南京盐城市2017届高三二模数学试卷

1、南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试2017. 03注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题(第 1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡.上对应题目的 答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答 题卡相应位置 上.11 .函数f(x)=*_ x的正义域为 .2 .若复数z满足z(1 i)= 2i (i是虚数单位)，W是z的共轲复数，则z =.3 .某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中

2、一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为.4 .下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：/、喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏S1I 1While I 0 8S S+ II1+ 2End WhilePrint S（第5题图）剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 .5 .根据如图所示的伪代码，输出S的值为 .6 .记公比为正数的等比数列 an的前n项和为Sn.若a=1, S4-5S2=0,贝U S5的值为.TTa 、，、 一

3、 ，一一，一、，一- 一,， 7,将函数f(x)= sinx的图象向右平移 三个单位后得到函数 y=g(x)的图象，3则函数y= f(x) + g(x)的最大值为.8.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l, P为抛物线上一点，PA± l, A为垂足.若直线 AF的斜率k=-3,则线段PF的长为 .9-若 sin(a- = l 氐(6 2)，则 C0s"的值为A10 . a, 3为两个不同的平面， m, n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 (填上所有正确命题的序号)若 a/ 3, m a,则 m / 3;若 m / a, n a,则 m / n

4、;（第17题图）若 a± 3, aA 3= n, m,n,则 m, 3;若 n± a, n± 氏 m± a,贝U m± &11 .在平面直角坐标系 xOy中，直线11： kxy + 2=0与直线12： x+ ky2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x-y-4= 0的距离的最大值为12 .若函数f(x) = x2 mcosx+m2+3m8有唯一零点，则满足条件的实数 m组成的集合为 13 .已知平面向量 AC = (1, 2), BD = (-2, 2),则AB?CD的最小值为b -14 .已知函数f(x)=lnx+(e-a)x

5、- b,其中e为自然对数的底数.右不等式f(x)< 0恒成立，则一的取a小值为 、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，AD = 6, BD = 3, DC = 2 .(1)若 ADXBC,求/ BAC的大小;BCDBD C(第15题图1)(2)若/ ABC = j,求 ADCAA16 .（本小题满分14分）如图，四棱锥 P ABCD中，AD，平面PAB, APXAB.（第16题图）(1)求证：CDXAP;(2)若 CDXPD,求证：CD/平面 P

6、AB;17 .（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板 ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）.设小正方形边长为 x厘米，矩形纸板的两边 AB, BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a>b.（1）当a= 90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a, b, x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.AB南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试如图，在平面直角坐标系 xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： x- + y2= 1经过点(b, 2e),其中8 b为椭圆C的离心率.过

7、点 T(1, 0)作斜率为k(k> 0)的直线l交椭圆C于A, B两点(A在x轴下方)(1)求椭圆C的标准方程;过点。且平行于l的直线交椭圆C于点M, N,求A；N BT的值;(3)记直线l与y轴的交点为P.若aP =2tB ,求直线519.(本小题满分16分)aC R.已知函数f (x)=exax 1,其中e为自然对数的底数,(1)若 a= e,函数 g (x)=(2 e)x.求函数h(x) = f(x) g (x)的单调区间;若函数F(x)= f (x), x<m,的值域为R,求实数m的取值范围; g (x), x> m(2)若存在实数 x，x2C 0, 2,使得 f(x

8、1)=f(x2),且 |x1一x2| > 1,求证：e K a<e2 e.20.(本小题满分16分)Si已知数列an的刖n项和为Sn,数列bn, Cn满足(n+ 1) bn=an+1 "n,(n+ 2) cn =an+ 1 + an + 2Sn(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列Cn的通项公式;(2)若存在实数 h使得又一切nCN* ,有bnW入w cn,求证：数列an是等差数列.数学附加题2017. 03注意事项:1 .附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 .

