物系数和，所有反应物的转化率随浓度的增大而增大，若反应物系数和等于生成物系数和，则转化率不会改变。对于一般情况而言，当该物质的系数小于或等于所有生成物系数和时，该物质

8、的转化率随着浓度的增加而减小；当该物质的系数大于所有生成物系数和时，该物质的转化率随着浓度的增加先增大后减小。回到最开始的问题，其实大多数情况下都和我们平时所知道的差不多，只有当该物质的系数大于所有生成物系数和时，才与我们所知道的有所出入。由于这种情况不是很常见，所以我们可以近似认为一个物质随着浓度的增加转化率降低。7模型评价 对于模型（1）而言，从理论上讲，当成比例增加反应物浓度时，若同时将容器扩大相应的倍数，则平衡不变，但现在容积不变，相当于压缩了气体增大了压强，平衡向气体分子数减小的方向移动。若a+b+c<d+e+f,则平衡逆反应方向移动，A转化率减小；若a+b+c=d+e+f,则

9、平衡不变，A转化率不变；若a+b+c>d+e+f,则平衡正反应方向移动，A转化率增大。 对于第二个模型而言，当a<d+e+f时，我们很清晰地就知道A转化率是递减的。但当a>d+e+f时，由于本人学识水平有限，三种反应物的情况无法解决，只能考虑有两种反应物的情况。其中出现了这一新变量，这对结论没有太大影响，因为随着A浓度的增加，平衡正移，B的转化率随之增加。最终的结论就相当于A的转化率随着浓度的增加先增大再降低，只不过需要知道的值，才能判断转化率是否达到最大值。通过以上分析，我认为在工业生产中应该在保证一定的成本和产量的情况下，尽量让氢气和氮气的比例接近2.4:1。但是实际上为

10、了提高氨气的产量，同时促进气体与铁触媒催化剂接触，加快反应速率，实际的比例应该略高一些。在实际生产中，工业合成氨使用的氢氮比为2.7:1，接近本文用数学分析得到的理想氢氮比2.4:1。在1988年以前，工业氢氮比为3:1。根据本人分析，当时制氨成本一定居高不下，后来人们经过不断摸索，才将氢氮比调整为现在的数值。但关于这方面的理论分析未见于各类化学文献，因此，本文得到的结论对于工业生产具有一定的参考价值。7附录：相关曲线 以上都是理论上的计算，为了得到直观的印象，我以合成氨的反应为例，假设平衡常数K=3，绘制了如下几幅图像：（1）定氮气的初始浓度为1，氢气的初始浓度为横坐标，其转化率为纵坐标。得

11、到转化率随浓度的变化图像： 这种情况符合a>d+e+f的情况,转化率随着浓度的增加先增大后减小,由图像可以看出当转化率达到最大值时，浓度大概为2.4，设氮气转化的浓度为x，则K=，解出x0.5055，此时氢气的转化率为0.6319。氮气的转化率为x=0.5055，与理论值相差不大，在误差范围内，进一步证实了结论。（2）定氢气的初始浓度为1，氮气的初始浓度为横坐标，其转化率为纵坐标，得到图像： 这种情况符合a<d+e+f的情况，发现转化率随着浓度的增加而减小。（3）在反应中，设反应物成比例增加，平衡常数K=3，氮气和氢气的浓度分别为x和3x，y为这两种物质的转化率（氮气和氢气的转化率相等）。得到如下图像： 这种情况符合a+b+c>d+e+f的情况，转化率随着浓度的增加而增大。（4）假设是这样一