双曲线知识点及题型总结精华.

1、双曲线知识点1 双曲线定义：到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长 （ |F1F2|）的点的轨迹（ PF1 PF 22a F1F2 （ a为常数） 这两个定点叫双曲线的焦点要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值 .（2） 2a |F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当 |MF 1| |MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2 所对应的一支；当 |MF 1| |MF 2|= 2a 时，曲线仅表示焦点F1 所对应的一支；当 2a=|F1 F2 |时，轨迹是一直线上以 F1、 F 2 为端点向外的两条射线；当 2a | F1F2| 时，动点轨迹不存在 .动点到一定点 F

2、的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数 e( e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线22222.双曲线的标准方程： x 2y2 1和 y2x21（ a0，b 0）. 这里 b2c 2a2 ，其中 | F1F2 |=2c.abab要注意这里的 a、 b、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 x2 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果 y 2 项的系数是正数，则焦点在 y 轴上 . 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 .4. 求双曲线的标准方程

3、，应注意两个问题：系数法求解 .5. 曲线的简单几何性质x2y 2a 2b2 =1（ a0， b 0）范围： |x|a， y R对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点 A1 （ a， 0）， A2（ a，0）渐近线：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定yM 1M 2PF1 A1K1o K 2A 2 F 2x若双曲线方程为x2y21渐近线方程x2y20yb xa2b2a2b 2x2y 2a若渐近线方程为yb xxy0双曲线可设为aaba 2b 2若双曲线与x 2y 21有公共渐近线，可设为x 2y 2（0，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴a 2b 2a 2b2

4、上）特别地当 ab时离心率 e2两渐近线互相垂直，分别为y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 x2y 2； y= b x， y= b xaaa2准线： l1： x=a2a 2， l 2： x=，两准线之距为 K1 K22ca2cc焦半径： PF1e( x)exa ，（点 P 在双曲线的右支上xa ）；e( a2cPF2x)exa ，（点 P 在双曲线的右支上xa ）；c当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质（略）与双曲线 x2y21共渐近线的双曲线系方程是x2y2(0)a2b2a2b2与双曲线 x2y21共焦点的双曲线系方程是x2ky21a2b2a2b2k6 曲线的内外部(1)点 P(

5、 x0x2y21(a0, b0) 的内部x02y021 ., y0 ) 在双曲线2b2a2b2a(2)点 P( x , yx2y21(a0, b0) 的外部x02y021 .) 在双曲线00a2b2a2b27 曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为x2y21渐近线方程：x2y20yb x .a2b2a2b2x2y2a(2)若渐近线方程为yb xxy0 双曲线可设为.若双曲线与 x 2y 2aabx 2y 2a2b 2(3)1有公共渐近线，可设为（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴a 2b 2a 2b2上） .8 双曲线的切线方程(1) 双曲线 x2y21(a0,b0) 上

6、一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是x0xy0 y1.a2b2a2b2（ 2）过双曲线 x2y21(a0,b0) 外一点 P( x0, y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是x0xy0 y1.a2b2a2b2（ 3）双曲线 x2y21(a 0,b0) 与直线 AxBy C0 相切的条件是 A2a2B2b2c2 .a2b29 线与椭圆相交的弦长公式AB(x1x2 )2( y1y2 )2若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1， y1)、 B(x 2,y2)，则弦长AB1 k 2x2x(1k 2 )( xx )24 x x2112111y2y(1

7、1)( yy2)24 y y ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；k 21k 2112高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ ab<0 ”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的 ()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.若 k R ，则“ k3 ”是“方程x2y21 表示双曲线”的 ()k 3k3A .充分不必要条件 .B.必要不充分条件. C.充要条件 .D. 既不充分也不必要条件 .3.给出问题： F1、 F2 是双曲线 x 2 y 2=1 的焦点，点P 在双曲线上 .若点 P 到焦点 F 1 的距离等于9，求点 P 到162

8、0焦点 F2 的距离 .某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 |PF1 | |PF 2|=8，即 |9 |PF 2|=8，得 |PF 2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确， 将正确结果填在下面横线上 ._.4. 过双曲线 x2- y2=8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ|=7 ， F2 是双曲线的右焦点，则PF2Q 的周长是.题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线 x2 y 2=1 的渐近线方程是 ()49A . y=± 3xB.y=± 2xC.y=± 9xD.y=± 4x23