9、上对应题目的答案 空格内.考试结束后，交回答题卡.21 .【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指 定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41:几何证明选讲AB与圆O交于点M.的长度;如图， ABC的顶点A, C在圆。上，B在圆外，线段(1)若BC是圆。的切线，且 AB=8, BC = 4,求线段AMBN= 2MN(2)若线段BC与圆。交于另一点N,且AB=2AC,求证:(第 21(A)图)B.选修42:矩阵与变换设a, bC R .若直线l ： ax+ y 7 = 0在矩阵A =3 0-1 b对应的变换作用"

10、; 得到的直线为l':9x+ y91 = 0.求实数a, b的值.C.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l：x = 1 + 3t, 54y=5t(t为参数)，与曲线C：x= 4k2, y= 4k(k为参数)交于A, B两点，求线段AB的长.D.选修45:不等式选讲设 awb,求证：a4+ 6a2b2+ b4>4ab(a2+ b2).【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面四边形 ABCD为菱形，A

11、iA=AB=2,ZABC = 3, E, F分别是BC, AiC的中点.(1)求异面直线EF, AD所成角的余弦值;A1M点M在线段A1D±,府=入.若CM"平面AEF,求实数入的值(2)证明:Pn>Cn + 1(n+ 1)!23 .(本小题满分10分)现有“门；D(n>2, nCN * * *设Mk是第k行中的最大数，其中 1Wkw n, kC N* .记M1VM2<v Mn的概率为pn.(1)求P2的值;)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵:南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准、填空题（本大题共 14小题，

12、每小题5分，计70 分.)1. (00, 1)2.4. 305. 176. 317.38.9 41010.11. 3 212. 2913. 414.二、解答题（本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）解：(1)设/ BAD= % / DAC= 3.因为AD ± BC, AD=6, BD = 3, DC=2,所以tan a= tan 3= 1, 23所以,/-tan a+ tan 3tan/ BAC = tan( a+ 就=:1 tan dan 31 1一 十 一2 3,=1 .V 11 一一乂 -1 2 3又/ BACC

13、(0,%所以/ BAC =-4(2)设/ BAD =a.14分在4ABD 中，/ABC = j, AD = 6, BD = 3.由正弦定理得 AD- = -BD-,解得sina=乎% sin a4sin410分因为AD>BD,所以a为锐角，从而cos a=四1 sin1+ 电 3 r = 2><6X 2X / =2(1 + 3) ”=一，一兀因此 sinZ ADC = sin(a+ 4)= sin7171acos4+cosasin-上,上1+ ：7 2(4+ 4 尸 412分1 ADC 的面积 S=1XADX DC sin/ADC216 .（本小题满分14分）证明：（1）因为

14、 AD，平面 RAB, AP?平面PAB,所以ADLAP. 2分又因为 ARXAB , AB A AD = A, AB?平面 ABCD , AD?平面 ABCD ,所以APL平面ABCD. 4分因为CD?平面 ABCD,所以CDXAR. 6分(2)因为 CD LAP, CDXRD,且 PDA AR=R, RD?平面 PAD, AR?平面 RAD,所以CD，平面RAD.8分因为AD,平面RAB, AB?平面RAB,所以ABXAD.又因为 ARXAB, ARA AD = A, AR?平面 RAD, AD?平面 RAD,所以AB,平面RAD.10分由得CD /AB, 12分因为CD /平面RAB,

15、AB?平面RAB,所以CD /平面RAB. 14分17 .（本小题满分14分）解：(1)因为矩形纸板 ABCD的面积为3600,故当a=90时，b=40,从而包装盒子的侧面积S= 2X x(90 -2x)+2X x(40 2x)=-8x2 + 260x, xC(0, 20) . 3分因为 S= - 8x2 + 260x= 8(x詈)2 + 45 ,故当x=号时，侧面积最大，最大值为号5平方厘米.654225一答：当x= 65时，纸盒的侧面积的最大值为平万厘米. 6分(2)包装盒子的体积V=(a-2x)(b-2x) x= xab-2(a+b)x+ 4x2, xC (0, b), b<60.

16、 8分V= xab 2(a + b)x+ 4x2 < x(ab 4Vabx + 4x2)= x(3600-240x + 4x2)= 4x3-240x2+3600x.10分当且仅当a= b= 60时等号成立.设 f(x)=4x3240x2+3600x, xC (0, 30).则 f '(x)=12(x 10)(x-30).于是当0vxv10时，f'(x)>0,所以f (x)在(0, 10)上单调递增;当10vxv30时,f '(x)<0,所以f (x)在(10, 30)上单调递减.因此当x= 10时,f (x)有最大值f (10)= 16000,12分此

