平面向量精选试题

1、学习好资料欢迎下载平面向量精选试题1、在矩形ABCD中，0是对角线的交点，若则OC =（A、£（5e+3e2）氐£（5巳1_九2）°、£（九2_5門）分析：在矩形 ABCD中，瓦冠,BC , OCC ,由向量加法公式可得答案.2解：矩形ABCD中，0是对角线的交点， 65 =2菖丄（运+E5）=丄（反+ 反）4 （ 3；*+5 丁）,故选A. 2222巴2引2、对于菱形 ABCD给出下列各式：両二反；I忑1= I反I；I爲-忑I二|75+衣I；尽12+1瓦|2=4|丽2其中正确的个数为（) A、1 个B、2个C、3个D、4个分析：由菱形图象可知这两个向量

2、不相等错误,両与瓦两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的 模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定 义知正确解答：解：由菱形图象可知错误，这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，正确，有菱形的定义知正确故选C.点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与 几何问题的相互转化.3、在ABCD中，设AB=ja，柚= BD = d,则下列等式中不正确的是（分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根

3、据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两 条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线 所在的向量之差，注意方向.解答：解：根据向量加法的平行四边形法则知，AB + AD=AC , ad - ABBD ,即 一 日二d ,得到 a 一 b二d,故选 B点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基 础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题.4、已知向量a与b反向，下列等式中成立的是（bIB I u+b|=| 日一 bIC、I 引+| b|=| a - b|D、 I

4、引+| b|=| a+b|分析：由于向量方向相反,出正确的答案解答：解:那么向量和的模的等于向量模的差的绝对值，向量差的模等于向量模的和，可以找由已知：向量 力与 b反向，G+b| 二 I I al - I b I I, |a-b|=|a|+|b|故选C.点评：本题主要是考查平行向量和共线向量的及相应模的运算.5、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1 , 0）, （ 3, 0）, （1,- 5）,贝y第四个点的坐标为（A、（ 1 , 5）或（5,- 5）B （1 , 5）或（-3, - 5）C （ 5,- 5 ）或（-3, - 5）D、（ 1 , 5 ）或（-3, - 5 ）或（5, -

5、5）分析：利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式 求出.解答：解：设第四个顶点为（x , y）当第四个顶点与（-1 , 0）对顶点则X- 1=4; y=- 5解得x=5 , y=- 5当第四个顶点与（3, 0）为对顶点则当第四个顶点与（1,- 5）为对顶点则点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、学习好资料欢迎下载x+3=0, y=- 5 解得 x= - 3, y=- 5x+1=2; y- 5=0 解得 x=1, y=5 故选 D考查中点坐标公式.更，-主）B、（-戛,131313C （迢旦）或（-马-JL）13131313A、B、513

6、D、挣挣或错寻分析：设出与向量= （12, 5）平行的单位向量，求出a的模，利用芯共线关系，求出b.解答：解：设与向量 a= （12,5 ）平行的单位向量了= a, y）,6、与向量a= （12, 5）平行的单位向量为（解答：解： I a - b- 20a/3得| 二 4, lb I 二5二 /二 16,b =25 二；亍二故选 A|a|=13所以 a=±13bb=故选C.挣挣，或茴谱违点评：本题考查向量共线，考查学生计算能力，是基础题.7、若la- 1?|=寸41-戈0品,21=4 , | b|=5，则a与b的数量积为（B、A、10 近B、- 10 近C、10 讥D、10分析：利用

7、向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；将已知条件中的三个等式平方求出两个向量的数量积.2-2L-a - 2a''b + b =41 - 20点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用此性质常解决与向量模有关的问题.8、若将向量a- （2, 1）围绕原点按逆时针旋转A、jrT T亠得到向量b,则b的坐标为（ 432分析：由已知条件知b与a模相等,B煜、JV夹角为上；利用向量的模的坐标公式及向量的数量积公式列出方程组,4C、解答：解：设&（X, y）,据题意知X2+y2=5故选B.解组成的方程组得A 2点评：本题考查向量的模的坐标公式、考查利用向量的数

