初中数学竞赛试题五份精选集合(含答案)

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢数学竞赛训练题一一选择题（每小题6 分，共 36 分）1如果 x0, y0,log x y10144 ，那么 xy 的值是（log y x， xy）3A.20 3B.26 3C .243D .1032.设函数 f (x)a |x| (a0且 a1) ， f（ 2） 9，则（）A. f （ 2） f（ 1）B. f（ 1） f （ 2）C. f（ 1） f（ 2）D. f（ 2） f （2）3已知二次函数f ( x) 满足 f (1x)f (1x),4f (1)1,1 f (2)5, 则f (3) 的取值范围是 ()A.7f (3)26B.4f (3)15

2、C.1f (3) 32D.2825f (3)33214如图 1，设 P 为 ABC 内一点，且 APAC ，AB55则 ABP 的面积与 ABC 的面积之比为()1211A.B.C.D.55435. 设在 xoy 平面上， 0yx2 ， 0 x1 所围成图形的面积为1 ，则集合3M( x, y) | y | x |1 ,N(x ,y ) |y| 2x的1交集 MN 所表示图形的面积是 ()1B.2C. 1D. 4A.3336方程20062007 的正整数解 (x, y) 的组数是（）xyA1 组B.2 组C.4组D.8组精品文档资料收集于网络 如有侵权请联系网站 删除 谢谢二填空题（每小题 9

3、 分，共 54 分）7函数 f (x)log1 ( x25x 6) 的单调递增区间为.38已知 5sin 2sin 20，则 tan(10 ) 的值是 _.tan(10 )9.设 an 是一个等差数列， a1 19,a213, 记 Ananan 1an 6 ，则 An的最小值为10函数 f ( x) 满足 f (1)1003 ，且对任意正整数n 都有f (1) f (2)f (n) n2 f ( n) ，则 f (2006)的值为y011 .已知 3xy0x3 y0, 则 x2+y2 的最大值是12对于实数x，当且仅当nx n 1（n N ）时，规定 x n，则不等式4 x 236 x450

4、的解集为三解答题（每小题20 分，共 60 分）13设集合A=x log 1 (3x)2 ，B=x2a1 ，若 A B，求实数a 的2xa取值范围 .精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢14三角形ABC 的顶点 C(x, y) 的坐标满足不等式x2y282y, y3 .边 AB在横坐标轴上 .如果已知点 Q(0,1)与直线 AV 和 BC 的距离均为 1,求三解形 ABC 面积的的最大值 .精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢15设函数yf (x) 的定义域为R，当 x0 时， f ( x)1 ，且对任意实数x, y ，有 f (xy)f (x) f ( y) 成立，数

5、列an 满足 a1f (0) 且f (an 1)1(nN * ).f ( 2an )（ 1）求 a2008 的值；（ 2）若不等式 (11)(11)(11) k 2n 1 对一切 nN * 均成立，求a1a2ank 的最大值 .精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢数学竞赛训练题一参考答案1 B2.A3.C4.A5.B6.D7. (, 2)378.91251011 912 2 x 8200713.解 :a (-1,0)(0,3)14解：点C在如图的弓形区域内. 设 A(a1,0), B( a2 ,0), C (x0 , y0 ) ，由点 Q到直线AC， BC的距离等于1 得2( y0

6、2)a12x0a1y00,2( y02)a22x0a2y00.这说明 a1, a2 是方程 ( y02)a 22x0ay00 的 2 个根 . 所以24x 2y ( y02)AB ( a1a2 ) 4a1a200,( y02)2这里 y03, 4 . 首先固定 y0 ，欲使 AB 最大，需x29( y01)2.因此当 y03,4 为某一定值时，点C 应位于弓形弧上 . 所以S ABC1ABy014262( y0322 y0y02时取等号 )精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢15.解:(1)令x1, y0,得f ( 1)f ( 1) f (0), f (0)1.a f (0) 11

7、当x>0时,-x<0,f(0)=f(x)f(-x)=1,0<f(x)<1.设x1,x 2R,且x1 <x2 , 则x2 -x 1>0,f(x2 -x 1)<1,f(x 1)-f(x 2 )=f(x 1 )-f(x1 +x2 -x 1 )=f(x 1 )1-f(x 2 -x 1 )>0.f(x1)>f(x2 ), 函数y=f(x) 在R上是单调递减函数 .由f(a n+1)=1得f (a) f ( 2a )1.f(-2-a n )n 1nf (an1an2)f (0),an 1an20.即an 1an2an2n 1,a20084015(2)由

