复变函数与积分变换试的题目及答案42632

1、实用标准文案第一套第一套一、选择题（每小题3 分，共 21 分）1.若（），则复函数 f (z)u( x, y)iv ( x, y) 是区域 D 内的连续函数。A.u( x, y) 、 v( x, y) 在区域 D 内连续；B.u( x, y) 在区域 D 内连续；C.u( x, y) 、 v( x, y) 至少有一个在区域 D 内连续；D.以上都不对。2.解析函数 f ( z) 的实部为 uexsin y ，根据柯西 - 黎曼方程求出其虚部为（）。-装A. e x cos yC ； Bex cos yC ；Ce x sin y C ； Dex cos yC3.dz（）。1 ( z 2)| z

2、 2|2A.2 i ；B. 0；C.4i ；D.以上都不对 .4.函数 f ( z) 以 z0 为中心的洛朗展开系数公式为（）。-f ( )dfn(z0 )订A.cn1B.cn2 i(z0 ) n 1n!C.cn1f ( )dD.cnn!f ( )d2 ik2z02i k2 (z0 )n 15. z=0 是函数sin z2）。的（zA. 本性奇点B. 极点C.连续点D.可去奇点6.将点， 0， 1 分别映射成点0， 1，的分式线性映射是（）。-线A. wzB.wzC.1 zD.w111zw1zzz7.L（sinkt） （），（ Re s0 ）。A.k；B.s；C.1；D.12k2s2k2ssk

3、.sk3 分，共 18 分）二、填空题（每小题21.(1 i) 31；-精彩文档实用标准文案zn2.幂级数收敛于2；n 1 n！3.设 Z0 为复函数 f（z）的可去奇点，则f（z）在该点处的留数为3.；4. 通过分式线性映射k zz（ k 为待定复常数）可将4映射成单位圆内部1；5.z b 、az 、1一个一般形式的分式线性映射可由三种特殊形式的映射复合而成，z分别将平面看成 z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、5；6.求积分e i x ( x)dx6；三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1. 平面点集 D 称为一个区域，如果 D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样

4、的集合称为连通集。（）2.f ( z) u( x, y) iv (x, y) 在区域D 内解析的充要条件是：u( x, y) 与 v( x, y) 在 D 内可微，且满足C-R 方程。（）3.将 z 平面上一个点集映射到平面上一个点集，z 的参数方程是：zz(t) ，的参数方程是：f z(t ) ，则函数 z 与导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。（）4.拉氏变换的微分性质为：若L f (t ) F ( s) ，则 L f (t )tF (s)f (0)。（）5. 傅里叶级数 f (t) c0A cos(n0tn) 表示一个周期为T 的信号 f (t) 可以分解为简谐波之和，nn 1这

5、些简谐波的（角）频率分别为一个基频0 的倍数。（）四、计算题（前四题，每小题9 分，第五题， 15 分，共 51 分）1. 当 a， b 分别等于多少时，函数f (z) x3axy2i（2y - y3）bx在复平面上处处解析 ?精彩文档实用标准文案2. 计算zdz 。|z| 2 (8z2 )( z i)3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：z1， 0 | z | 1.f ( z)1)z2 ( z4. 利用留数定理计算积分sin2 z dz|z| 2z2 ( z 1)(2xx9x)( yy3y)0x(0)x (0)15. 求微分方程组x7x)( yy5y)0y(0)y (0)的解(2 x0一

6、、选择题（每小题3 分，共 21 分）1.A 2.B 3.B4.A 5.A 6.D 7.A.3 分，共 18 分）二、填空题（每小题4k4k531. 3 2cos6isin k 0,1,2 ；或 3 2e6 , 3 2e 6, 3 2e 2363精彩文档实用标准文案2.ez ； 3. 0； 4.上半平面 Im z0； 5.反演映射 6. 1.三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1.×2.3.4. 5. 四、计算题（前四题，每小题9 分，第五题， 15 分，共 51分）. 解：u x322y31axy , vbx yu v x yuv（3 分）yxu3x2ay2 ,u2axy,

