电磁场的边界条件

1、电磁场的边界条件名:口号:业:级:桑薇薇09901140131通信工程电工1401期:2016.5.28绩:电磁场的边界条件1.引言 2.边界条件分类 3.边界条件的作用 4.结束语 5.参考文献1.引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。在实际的电磁场问题中，总会遇到两种不同媒质的分界面（例如：空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等），边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。2.边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1， 1和1nA第二种媒质的介电常数、磁导率和

2、电导率分别为2-在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面,图3.9电场法向分量的边界条件可以认为在S上的电位如图3.9所示，其高h为无限小量，上下底面与分 界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积 S非常小,Vv v移矢量D和面电荷密度S是均匀的。ni，n2分别为上下底面的外法线单位矢量, 在柱形闭合面上应用电场的高斯定律V V v Vv VQDgdS n,gD1 S n2gD2 S s Sv v v v n1gD1 n2gD2(3.48a)若规定n为从媒质n指向媒质I为正方向，则vn1vn2vn ，式 (3.48a) 可写v v v ng(D1 D2)(3.48b)D1nD2n(3.48c)式

3、(3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。v 因为 DvE ，所以式 (3.48)v可以用E的法向分量表示1nv1gEv1vv2n2gE2S(3.49a)1E1n2E2n S(3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即 S 0 ，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD2n(3.50a)1E1n2E2n(3.50b)若媒质I为理想介质，媒质n为理想导体时,导体内部电场为零，即E20D20，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为2、电场切向分量的边界条件v vn1 QD1n s1 E1ns在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路短边h为无限小

4、量，其两个长边为在此回路上应用法拉第电磁感应定律因为Eit(3.51a)(3.51b)abed，如图3.10所示，该回路l，且平行于分界面,并分别在分界面两侧。E2t IvB vS-gSir图3.10电场切向分量的边界条件EitE2t(3.52a)若v为从媒质n指向媒质I为正方向，式(3.52a)可写为n (E1VE2) 0(3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。 分量总是连续的。该式表明，在分界面上电场强度的切向D1tD2tV用D表示式(3.52a)得(3.53)若媒质n为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相Eit 0邻的媒质I中电场强度的切向分量必然为零。(3

5、.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体 内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。3、标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为 A和B,如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，<1轨I图3.11电位边界条件点的连线h0，且h与分界面法线且无限靠近，两Vn平行，从标量电位的物理意义出发，得VEgdlE1n由于E1n和E2n为有限值，而0所以由上式可知A B0，即v到电位与电场强度的关系：E，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得(3.55)式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是

6、连续的。考虑标量电位 在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。nS(3.58b)(3.56)式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时,在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为(3.58a)S C (常数)底面积s很小，n为从媒质n指向媒质I法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律v v2BgdsngV2 S 0v v vvgBiB2)(3.59a)B1nB2n(3.59b)式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界1H1 n 2H 2n(3.60)面处是连续的。v

7、 vv因为B H，所以式(3.59b)也可以用H的法向分量表示Bin0若媒质n为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故(3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。5、磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边h0，两长边1分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用v v/He 即安培环路定律图3.13 磁场切向分量的边界条件v v?HgdlHit l H2t l穿过闭合回路中的总电流为I JsJciDil Jh2D2Jc lC2 2Jh2式中JS为分界面上面电流密度，Jci，Jc2分别为两种媒质中的传导电流体密度,Di

8、D2t和t分别为两种媒质中的位移电流密度。因为0，除Js 1夕卜，回路用矢量关系，式(3.62a)可表示为中的其他电流成分均趋向零，即1 Js l，于是(3.62a)Hit H 2t Js式中Js方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。v v v v n (Hi H2) Js(3.62b)式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中n为从媒质n指向媒质I的法线单位矢量。v用B表示式(3.62a)得BitB2tJs2(3.63)若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度0，则磁场切向分量边界条件为HitH2t(3.64a)BitB2t(3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得tan 1ta

9、n 2若媒质n为高磁导率材料(21)，当2小于90时,1将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当2时,10，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。H1t H2t 0(3.65)若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上vJs 0，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为Ht Js(3.66a)(3.70)v v v n H Js(3.66b)其电流只是以体电流分布的若媒质的电导率 有限，即媒质中有电流通过，v形式存在，在分界面上没有面电流分布，即 js 0，则分界面上磁场切向分量是连续的，即MtH2t6、矢量磁位的边界条件v根据矢量磁位A所满足的旋度和散度表

10、示式，及磁场的基本方程，可推导出vA的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的,v所以A矢量在分界面处也应是连续的，即(3.67)由式(3.63)可得-(1vAi)t1 v(A2)tJ S2(3.68)7、标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为v v?H gdl 0(3.69)根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数m，令 1m(3.71)v电场中E该标量函数m称为标量磁位，其单位是安培(A)。式(3.71)中的负号是为了与静相对应而引入的。引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下 使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。类似于电位差的计算，a点和b

11、点的磁位差为mab ma mbb v vaW(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得(3.73a)m11nm22n(3.73b)式(3.73)为标量磁位的边界条件。8、电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14所示，其高度h 0 ,上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积S很小。n为从媒质口指向媒质I法线方向矢量。根据电流连续性方程v v?S Jcgds-dVV t(3.74)在图3.14所示的闭合曲面上,v vQJcBS Jjn S J2n S (3.75)AS勺 AA/叩产I/?/图3.14电流密度的边界条件式(3.79)和式(3.80)为电流密

12、度满足的边界条件,对静态场和时变场均适用。7 V VdV(3.76)式中Q为闭合曲面包围的总电荷h 0时，有(3.77)将式(3.77)代入式(3.76)得(3.78)将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得J 1nJ 2n(3.79a)v vngJ1vJ2)(3.79b)根据导电媒质中的物态方程vJCvE ,又已知在分界面处电场切向分量连续，即E1t E2t，所以电流密度的切向分量满足J1tJ2t(3.80a)v vJl n (3.80b)1标量形式矢量形式J1nJ2nv v vngJi J2)JltAIA23.边界条件的作用一般电磁场的求解都需要解偏微分方程的, 重要作用。确

13、定边界条件就是对于求得偏微分方程的解起到4.结束语电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出, 这些边界条件是它实际上是积分形式的极限结果。vvvD1nD2nsn gD1D2 )SvvvE1tE2tn(E1E2)0vvvB1nB2nn g(B1B2)0vvvH1tH2t JsV n(H1H2)vJSnx (EtE2)=0 ;(2)n - (B-B2)=0 ;(3)nx (H1-H2)=J)s 。 (4)式中 n 为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H 的下标 1 或 2 分别表示,p在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ps为分界面上的自由电荷面密度Js为分界面上的传导电流面密度。式 (1)表示在分界面两侧电位移矢量D 的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。式 (2)表示在分界面两侧电场强度E 的切向分量是连续的。式 (3)表示在分界面两侧磁通密度 B 的法向分量是连续的。式 (4)表示在分界面两侧磁场强度 H 的切向分量的差等于 分界面上的表面传导电流面密度。 当分界面上无表面传导电流时， 两侧磁场强度的切向分量 相等，即其切