9、x 2492.过点（ 2， 2）且与双曲线2有公共渐近线的双曲线方程是()2 y =1y2x2=1x2y 2=1y2x2x2y2A .4B.2C.=1D.=1244224题型三：双曲线的离心率问题1 已知双曲线x2y2= 1 (a 0,b0)的左右焦点分别为F 1、F2，点 P 在双曲线的右支上， 且 PF 1 =4 PF2 ,22abe 的最大值为则此双曲线的离心率（）457A 3B 3CD 32.已知 F1 ,F2是双曲线 x 2y 21, ( ab0 ) 的左、右焦点 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、a 2b 2B两点,若ABF2 是正三角形 ,那么双曲线的离心

10、率为()A.2B.3C. 2D. 3x2y21b2的直线 l ,若 l 与双曲线 M3.过双曲线 M:的左顶点 A 作斜率为 1的两条渐近线分别相交于B、 C,且|AB|=|BC|, 则双曲线 M 的离心率是()105105A.B.C.3D.212 ，焦点到相应准线的距离为4.在给定双曲线中， 过焦点垂直于实轴的弦长为2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B. 2C .2D. 2225.已知双曲线x2y21(a>0,b<0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个a2b2交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2

11、)C.2,+ )D.(2,+ )题型四：双曲线的距离问题1.设 P 是双曲线x 2y 23x 2y=0 ，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点 .a 2=1 上一点， 双曲线的一条渐近线方程为9若 |PF 1|=3，则 |PF 2|等于 ()A.1或5x 2y 2B.6C.7D.92.已知双曲线1的右焦点为F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的124取值范围是A.(33B. (-3 ,3 )C.33D. -3, 3,3),3333.已知圆 C 过双曲线 x2 y 2=1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是916_.题型五：轨迹问题

12、1.已知椭圆 x2 +2y2=8 的两焦点分别为F1、F2，A 为椭圆上任一点。 AP 是 AF 1 F2 的外角平分线， 且 AP F2 P =0.则点 P 的轨迹方程是.2.双曲线 x2 y2 =4 的两焦点分别为F 、 F，A 为双曲线上任一点。AP 是FAF的平分线，且AP F2P =0.则点 P 的轨迹是1212（）A. 椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D. 抛物线的一部分3 求与圆 (x 3) 2y 21及 (x3)2y 29 都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1.已知 F1 ,F2是双曲线 x 2y21 的左、右焦点 ,P、Q 为右支上的两点 ,直线 PQ 过 F

13、2 ,且倾斜角为,则2PFQFPQ 的值为 ()11A42B8C22D随的大小变化答案 : A 解析 : 用双曲线定义列方程可解AB 42.过双曲线2x2y22 0的右焦点作直线l 交曲线于A、B,则这样的直线存在()两点 若A 0 条B 1 条C 2 条D 3 条答案 : D 解析 : lx 轴时的焦点弦长AB=4 最短为通径 ,故交右半支弦长为 4 的直线恰有一条 ;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3.直线 y15与曲线x xy2()x91的交点个数是325A 0 个B1 个C 2 个D 3 个答案 :D解析:(0,5) 点为完整双曲线和椭圆的极值点,故 y=5 为其切线 ,当直线

14、斜率不为 0 时 ,直线必与每个曲线交于两点4.P 为双曲线 x 2y21上一点 , F1 为一个焦点 ,以 PF1 为直径的圆与圆 x 2y2a 2 的位置关系为()a 2b2A内切B外切C内切或外切D无公共点或相交答案 : C 解析 : 用两圆内切或外切的条件判断5.设 F1, F2 是双曲线 x 2y 21 的两个焦点 ,点 P 在双曲线上且满足F1 PF290 ,则 PF1 F2 的面积为()4A1B5C2D52答案 :A 解析 : 勾股定理 ,双曲线定义联立方程组h 或面积公式6.设 F1, F2 是双曲线 x 2y 21 的左、右焦点 ,P 在双曲线上 ,当F1 PF2 的面积为1

15、 时, PF1 PF2的值为 ()41A0B1CD22答案 :A解析 : 不妨设 x p, yp0,由 1 2cy p1 y p1,P(2 30 ,5) PF1 (5 230,5),255555PF( 52 3050,) PFPF2,1255y 27. 过点 A（ 0， 2）可以作 _条直线与双曲线2x 1 有且只有一个公共点答案： 44解析：数形结合，两切线、两交线22过点 P(4,4) 且与双曲线 x y 1 只有一个交点的直线有()169A1条B2 条C3 条D4 条解析： 如图所示，满足条件的直线共有3 条答案： C8. 已知 A（ 3，2），M是双曲线H： x2y 21上的动点， F

