解直角三角形典型例题

1、典型例题【例 1】为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 (如图 )已知立杆 AB 的高度是 3 m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°.求路况显示牌 BC 的高度解：在 RtABD 中， AB 3 m， ADB 45°，所以 ADAB333(m)tanADBtan 45°1RtACD 中，AD 3 m，ADC 60°，所以 AC ADtan ADC 3×tan 60° 3× 33 3(m)所以路况显示牌 BC 的高度为

2、(3 3 3) m.【练习 1】 如图 2，小山上有一电视塔 CD，由地面上一点 A ，测得塔顶 C 的仰角为 30°，由 A 向小山前进 100 米到 B 点，又测得塔顶 C 的仰角为 60°，已知CD=20 米，求小山高度DE.【例 2】如图 3，有长为 100m 的大坝斜坡 AB ，坡角 =45°，现要改造成坡角 =30°，求伸长的坡度 DB 的长 .【练习 2】水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固原大坝的横断面是梯形 ABCD ，如图所示 ，已知迎水面 AB 的长为 10 m， B60°，背水面 DC 的长度为 10 3 m

3、，加固后大坝的横断面为梯形 ABED. 若 CE 的长为 5 m.(1)已知需加固的大坝长为100 m，求需要填方多少立方米；(2)求新大坝背水面DE 的坡度 (计算结果保留根号 )解： (1)分别过 A ，D 作 AF BC，DGBC，垂足分别为 F，G，如图所示AF在 RtABF 中， AB 10， B60°， sin B AB ，3AF10×2 53，DG53，S 1×× 1× × 253.DCE2CE DG25 532需要填方：253100×31 2503(m )2(2)在直角三角形DGC 中， DC 10 3，GC

4、DC2DG2(10 3)2(53)215，DG533GEGCCE20，坡度 i GE 20 4 .答： (1)需要添方约 1 250 3 m3.3(2)背水坡坡度为4 .点拨：对于梯形问题，经常需添加辅助线梯形中辅助线的作法分为作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰等不同类型与直角三角形有关的梯形问题，通常作出高【例 3】（聊城市中考题）美丽的东昌湖滨于江北水城以灵性， 周边景点密布如图所示， A， B 为湖滨的两个景点， C 为湖心一个景点 景点 B 在景点 C 的正东，从景点 A 看，景点 B 在北偏东 75 方向，景点 C 在CB北偏东 30 方向一游客自景点 A 驾船以每分钟30北752

5、0 米的速度行驶了 10分钟到达景点 C ，之后又以A东同样的速度驶向景点 B ，该游客从景点 C 到景点图 1B 需用多长时间（精确到 1分钟）？解：根据题意，得 AC20 10 200 过点 A 作 AD 垂直于直线 BC ，垂足为 D （如图 2）在 Rt ADC 中，CBADAC·cosCAD200·cos30° 100 3 ，30北75DCAC·sinCAD200·sin 30° 100 A东在 Rt ADB 中，图 2DB AD·tanBAD1003 tan75°CB DBDC1003 tan75

6、76; 100 CB5 3 tan 75° 5 27 20即该游客自景点 C 驶向景点 B 约需 27 分钟【练习 3】如图，海平面上灯塔 O 方圆 100 千米范围内有暗礁， ?一艘轮船自西向东方向航行，在点 A 处测量得灯塔 O 在北偏东 60°方向，继续航行 100 米后，在点 B 处测量得灯塔 O 在北偏东 37°方向 请你作出判断， 为了避免触礁， 这艘轮船是否要改变航向？ （参考数据：sin37 ° 0.6018，cos37° 0.7986，tan37 ° 0.7536，cot37 ° 1.，327 3 1.73

7、2）例 4如图 28-2-12，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45°时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离 (B，F，C 在一条直线上 )(1)求教学楼AB 的高度；(2)学校要在A， E 之间挂一些彩旗，请你求出A， E 之间的距离(结果保留整数；参考数据：3152sin22 °，cos22°，tan22 °)8165图 28-2-12【练习 4】 （四川省）如图，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓

8、 AD 内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底 A 处测得大厦顶部 B 的仰角为 60°，爬上楼顶 D 处测得大厦顶部 B 的仰角为 30°已知小丽所住的电梯公寓高 82 米，请你帮助小丽计算出大厦高度 BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离 AC 解：过点 D 作 DE BC 于 E，则四边形 ACED 是矩形AC=DE ， DA=EC=82 米， BDE=30°在 Rt BDE 中， tanBDE= BE ，DE3BE=DE· tan BDE=DE3在 Rt BAC 中， tanBAC= BC ，AC3 DEEC即

9、tan60 °=3AC 3AC=3 AC 82，解得， AC = 413 （米）3BC = BEEC =3DEEC =3 ×41 3 82= 123（米）33答：大夏 BC 高为 123 米，小丽所住的电梯公寓与大厦间的距离AC为41 3米例 5 （自贡市中考题）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽 小凡同学在点A 处观测到对岸 C 点，测得 CAD45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得 CBA 30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到 0.01m）分析：此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一 例 3 般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题解：过 C 作 CE AB 于 E，则 CE 为河宽设 CEx（米），于是 BEx60（米）在 Rt BCE 中， tan30 ° CE ， 3 xx60 x30( 3 1) 81.96（米）EB所以河宽约为 81.96 米练习 5如图 28-2-13，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB 是 A 到 l 的小路现新修一条路 AC 到公路 l.小明测量出 ACD30°，ABD 45