8、量积公式求向量的夹角.9，设k R,下列向量中，与向量a=(1,-1)定不平行的向量是()2 2 2 2A. b=(k,k) B. c=(-k,-k)C. d=(k2+2,k2+1)D. e=(k2-1,k2-1)疋+ 21C 解析：A、B、D都有可能为0,而0/ a而C中d=（k2+2,k2+1）,，+1 hl，故d不平行 10；已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是A.e1+e2 和 e1-e2B.3e1-2e2 和 4e2-6e1C.e1+2e2 和 e2+2 e1D.e2 和 e1+e2学习好资料欢迎下载解析： 4e1-6e1=-2（3e1

9、-2e2）,二 3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线，不能为基底.答案:B11、设k R,下列向量中，与向量 U=（ 1, - 1） 一定不平行的向量是（A、b- (k, k)B、C二（一 k, - k）D ；二(k，- 1, k? - 1)分析：根据条件中所给的向量的坐标，代入两个向量平行的充要条件进行验证，整理出充要条件是- 定不等于零，一次得到这两个向量一定不平行.2k2 - 2,解答：解：T'j= -（ k2+1）-（ k2+1） = - 2k2-2<- 2二这两个向量一定不平行,故选c.点评：本题考查两个向量平行的充要条件，这个充要条件有两种表示形式，坐标形式是最直

10、接的一种形式，解 题时只要进行数字的运算，是一个基础题.12、已知向量I ja|=10 , I b|=12，且a*b= - 60,则向量a与b的夹角为（A、60:B 120 :C 135 :D、150 :分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角.解答：解：设向量的夹角为0则有:a I I b I cos 0 = a * b,所以 10x 12cos0-6O,解得 COS0 = - -. TBe 0, 180° 所以 0 =120：2点评：本题考查利用向量的数量积公式解决两个向量的夹角问题.注意两个向量夹角的范围是故选B0, n13、已知 |

11、 a|=| b|=1 , 牟 ，则平面向量；与1夹角的大小为（B兀A、7£分析：利用两个向量的数量积的定义求出2KVcos< a ? b >=g，从而求得< a J b的值.£D、解答：解：由两个向量的数量积的定义可得曰? b=号十仆吨；，E >,-1兀 COS<； , V=t, 由于 <1* 1；>的范围为0 , n, < 二 b > =, 故选：C.点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题.14、已知向量|引=| b|=d, | a+b|=，则向量3、b夹角为（）A、7£7

12、D、值.分析：设向量a、7匕夹角为0,根据条件可得=2+222cos 0 +2=6解得cos 0 =，可得0的2a、b 夹角为 0, 向量 I 占|=| b|=M , I a+b|=d,2-J L a"+2ab+ b =2+22cos 0 +2=6 解得 cos 0=,a 0=, 故选 d.<J点评：本题考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，求得COS0 =，是解题的关键.学习好资料欢迎下载15、已知I a|=l,|g|R且；丄（；-b），则向量a与向量b的夹角是（A、30B 45C、90D、135分析：欲求向量a与向量b的夹角，根据题目所给条件 a-L d-b）有

13、：a- （a-b）二|：|2 -0以及a込二lallbl cos a* b求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角.解答：解：；，C； - b）二I a - a-b=0， 所以 1- 1£xcom；, £ =0,解得 COSV；,匸 =¥，即V了 =45°故选 B.点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算.16、在AABC中，D、E、F分别BC CA、AB的中点，点 M是AABC的重心，则 冠+丽一疋等于（）A、0B 4MD分析:解答:先用向量加法的平行四边形法则化简丽血再用三角形重心的性质：重心分中线为护值解：设 AB的中

14、点为F点M是ABC的重心 HA+MB 一 MC二2MF-故选C点评：考查向量在几何中的应用、向量加法法则及三角形重心的性质：重心分中线为寺属于基础题.17、(2010?重庆)已知向量 a, b 满足 a?b=0, |a|=1 , |b|=2 ,则 |2a - b|=()0 B 2V2A、C、4D、8分析:解答:故选解：二&0,丨芥，币=2 , |2：-亦（需-b） 2=j4y-4F+y7=2V点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题.B.18、已知向量已、b 满足 I a 1=6, I b 1=8，且 |a+b| 二冷 -b|，则丨吕+匕 I =()A、 10C、21D、30