7、v2bxy,vbx23y 2xyxy（3 分）3x2ay2bx23 y2 ,2axy2bxya3, b3（3 分）zdz2z2.解：（2i2（5 分）z）8 z z28-z(zi)i（或判断出 -i在圆内，22 不在圆内，得2 分）2（4 分）93.将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：f (z)z1,0 z1z 2 (z 1)f (z)z1z12121（5 分）z2 (z 1) z2 (z 1)z2z2 1 z（或：写出洛朗级数公式2 分）12n12n 20 z 1 （4 分）z2z2n 0 zz2z2 2z2 z4.解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0 与单极点 z=1（4 分）Re s

8、( f ( z),0)0,Re s( f ( z),1)lim( z -1)sin22 zsin 2 1（3 分）z1z ( z-1)精彩文档实用标准文案由留数定理，原积分2i sin2 1（2 分）(2 s2s 9) X ( s) (s2s 3)Y ( s) 1 2s分）5. 解：s 7) X (s)(s2（4(2 s2s 5)Y(s) 3 2s整理得2 X (s)22sY ( s)2s 4（4分）X (s)1Y ( s)s 1X ( s)1 12s113 s 13 s24 3 s24（4分）解得Y (s)2 12s1 13 s 1 3 s24 3 s24再取拉氏变换得到其解为：x(t)1

9、et2 cos2t1 sin 2t333（ 3分）y(t )2 et2 cos2t1sin 2t333第二套一、选择题（每小题3 分，共 21 分）1.1 i 3的指数式为（）。A、 2e2 i 3B 、 e2i 3C 、 2e i 3D 、 2e i 62.复函数 LnZ （）。A 在复平面上处处解析；B在复平面上处处不解析；C 除去原点外处处解析；D除去原点及负半实轴外处处解析 .3.由柯西积分公式得，积分dz 的值为（）。|z| 1 z2A.0B. 1C. 2D.无解4.洛朗级数的正幂部分叫（）。A、主要部分B 、解析部分C 、无限部分D 、都不对精彩文档实用标准文案5.sin1 在点

10、z=0 处的留数为（）。zA.-1B.0C.1D.26.保角映射具有的性质有（）。A.反演性、保圆性、保对称性B.共形性、保角性、保对称性C. 共形性、保圆性、保对称性D. 反演性、保角性、保对称性7.L（ekt） （），（ Re sk ）。A.2kk2； B.s2sk2； C.1； D.1k .ssks二、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.3 i51=。n!22.幂级数n收敛半径为：2。nzn 1 n3.孤立奇点可分为可去奇点、极点和3三种。4.通过分式线性映射eiz， (1 ，为实数 ) 可将4映射成单位圆内部1z1。5.在扩充复平面上两点z1 与 z2 是关于圆周C 的对称点的充要

11、条件是通过z1 与 z2 的任何圆周与 C5 。6.按定义，函数f ( x) 的傅里叶变换式为6。三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1.如果平面点集G中的每一点都是它的内点，则称G为开集。（）2.ln z 的所有分支可表示为 ln z Lnz 2k i 。（）3.设函数f z 在 z0 的邻域内有定义，且在z0 具有保角性和伸缩率不变性，则称f z 在 z0 时共形的。（）精彩文档实用标准文案4. 傅里叶级数 f tc0An cos n 0t1n 中 c0n 1TT /2ft dt 的物理意义：表示周期信号在一T /2个周期内的平均值，也叫做交流分量。（）5.拉氏变换的微分性质为：若

12、L f (t)F ( s) ，则 L f (t )tF ( s)f (0) 。 （）四、计算题（前四题，每小题9 分，第五题， 15 分，共 51 分）1.设 my3nx2 yix3lxy 2 为解析函数，试确定l,m,n的值2.计算积分zdz ， C : z2 ；C z33. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数1， 1z 2 ；z2 1 z24. 利用留数定理求积分（圆周均取正向）z153 dz2z 3 z21 z42精彩文档实用标准文案5. 求微分方程式的解y(4)ycosty(0)y (0)y (0)0y (0)c （ c 为常数）第二套一、选择题（每小题3 分，共 21 分）1.