8、(11 )(11 )(11 )k2n1恒成立, 知a1a2an(11 )(11 )(11 )ka1a21an 恒成立.2n(11 )(11 )(11 )设F(n)=a1a21an,则2nF (n)0(11 )(11 )(11)且F (n1)a1a2an 12n3又 F (n1)2(n 1)1,即F (n1)F (n)F (n)4(n1)21F (n)F (1)23232 3所以,k3, 即k的最大值为33.精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢

9、谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络

10、如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢数学竞赛训练题三一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1已知数列 an 满足 3an+1+an=4(n 1)，且 a1=9，其前 n 项之和为Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|<1的最小整数 n 是（）125A 5B 6C

11、7D 82设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心，过O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA、PB 的延长线分别交于Q、 R，则和式111（）PQPRPSA 有最大值而无最小值B 有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，两者不等D 是一个与面 QPS 无关的常数3xn 1 ，则20053给定数列 xn ，x1=1，且 xn+1=xn =（）3xnn 1A 1B -1C2+ 3D -2+3已知2 ,sin2 ), OAab ,OBab ，若 OAB 是以 O 为直角4a =(cos33OAB 的面积等于（顶点的等腰直角三角形，则）A 11C 23BD22x2y21上任一点

12、P，作椭圆 C 的右准线的垂线PH（ H 为垂足），5过椭圆 C：23延长 PH 到点 Q，使 |HQ|= |PH |( 。1)当点 P 在椭圆 C 上运动时， 点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为（）A(0,3B( 3,3 C 3 ,1)3323D (3,1)26在 ABC 中，角 A、 B、C 的对边分别记为a、b、 c(b 1)，且 C ， sin B 都是方Asin A精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢程logb x=log b(4x-4) 的根，则ABC （）A 是等腰三角形，但不是直角三角形C是等腰直角三角形B 是直角三角形，但不是等腰三角形D不是等腰三角形，也不是直角

13、三角形二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7若 log4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则 |x|-|y|的最小值是 _.8如果：（1） a, b, c, d 都属于 1, 2, 3, 4（ 2） ab, bc, cd, da（ 3） a 是 a, b, c, d 中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是 _.9设 n 是正整数，集合 M=1 ，2， ， 2n 求最小的正整数 k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集，其中必有 4 个互不相同的元素之和等于10若对 |x| 1的一切 x，t+1>( t2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是 _.11我们注

14、意到 6!=8 ×9×10，试求能使 n!表示成 (n-3) 个连续自然三数之积的最大正整数 n 为 _.12对每一实数对(x, y)，函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1 。若 f(-2)=-2 ，试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=_.三、解答题（每小题20 分，共60 分）13已知a, b, c R+ ，且满足kabc(a+b)2+(a+b+4c)2，求k 的最小值。abc14已知半径为1 的定圆 P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为2，Q 是 l 上一动点， Q精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢与 P 相外切， Q

15、 交 l 于 M、 N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A，使得 MAN 为定值。求 MAN 的度数。15已知 a>0，函数 f(x)=ax-bx2,（ 1）当 b>0 时，若对任意 x R 都有 f(x) 1，证明： a2 b ；（ 2）当 b>1 时，证明：对任意 x 0, 1, | f(x)| 1的充要条件是： b-1a2 b ；精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢（ 3）当 0<b1时，讨论：对任意x 0, 1, | f(x)| 1的充要条件。数学竞赛训练题三答案一、选择题1由递推式得： 3(an+1-1)=-( an-1) ，则 an-1

16、 是以 8 为首项，公比为 -1 的等比数列，1381 () n 1 n1 Sn-n=( a1-1)+( a2-1)+ +(an-1)=31n， |Sn-n-6|=6，1=6-6 ×(-)(×)<1251333精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢得： 3n-1 >250，满足条件的最小整数n=7，故选 C。2设正三棱锥P-ABC 中，各侧棱两两夹角为， PC 与面 PAB 所成角为，则111d，VS-PQR= S PQR·h=( PQ·PRsin PS)· sin。另一方面，记 O 到各面的距离为332则 VS-PQR

17、=VO-PQR+VO- PRS+VO-PQS,1111d1d1S PQR·d=S PRS·d+S PRS·d+SPQS·d=2PQ·PRsin +PS·PRsin +3333332d13PQ·PS· sin ， 故 有 ： PQ·PR·PS· sin d(PQ=·PR+PR·PS+PQ·PS) ， 即2111sin=常数。故选 D。PQPRPSdxn33n+1，令 x， xn+1 =tan(nn+6n123 ,3 x=n=tan n), x+=x , x