15、利用题中条件，把所求 |2 a - bl平方再开方即可分析：先根据19、已知向量n, n满足ir=（ 2, 0 ）,；=（号，爭）.ABC* =2+2 口，忆二2n-6口，d为BC边的中点，贝丨怔| =C、6A、2B、4D、8|l+b |=|a-b I，两边平方得到a-b=O；再结合响亮的模长计算公式，把其放到根号内先平方,再开方即可得到结论.解答：解：因为 I a+b 1=1 a -b I，所以：|；+gG -匸 r?a 了二 0.二a十G J （；+门'2+2二了+亍=（护+0+8 2=10.故选：A.I a+b 1= I a - b |，两边平方得到 b=0.点评：本题主要考查向

16、量的模长计算解决问题的关键在于根据分析:表示出疋，代入向量 ；，然后求出I AD I，即可.n,故选解：因为A.D 为 BC 边的中点，所以 疋=丄（爲+7d =2： - 2（ 1,-）|15 l=J+ 5）2二22点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题.20、已知Ibl二6， a- （了 a） =2,则向量a与向量b的夹角是_耳_分析:飞=2可得小=3,82a.b ¥冷进一步利用向量夹角的范围求出夹角.解答:解：设；与7的夹角为0则TaUl, a-b=30 0 , n故答案为：专点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决.但要注意向量夹角

17、的范围.21、已知向量 m与n满足|m|=1 ,|n|=2，且m丄（m+n）,则向量 m与n的夹角为120分析：设韦# ;的夹角为0,由页丄（rn +n）,可得K? （m+n） =0,解出cos 0的值，根据 0的范围，求出 0的值.解答：解：设用，门的夹角为0, IT丄（rn +n）, IT? （rn+n）=二2 + 町口=1+似 2cos 0 =0- cos 0=. 又 0W Oc n,2 0 =120；故答案为：120°点评：本题考查两个向量的数量积的定义,数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出C0S ：，是解题的关键.22、已知向量 已、b的夹角为60° |al

18、=2, lb 13,则 |2：-匸 1=皿.分析：由已知中向量a、和勺夹角为60° I；匕Z |bU3,我们易计算出；2，b2及；的值，进而计算出|21 - b |2,开方后即可得到|2a- b |.mb 的夹角为 60°|；| 二£ itXa =4, b =9, a?b=3 |2：- 丫|2=4£2+衣-4已?13 |2；- b故答案为：Via点评：本题考查的知识点是向量的模，其中根据已知计算出|2a - b I2的值，是解答本题的关键.23、已知I引=10 , I b|=12，且（33） ?（匚切=-36,则a、b的夹角为 120 ba* b分析：由

19、已知中（3；） ?（丄匸）=-36,我们易得到；？匸的值，再结合|；|=10,币|=12，代入cos0= _5HHIbl即可得到向量击b的夹角解答：解：( 3；) ? Ub)=；?&-36,；?b=-6055又 I 已 1=10 , I b|=12-60.0 -=-丄又 0°<0< 180° 0 =120° 故答案为：120°lal-lbl 10X122点评：求出两个向量的夹角0时, 心6二是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握.I a H |b I24、已知向量盘二, b二（eg 9 , 1） , L （2, m）满足 a丄 b

20、且（；+丫）/ c,则实数m= 土皿2分析：由a丄b,可得a* b=cos0 sin 0+0,求得sin2 0的值；据(；+了) m (sin 0 +cos)0求出m2的值，即可得到 m的值.解答：解： a丄 t?,；b=cos 0 sin 0+0,. sin2 0- A.42("a+b) = (sin 0 +cos,0), 2 弓=m (sin 0 +cos 0,晋=m2 (1+s in2 0, m2弓,m=±罟，故答案为： 寻 .点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直、平行的性质，求出/：得到2艺=4c,sin2 0-2,是解题的关键.225、已知平面上

21、的向量 巨、 丽满足I包/+屁r=4, I忑1=2,设向量PC=2PA+p5,则|疋|的最小值是2分析：利用勾股定理判断出PA与PB垂直，得到它们的数量积为 0;求PC的平方，求出范围.解答：解：I耳r+1瓦r二4,1忑1=2 I丽务西r二屁|2云祝=0 I瓦|>2故答案为2 .瓦2二4页+4亘丽+丽2 =3耳'+ 4>4点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量模的性质：模的平方等于向量的平方.26 （2011?安徽）已知向量 3, b满足（a+2b） ?（ a- b） =- 6, |引=1 , | b|=2，则a与b的夹角为60分析：由已知向量£3, b