17、时 a=b = 60, x=10.答：当a=b=60, x= 10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米.14分18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆因为e2= c2= ax2+y2r= 1 经过点(b, 2e),所以+ 412=1.8 b28b2 c2所以殳+旦=18,山以 8 + 2b2-1,因为a2=b2+c2,所以 (十2 b2整理得 b4-12b2 + 32=0,解得 b2=4或 b2=8(舍).所以椭圆x2 y2c的方程为尹4=1.(2)设 A(x1,V), B(x2, y2).因为 T(1, 0),则直线 l 的方程为 y=k(x- 1).联立直线y=k(x-1),

18、l与椭圆方程x2 y2 d8+4 = 1'消去 y,得 (2k2+1)x24k2x+ 2k2 8=0,4 k2x1+x2= 2k2+7'所以2k28x1x2= 2k2+1因为MN / l,所以直线MN方程为y=kx,y= kx,联立直线MN与椭圆方程 x2 y2 , I+4 = 消去 y 得(2k2+1)x2=8,解得 x2=S.因为MN / l,所以AT BT (1 xi) (x2 1)MN 22(xm - xn)2k2+1 '因为(1 Xi) (x2 1) = xiX2(X1 + X2)+ 1=,、2， 232(XM XN) =4X = 2k2+1,所以AT BT

19、(1 X1) (X2 1) _MN 2(xm xn)272k2+ 1 =1_2k2+ 132 3210分(3)在 y=k(x1)中，令 x=0,则 y= k,所以 P(0, k),从而 A P = ( X1,k y1)，T B = (X21 , y2).-、> 2 > 2因为 AP=5TB ,所以一X1 = 5(x2- 1),即,22X1 + 7X2= c-5512分由(2)知,4k2X1+X2 = £2T712k28X1X2= 2k2+r -4kX1 + X2 2k2+1, 4k2+216k22由 22 斛付 X1 = 3(2k2+1)' X2=3(2k2+1)

20、 .X1+ 5x2 = 5,14分2k28因为X1X2=宝工7,所以-4k2+ 216k222k2 8x3(2k2 + 1) 3(2k2 + 1) 2k2+ 1'17整理得 50k4-83k2-34=0,解得 k2=2 或 k2=(舍)50 ' /又因为k>0,所以k=也.16分19.(本小题满分16分)解：(1)当 a=e时，f (x)=eX ex 1. h (x) = f (x) g (x) = eX-2x-1, h'(x) = ex2.由 h'(x)>0 得 x> ln2,由 h'(x)v0 得 xvln2.所以函数h(x)的单调

21、增区间为 (ln2, +8),单调减区间为 ( 8, m2). 3分 f ' (x)=eX- e.当XV 1时，f'(x)V0,所以f (X)在区间(一8, 1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0,所以f(x)在区间(1 , +00 )上单调递增.1 °当mW 1时，f (x)在( 8, m上单调递减，值域为em-em-1, +°° ),g(x)=(2 e)x在(m,)上单调递减，值域为(一(2-e)m),因为F(x)的值域为 R ,所以em- em- 1 < (2- e)m,即 em 2m K 0.*)由可知当 m&

22、lt;0时，h(m)= em 2m 1 >h(0)= 0,故(*)不成立.因为h(m)在(0, ln2)上单调递减，在(ln2 , 1)上单调递增，且 h(0) = 0, h(1)=e 3<0,所以当0Wmwl时，h(m)W0恒成立，因此 0w m< 1. 6分2当m> 1时，f (x)在( 8, 1)上单调递减，在(1, m上单调递增，所以函数 f (x)= ex ex 1 在(一0°, m上的值域为f (1), +°°), ip 1,+8).g(x)=(2 e)x在(m, + 00 )上单调递减，值域为 ( 8, (2 e)m).因为F

23、(x)的值域为 R ,所以一1W(2 e)m,即1< m<-e"2综合1°, 2°可知，实数 m的取值范围是0, 一. 9分e 2(2) f ,(x) = ex-a.若aw 0时，f '(x)>0,此时f(x)在R上单调递增.由 f(x1)= f(x2)可得 x1 = x2,与 |x1 x2|A 1 相矛盾，所以a>0,且f(x)在(00, lna单调递减，在ln a, +00 )上单调递增. 11分若 xi , x2C(8, lna,则由 f (x1)=f(x2)可得 xi = x2,与 |xi x2|R 1 相矛盾， 同样不能有