16、2 是 H 的右焦点，求 AM12 的最小值及此时 M3MF2的坐标。解： 由 e2 ，则AM1MF 2MF 2AM2eAMMM 1AA11521,2）3此时 M 的坐标（y 22239. 已知双曲线 C： x21( x1) ，一条长为8 的弦 AB 两端在 C 上运动， AB 中点为 M ，则距 y 轴最近的 M 点的坐标为3。yA 1AM 1MxOBB 1解： 2MM1AA1BB11(AFBF )eMM 11(AFBF )1 AB2e2e又 ec，则 MM122a当且仅当 FAB 时，取“ =”，由逆径2b28 ，故可取“ =”a6x0MM 1115又由 kOMkFMb23222a 22即

17、 y0y0 03y0215y015故M（5,15 ）55422222222y222210.P 为双曲线x 1 右支上一点， M、N 分别是圆 (x 4) y 4 和 (x 4) y 1 上的点， 则 |PM | |PN|的最大值为 _F ( 4,0)、F (4,0)r 2， r1， | PM|解析： 双曲线的两个焦点为，为两个圆的圆心，半径分别为1212max| PF1| 2，| PN| min | PF2| 1，故 | PM| |PN| 的最大值为 (| PF1| 2) (| PF2| 1) | PF1| | PF2| 3 5. 答案： 5.直线 l ： ykx 1与双曲线 C：2 x2y

18、21的右支交于不同的两点A、B。（）求实数k 的取值范围；（）是否存在实数 k ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F？若存在， 求出 k 的值。 若不存在，说明理由。解：（）将直线的方程1代入双曲线的方程 2221后, 整理得lykxCxy( k 22) x22kx 20. 依题意，直线l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故k 220,(2k) 28( k22)0,2k0解得 k的取值范围是 2k2k 2220.k 22(x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则由式得（）设 A 、 B 两点的坐标分别为x1x22k,2k2 2x2x2.k 22假设存在实数k，使

19、得以线段 AB为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F（ c,0） .则由 FA FB 得：( x1c)( x2c)y1 y20.即(x1c)( x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k 21) x1 x2( k c)( x1x2 )c210. 把式及 c6代入式化简得25k 226k60.解得 k656 或k66( 2, 2)(舍去)5可知 k66使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 .5（四川卷 ）9.已知两定点 F1 (2,0), F2 ( 2,0), 满足条件 PF 2PF 12 的点 P 的轨迹是曲线E ，直线 kx 1 与曲线 E 交于 A、B 两点。（）求的取值范

20、围；（）如果AB63, 且曲线E 上存在点C，使 OAOBmOC, 求 m的值和ABC的面积S。本小题主要考察双曲线的定义和性质、思想、方法和综合解决问题的能力。满分14直线与双曲线的关系、分。点到直线的距离等知识及解析几何的基本解：（）由双曲线的定义可知，曲线E 是以 F12,0, F22,0为焦点的双曲线的左支，且 c2, a1，易知 b1故曲线 E 的方程为 x2y21 x0设 A x1 , y1, Bx2 , y2，由题意建立方程组ykx1x2y21消去 y ，得 1 k 2 x22kx 2 0又已知直线与双曲线左支交于两点A,B ，有1k 202k28 1k 20x1x22k0解得2

21、k11k 2x1 x2201k 2AB1 k2x1x21 k 2x1x24x1 x221k22k421k 21k221 k 22k21k 22依题意得21k 22k 26 31k 22整理后得 28k 455k2250 k 25或 k 2574但2k1 k52故直线 AB 的方程为5 xy102设 Cx0 , y0，由已知 OAOBmOC ，得 x1 , y1x2 , y2mx0 ,my0 mx0 , my0x1x2 , y1y2， m 0mm又 x1x224 5， y1 y2k x1x222k22k21k22k2811点 C458m,m将点 C 的坐标代入曲线E 的方程，得 80641 得

22、m4 ，m2m2但当 m4 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 m4 ，点 C 的坐标为5, 2C 到 AB 的距离为552 121523122 ABC 的面积 S16 31323练习题1. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线 y=x 1与其相交于 M 、N 两点， MN 中点的横坐标为2 ，3则此双曲线的方程是（）A x2y2 =1 B x2y2=1 C x 2y2=1D x2y2=1344352252. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1、F 2， F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）A. 3B.6C.6D.3233A ， OAF 的面积为 a 23、已知双曲线 x2y2 1（ a 0，b 0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点（ Oa 2b22为原点），则两条渐近线的夹角为（）A 30oB 45oC 60oD 90o4、已知双曲线的两个焦点为F1 (5,0) ， F2 (5,0) ，P 是此双曲线上的一点，且PF1PF2，| PF1 | |PF2 |2，则该双曲线的方程是A x2y21B x 2y 21C x 2y21D x2y21233244、 F