《高等数学教学资料》11-习题

1、第九章第九章 习题课习题课 主要内容主要内容 典型例题典型例题 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数

2、的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义0,1 nnn

3、uu.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时,

4、 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;设设 1nnu为正项级数为正项级数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),则级数则级数 1nnu发散发散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.( (3 3) ) 极极限限审审敛敛法法( (4 4) ) 比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.(5)

5、 (5) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ; 1 时时级级数数发发散散; ;1 时时失失效效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,则则级级数数收收敛敛, ,且且其其和和1us , ,其其余余 项项nr的的绝

6、绝对对值值1 nnur. .)0( nu其其中中3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上

7、上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否则称为否则称为发散点发散点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的

8、函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .(1) (1) 定义定义形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.6 6、幂级数、幂级数nnnxa 0如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(

9、2) (2) 收敛性收敛性如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定定理理 2 2 如如果

10、果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnn

11、nxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内连续内连续,在端点收敛在端点收敛,则在端点单侧连续则在端点单侧连续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.7 7、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(x

12、f在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数.(1) 定义定义定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则

13、其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(!

14、51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常见函数展开式常见函数展开式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 应用应用,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交性正交性 , 0cos

15、nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa定义定义三角级数三角级数其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数称为傅里叶级数. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条

16、件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛,并并且且(1) 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时,级级数数收收敛敛于于)(xf;(2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于2)0()0( xfxf;(3) 当当x为为端端点点 x时时,收收敛敛于于2)0()0( ff. 如如果果)(xf为为奇奇函函数数, 傅傅氏氏级级

17、数数nxbnnsin1 称称为为正正弦弦级级数数.(4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如如果果)(xf为为偶偶函函数数, 傅傅氏氏级级数数nxaanncos210 称称为为余

18、余弦弦级级数数.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6(), 2 , 1 ,

19、 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散编辑ppt例：判别下列级数的敛散性例：判别下列级数的敛散性1!(0)nnna naen 且且;2

20、3cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收敛敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,

21、1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散例例解解,1ln1nnn ,11发发散散而而 nn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛1( 1)lnnnnn 判判断断级级数数是是否否收收敛敛？如如果果收收敛敛，是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？11( 1)1,lnlnnnnnnnn 发发散散,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)

22、( xxxf,), 1(上上单单增增在在 ,ln1单单减减即即xx ,1ln1时时单单减减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛编辑ppt例：判别下列级数的敛散性例：判别下列级数的敛散性111(ln(1) )nnn 编辑ppt判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性21sin1( 1)0nnnnn .)1)(1(0敛敛域域及及和和函函数数收收求求级级数数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛敛半半径径为为的的收收, 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即则则有有设设此此

23、级级数数的的和和函函数数为为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x 编辑ppt21(1)4nnnxn 例例：求求幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径、收收敛敛域域。1( )2f xxx 例例：把把展展开开为为的的幂幂级级数数。.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 n

24、xxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x编辑ppt( )(0)f xxx 2 22 2n n= =1 1n n= =1 1例例：把把展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数，1 11 1并并求求及及。( (2 2n n- -1 1) )n n的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将

25、级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解设设法法用用已已知知展展开开式式来来解解的的展展开开式式，是是分分析析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 形形函函数数，同同时时画画出出它它的的

26、图图写写出出该该级级数数的的和和的的正正弦弦级级数数并并在在为为周周期期内内展展开开成成以以在在将将 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1进进行行奇奇开开拓拓内内对对必必须须在在周周期期的的正正弦弦级级数数为为内内展展开开成成以以在在要要将将xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin

27、)14(8cosmxmxmmx上上级级数数的的和和函函数数为为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs和函数的图形为和函数的图形为xyo 2 2的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以内展开成内展开成将函数将函数 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是偶函数是偶函数 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn220,24,21nnkankn ), 2 , 1( k, 0 nb

28、122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 一一、 选选择择题题: :1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是(

29、 ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .测测 验验 题题3 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和数列、部分和数列 ns有界是正项级数有界是正项级数 1nnu收敛的收敛的 ( ( ) ) (A)(A)充分条件；充分条件； (B) (B)必要条件；必要

30、条件； (C)(C)充要条件；充要条件； (D) (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 . .5 5、设、设a为非零常数为非零常数, ,则当则当( )( )时时, ,级数级数 1nnra收敛收敛 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、幂级数、幂级数 11)1()1(nnnnx的收敛区间是的收敛区间是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .7 7、若幂级、若幂级 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为:1R

31、 10R; ; 0nnnxb的收敛半径为的收敛半径为:2R 20R, ,则幂级数则幂级数 0)(nnnnxba的收敛半径至少为的收敛半径至少为( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、当、当0 R时时, ,级数级数21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)条件收敛；条件收敛； (B) (B)绝对收敛；绝对收敛； (C) (C)发散；发散； (D) (D)敛散性与敛散性与值无关值无关k. .9 9、0lim nnu是是级级数数 1nnu收收敛敛的的( ( ) ) ( (A A)

32、 )充充分分条条件件； ( (B B) )必必要要条条件件； ( (C C) )充充要要条条件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要条条件件 . .1 10 0、幂幂级级数数 1)1(nnxnn的的收收敛敛区区间间是是( ( ) ) ( (A A) ) )1,1( ； ( (B B) ) 1,1( ； ( (C C) ) )1,1 ； ( (D D) ) 1,1 . .二、二、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: : 1 1、 1222) !(nnn； 2 2、 1223cosnnnn . .三、判别级数三、判别级数 11ln)1(nnnn的敛散性的敛散性 . .四、求极限四、求极限 )2(842lim312719131nnn . .五、五、