24、 Xi , x2 ln a, +°° ).不妨设 0Wx1x2W2,则有 0w xiv lnavX2W 2.因为f(x)在(xi, lna)上单调递减,在(lna, x2)上单调递增,且 f (xi)= f (x2), 所以当 XWxWX2 时,f (x)<f (X1) = f (X2).由 0WX1VX2W2,且 |X1 X2 除 1 ,可得 1 e x1 , X2,故 f (1)Wf (Xi)= f (X2) . 14 分又 f (x)在(一8, lna单调递减，且 0Wx1lna,所以 f (x1)wf(0),所以 f (1)wf (0),同理 f (1)<

25、;f (2).解得 e-1< a< e2- e- 1,16分e一 a一 10,e a 1< e2 2a 2,所以 e 1 < a< e2 e.20.(本小题满分16分)解：(1)因为an是公差为2的等差数列，Si川所以 an=aI + 2(n1), = a1+n- 1, 2 分从而(n+2) Cn=9一 (a+n1)= n+2,即 cn=1.(2)由(n+1)bn=aw-不,得 n(n+ 1) bn= nan+i-Sn,(nd- 1)(n + 2) bn+1 = (n+ 1)an +2 Sn+1 )两式相减，并化简得an+2 an+1 = (n+ 2) bn+1

26、nbn. 6分, c、 an + l+ an + 2 S1 an+l+ an+2 r从而 (n + 2) Cn= 2-=2 一 an + 1 (n + 1) bnHn + 2 3n +12(n+ 1) bn(n+ 2) bn+i nbn+ (n+ 1) bn1=2(n+ 2)( bn+ bn+i).1因此 Cn= ( bn + bn+ 1).1因为对一切 n N* ,有 bnW 其 Cn,所以 Cn = -(bn+ bn+1)< 入故 bn= % Cn=入. 11 分所以(n+ 1) an+i ,n1Sn ”(n+2)(an+i+ an+2)-,1，得 2( an+2 Hn+1)=% 即

27、 Hn+23n+ 1 = 2 Z.故 an+1 an=2X(n>2). 14 分又 2 入=a? 彳=a2ai,则 an+i an= 2 入(n> 1).所以数列an是等差数列. 16分南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加参考答案及评分标准请在答卷卡指21.【选做题】在 A、B、C、D四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41:几何证明选讲解：(1)因为BC是圆。的切线，故由切割线定理得 BC2=BM BA.设 AM = t,因为 AB = 8, BC=4,所以42=8(8t),解得t=6

28、,即线段AM的长度为6.(2)因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以/A=Z MNB .又/ B=Z B,所以BMNA BCA,BN MN所以二T=BA CA因为AB=2AC,所以BN= 2MN.10分B.选修42:矩阵与变换解：(方法一) 在直线l： ax+y7=0取点A(0,7), B(1, 7- a).3 0003 01因为=,-1 b 7 7b -1 b 7- a3 、 ? b(7-a)-1所以A(0, 7), B(1, 7a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点 A'(0, 7b), B'(3, b(7-a)-1).由题意，知 A', B在直线i: 9x+y91

29、 = 0上,7b 91 = 0, 所“27 + b(7-a)-1-91 = 0.解得 a= 2, b= 13.10分(方法二)设直线l上任意一点P(x, y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x', y).因为-10b；=:所以；13xx+ by.又因为点Q(x', y)在直线l'上，所以9x'+ y'91 = 0.即 27x+ (-x+ by) 91 = 0,也即 26x+by-91 = 0,又点P(x, y)在直线l上，所以有ax+y7=0.26 b 91 一 一一一所以=7 ,斛得 a=2, b= 13.a 1 710分C.选修44:坐标系与

30、参数方程8分10分2分直线l的参数方程代入抛物线C的方程得(4t)2= 4(1+5t),即 4t215t25=0,所以 tl + t2=15, tlt2= § 44所以 AB= |tl 12|= q(tl+ t2)2 4tlt2(冬2+25=256分10分D.选修45:不等式选讲证明：a4 + 6a2b2+ b44ab(a2+ b2)= (a2+ b2)2 4ab(a2 + b2) + 4a2b2=(a2+ b2 2ab)2= (a b)4.因为 awb,所以(a b)4>0,所以 a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2). 10 分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)解：因为四棱柱ABCD A1B1C1D1为直四棱柱，所以 AA，平面ABCD.又 AE 平面 ABCD, AD 平面 ABCD,所以 AA，AE, AA，AD.,，一),兀一一，.一在菱形ABCD中/ABC = 3,则 ABC是等边二角形.因为E是BC中点，所以BCXAE.因为 BC / AD,所以