13、C2.D3.A4.B5.C6.C7.C.二、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.16 3 i2. 03. 本性奇点4. 单 位 圆 内 部 z 15. 正交6.Fft e i t dt三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分）1.2.×3.4. ×5. 四、计算题（前四题，每小题9 分，第五题， 15 分，共 51 分）1.解：由题意知：实部umy3nx2 y 、虚部 v x3lxy 2u2nxy ，u3my2nx2 ， v3x2ly 2 ， v2lxy （ 2 分）xyxyuv由 于323x2析函数，故有xy分 ）即m yn x y il为x 解yu（ 2vyx2n

14、xy2lxy（ 3 分）解得 m=1， n=-3 ， l=-3（2 分）3my2nx23x2ly 2z2.解：由 z-3=0 ，得奇点为z=3（3 分）此时不在C 的环域内，由柯西基本定理 （ 3 分）知dz0（ 3C z3分）1 z213. 解：555（3 分）z21z2 1z2精彩文档实用标准文案11112 1111z2 1 z 25z z2115 z21101zz21z221n12n11zn（3 分）5 n 01z2n 15 n 01z2 n 110 n 0 2n2 111 211 1 1z z2z31z2（3分）5 z45 z35 z25 z 10 20 40 804.解：函数z15在

15、 z3 的外部，除点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：z22z4231z153 dz2 i Re s f z ,（3 分）Cz22z41211（3分）12 i（分）2i Resfzz2 ,02i Re sz 1 z2212z43 ,035.解：方程两边取拉氏变换，得s4Y( s)css3Y(s)cs1（2 分）s2解出 Y(s)c1（3分）s2 ( s1)(s2s31)L 1212Re s2est21),0Re s2est 21),1s(s 1)(s1)s(s 1)(ss (s 1)(sResest,i Re sest, i （ 3 分）21)(s221)(s2s (s1)s (s1)

16、lim(est)lim(est)lim(est)lim(est)( s 1)(s21)(ss2 ( s1)(ss01)s1 s2 (s2 1)sis2 (si)s ii )t11 e t1 (cos tsin t )（2 分）22因此，原方程的解11111y(t )LY (s) cLLs3s2 (s 1)(s21)c t 2t11 e t1 (cos tsin t ) （ 5 分）222第三套精彩文档实用标准文案一、填空题（每空2 分，共 20 分）1复数3的实部为 1，虚部为2及其共轭复数为3 .12i2已知 f ( z)uiv 是解析函数，其中 u1 ln( x2y2 ) ，则 v4 .2

17、yez设 C为正向圆周z1,则dz=5 .3Ci22n4幂级数z3的收敛半径为 6 .n 1 n5 z0 是 f ( z)ln(1z) 的奇点，其类型为 7 .z6设 f ( z)( z111)1 ( z 1)( 1)n ( z 1)n，则1)2( zResf ( z),18 .7 函数的傅里叶变换为 F ( )9.8函数 F (s)1的拉普拉斯逆变换为 f (t) 10.s(s1)二、选择题（每小题2 分，共 20 分）1复数 z168i 的辐角为（）2525A arctan 1B- arctan 122C arctan 1Darctan 1222方程 Re z21所表示的平面曲线为（）A

18、圆B 直线C 椭圆D 双曲线3在复平面上，下列关于正弦函数sin z 的命题中，错误 的是（）A sin z 是周期函数B sin z 是解析函数C sin z1D (sin z)cosz精彩文档实用标准文案4设 C为正向圆周 z1，则cos zdz =（）CzA iB2iC 0D15在拉氏变换中，函数f1 (t ) 与 f2 (t ) 的卷积， f1(t )f2 (t) 为（）AtBtf1(t ) f2 (t )dtf1( ) f2 ( )d0Ctt)dD t)df1( ) f2 (f1 ( ) f 2 (t006幂级数zn 1的收敛区域为（）1 n!nA 0zB zC 0z1D z17设f