18、=1， x =2+13 xn632005x3=-2-3 , x4=-1, x5=-2+3 , x6=2- 3 , x7=1，有xnx11。故选 A。n 14设向量 b =(x, y) ，则( ab)( ab)0| ab | | ab |，( x1 , y3) ( x1 , y30x2y21即2222，即.1 ) 23 )21) 23 ) 2x3y( x( y( x( y2222 b(3,1)或 (3,1) ， SAOB=1| ab | ab |=1 。222225设 P(x1,y1)， Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以 H点的坐标为 (3,y)。又HP1x13(1)x HQ=PH，所

19、以，所以由定比分点公式，PQ1可得：y1y代入椭圆方程，得 Q点 轨 迹 为 x3(1) 2y21，所以离心率322精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢e=32212 3 ,1) 。故选 C。2332326由 logb x=log b(4x-4) 得： x -4x+4=0，所以 x1=x2=2，故 C=2A， sinB=2sinA，因A+B+C=180 °， 所 以3A+B=180 °， 因 此 sinB=sin3A ， 3sinA-4sin3A=2sinA ， sinA(1-4sin 2A)=0 ，又sinA0，所以sin 2A=1 ，而 sinA>0

20、， sinA= 1 。因此42A=30 °,B=90 °,C=60 °。故选 B 。二、填空题x2 y0x2 | y |7 3 。 x2 y0x24 y 24( x2y)( x2 y) 4由对称性只考虑y0，因为 x>0，只须求 x-y 的最小值，令x-y=u，代入 x2-4y2 =4，有 3y2-2uy+(4- u) 2=0，这个关于 y 的二次方程显然有实根，故=16(u2-3) 0。8 46 个。 abcd 中恰有2 个不同数字时，能组成2个不同的数。 abcd 中恰有 3C4=6个不同数字时，能组成C31C21C21C21C21=16 个不同数。 a

21、bcd 中恰有 4 个不同数字时，能组成 A44 =24 个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46 个。9 解考虑 M 的 n+2 元子集 P= n-l， n， n+1， ， 2n P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+ n+(n+1)+( n+2)=4 n+2 ，所以 kn+3将 M 的元配为 n 对， Bi =(i， 2n+1- i)， 1in对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有三对Bi1 , Bi 2 , Bi3 同属于A(i 1、 i 2、 i 3 两两不同 )又将 M 的元配为n-1 对， C i (i， 2n-i)， 1in-1对 M 的任一 n+3 元子集

22、 A，必有一对 Ci4同属于 A，这一对 Ci 4必与 Bi1, Bi 2 , Bi 3 中至少一个无公共元素，这4 个元素互不相同，且和为 2n+1+2n=4 n+1, 最小的正整数 k=n+313121 12或 t>2，则由t110,2。若 t -4>0 ，即 t<-2t 2>x(|x| 1)恒成立，24精品文档资料收集于网络 如有侵权请联系网站删除谢谢得t11, t+1> t2-4, t2-t-5<0 解得121t121，从而121<t<-2 或t242222<t<121 。若t2-4=0 ，则 t=2符合题意。若t 2-4&l

23、t;0 ，即 -2<t<2 ，则由2t1<x(|x| 恒1)成立， 得t11 ，t+1>- t2+4; t2+t -3>0，解得： t<113 或t 24t242t>113， 从 而1213<t<2 。 综 上 所 述 ， t 的 取 值 范 围 是 ：2131<t<21 1。2211 23。121 或 -2。令 x=y=0 得 f(0)=-1 ；令 x=y=-1 ，由 f(-2)=-2 得，f(-1)=-2 ，又令 x=1, y=-1可得 f(1)=1 ，再令 x=1，得 f(y+1)= f(y)+y+2 ，所以 f(y+1)- f(y)= y+2，即 y 为正整数时， f(y+1)- f(y)>0 ，由 f(1)=1 可知对一切正整数 y， f(y)>0，因此 y N* 时， f(y+1)= f(y)+y+2> y+1，即对一切大于 1 的正整数 t，恒有 f(t)> t，由得 f(-3)=-1, f(-4)=1 。下面证明：当整数 t-4 时，f(t)>0 ，因 t-4，故 -(t+2)>0 ，由得：f(t)- f