22、满足（日+2匕）?（a-b)=-6, I a|=1 , | b|=2，我们易求出 a?b的值，代入 cos 0 _I a H I b I即可求出a与b的夹角.解答：解：( a+2b) ? ( a - b)=X - 2b2+a?b=1 8+a?b=- 6已？4=1a* b 1又/ 0°<0< 90° 0 =60°IT故答案为60或者忑学习好资料欢迎下载2点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式a* bcos B-C 要熟练掌握.丨汁Ibl(I)求已？b；TT fTT27、已知| |=1 , | b|=2 , a与b的夹角为 W(

23、n)向量a+d与向量入日-b的夹角为钝角，求实数入的取值范围.分析：求出两个向量的数量积;解答：解：(I) 才b= I a|由向量的数量积公式将两个向量所成的角为钝角转化为数量积小于X |b| cos-y=2x1=1.0且不为反向.（n） （ 7+ 入 b） ?（入已-b）=入3+ (入-1) ?a* b -入b= + 1 - 4入=3入-1 .因为屮入£与向量 屁-b的夹角为钝角的夹角为钝角，所以(；十讥）-（入: ITTV 0,令 d - 3 入-1 V 0,得 _< 入<2 228、已知|p=2近,|q|=3，向量TTP与q的夹角为一，求以向量a=5p+2q, b=

24、p - 3q为邻边的平行四边形两条对角线4之长.分析：以O b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线分别为a,吕+b, a-b，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论.解答：解：以a、b为邻边平行四边行的两对角线之长可分别记为|a+b| , |a - b| a+b= (5p+2q) + (p - 3q) =6p - q . a- b= (5p+2q)-( p- 3q) =4p+5q.- |a+b|=|6P - qFjlSp-ql =36X （2V2）12X2V2X3cos+3=15.- |a - b|=|4p+5q|= 71Gp+40pq+ 25q 彳16XE+4QX2血X 3c

25、g牛戈5X 9=届29、非零向量小 b满足|引=| b|=|且+b|，则£3, b的夹角为 120分析：要求b的夹角，只需将| ； |=| b |=| ；+口平方得：I； |2二币I 2二待+* I 2 ,即二b二-1* 二-气，COSV a,b> = ； 匕=-2,在根据解三角方程知识即可.M Ibl 2a* b解答：解： | a|=| b|=| a+b|将 |=|=+b| 平方得：|；|勺讦二 |；+讦,即"呼-弓 COSVE, b>_lai Iblf T 1- cosv 6 b> = 一丄V a, b> 0, n a, b 的夹角为 120&#

26、176;故答案为 120°.30、在四边形 ABCD中，若怔二a，怔二b,且| a + b|=| a b|，则四边形 ABCD的形状是 矩形分析：利用平面向量加法的平行四边形法则，根据四边形ABCD中，若瓦二；，瓦 E，我们易根据学习好资料欢迎下载| a+b|=| a - H，结合矩形判定定理，判断出四边形ABCD的形状.解答：解：在四边形 ABCD中，若瓦二;，瓦二 向量a+b和;-Y分别表示平行四边形 ABCD的两条对角线,则表示两条对角线长度相等，根据矩形的判定定理，我们可得四边形ABCD是矩形故答案为：矩形31，已知向量a=（3,4）, b=（2, -1），如果向量a+ Xt

27、与向量-b互相垂直，则实数X的值为（）A. 5B.23C.2解析:32、已知向量= （1，3），b =（2，1）,若a+2b与3 3+启平行，则 入的值等于（A、一 6B、6D、 2分析：根据a= (1, 3), b= (2, 1)求出3+2b与3a+心然后根据平面向量共线的坐标表示代入计算即可得解.解答：解:-手(1 , 3), b= (2, a+2b= ( 5, 5), 3屮比=(3+2X, 9+入)又；才2 b / 3 a+入b 5 ( 9+X) - 5 (3+2 X) =0- X =6 故选Ba+入 b=(3,4)+ 入-(2=(3+2 入母-b=(-2,1),若(a+ 入 b)_ (-b)，则-2(3+2 入)+4入=0 入=5 故选