19、()ez的罗朗级数展开式为cn zn，则它的收敛圆环域为（）zz(z2)nA 0 z 2 或 2zB 0 z 2 2 或 2 z 2C 0 z 2D 0 z 2 2sin(z)8 z是函数 f ( z)3的（）33zA 一阶极点B可去奇点C 一阶零点D本性奇点9 Resz2 ,2i（ ）( z2i )A 2iB -1C2iD 110 (t t0 ) 的傅里叶变换为（）A 1B t0C e i t0D ei t0精彩文档实用标准文案三、计算题（每小题8 分，共 24 分）sin1 已知 f ( z)| | 24 d ，求 f (12i ) ， f (1) ， f (1) 。z2 计算积分ezd

20、z ， C : z3 取正向。C z( z21)3 求函数 f ( z)z1 在孤立奇点处的留数。z22z四、综合题（共36 分）1设 f z x 3y32x2 y2 i ，问f (z)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。（8( )分）2将函数 f (z)1分别在 0与圆环域内展开为罗伦级数。(z 1)(z 2)z 1 1 0 z 2（10 分）3求余弦函数f (t)cos 0t 的傅里叶变换。（ 8 分）4用 Laplace 变换求解常微分方程。（ 10 分）y3y3yy1y(0)y (0)1,y(0) 2精彩文档实用标准文案第三套一、填空题1 3,6 ,36 i ； 2x； 3 0

21、； 4 1； 5可去奇点；6 -1；7 1；5555x2y28 et1二、选择题BDCBD ，BABCC三、计算题( 每题 5 分，共 20 分 )1、解：（ 1）因为 1 2i5 2 不在曲线 C：2 内所以根据柯西定理得： f (1 2i ) 0（2 分）（ 2）已知 z1在曲线 C：2 内，由柯西积分公式得：sinf (1)4dsin .2 i2 i（3 分）| 214（ 3）由高阶导数公式得：sin422（ 3分）f (1)|2(1)2 d(sin4)2 i4i12、解：设 f (z)ez在曲线 C 内除 z 0,1之外处处解析，（2 分）z(z21)又因为 z0,1是 f ( z)e

22、z的一阶极点，根据留数定理得：z( z21)z3ed z 2iRes f ( z),zk C z(z21)k 1Re s f ( z),02i ， Re s f (z),1e i ， Re s f (z),11 i （ 4 分）eezd zi (e1（2 分）C z(z2 1)2)e精彩文档实用标准文案3、解：由 f (z)z1得：z22 zz0和 z2 都是 f ( z) 的孤立奇点，并且是一阶极点，（2 分）Re s f ( z),01（3 分）Re s f ( z), 23（3分）22四、综合题1 解： u( x, y)x 3y3 ,v(x, y)2x 2 y 2u3x2 ,u3 y2

23、,v4xy 2 ,v4 x2 y（4 分）xyxy均连续，要满足 CR 条件，必须要3x 24x 2 y,4xy23y 2 成立即仅当 xy0 和 xy3f ( z) 处处不解析；（2 分）时才成立，所以函数4f ( 0)u(0 ,0 ) i v (0 ,0 )0,f ( 33 i )u3 3i v3 327 (1 i )（2分） 2解：xx4 4x(4 ,4)x( 4,4 )16f (z)11( zn0z（5 分）( z 1)(z 2)(z 1)(1 (z 1）)n 11)1 1f (z)11(1)n1 z 2（5分） 3 解：( z 1)(z 2)21n 1 ( z 2)n 2(z2)(1)(z2)F ()F f (t)cos0te i t dt1(ei 0tei0t )e it dt21 e i (0 )te i (0 ) t dt1 2(0 )2