《高等数学》电子（同济第六版）01第十章第1节 二重积分的概念与性质

1、编辑ppt1编辑ppt2柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出编辑ppt3求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：abxyoi ix1x1 ix1 nxiiixfA)( 、分分割割1niiAA1、近似、近似2、求和、求和3niiAA1niiixf1)( 、取极限、取极限4iniixfA10)(lim ),max(nxxx21 上任一点上任一点为为,iiiiiixxxxx11 dxxfba)(编辑ppt4 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求分割、近似

2、、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt5步骤如下：步骤如下：xzyoD),(yxfz i),(ii.),(lim10iiniifV niiVV1、分割、分割1、近近似似2kkkkfV ),(、求和、求和3nkkkkfV1 ),(、取极限、取极限4)(maxknk 1编辑ppt6 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii.),(lim10iinii

3、M xyo、分割、分割1niiMM1、近似、近似2kkkkM ),(、求和、求和3nkkkkM1 ),(、取极限、取极限4编辑ppt7定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念编辑ppt8如果当各小闭区

4、域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .编辑ppt9(1) 定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的， (2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.说明：说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义的的选选取取无无关关；与与分分划划及

5、及有有关关及及),(,),(iiDyxf 积分值只与积分值只与DdyxfV ),(、3DdyxM ),(01),()(yxfzxyz),(yxfz DDdyxfV ),(编辑ppt1002),()(yxfz),(yxfz DVdyxfD ),(上变号上变号在在Dyxfz),()(3.),(下方柱体的体积下方柱体的体积面上方柱体的体积减去面上方柱体的体积减去等于等于xoydyxfD 编辑ppt11性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积

6、分有类似的性质）三、二重积分的性质编辑ppt12性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有编辑ppt13 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdy

7、xfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）编辑ppt14例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab编辑ppt15例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0

8、(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解编辑ppt16例例 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解编辑ppt17例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解三三

9、角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D编辑ppt18例例5 5.比较下列积分的大小比较下列积分的大小,)(,)( dyxdyxDD32其中21222)()(:yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx10 1 2 3Dxy32)()(yxyx21222)()(yx它与 x 轴交于点（1，0）与直线1 yx而域D位于直线的上方, 故 1 yx从而 dyxdyxDD32)()(相切.编辑ppt19二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质

10、二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结编辑ppt20136110P习习题题)(),)(,41542421编辑ppt21思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.编辑ppt22 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间

11、上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答编辑ppt23一、一、 填空题填空题: :1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . .2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,

12、当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .练练 习习 题题编辑ppt244 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二、二、 利用二重积分定义证明利用二重积分定义证明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k为常数为常数) )三、三、 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其中其中D是由圆是由圆 2)1()2(2

13、2 yx所围成所围成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(与与, ,其中其中D是矩形是矩形 闭区域闭区域: :10 , 53 yx . .编辑ppt25四、估计积分四、估计积分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圆是圆 形区域形区域: :422 yx . .编辑ppt26一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案编辑ppt27 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt28 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示编辑ppt29 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的