导数系列一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法学生版

1、一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法注：本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此 类压轴题！源于课本：1-1课本99页B组1题或课本2-2第32页B组1题的习题：利用函数的单调性,证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：ex 1 x ；【探究拓展】探究1:证明不等式ex变式1:设f (x) y xa，其中aR,若对于任意xR，f(x) 0恒成立，则参数a的取值范围是变式2：设f (x) e八ax1，其中aR，若对于任意x R，f(x) 0恒成立，则参数a的取值范围是变式 3：设 f (x)

2、aex x1，其中aR，若对于任意x R， f (x)0恒成立，则参数a的取值范围是x *有哪些等价变形并在坐标系中画图?点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦变形1：e X1 x变形2：x e1x1x 1变形3：ln(1x) x(x1)变形4：In xx 1(x0)*变形5：In1x 1(x0)x变形6：ln x11(x0)探究x2:不等式ex 1归一：我们只要通过画图并记住 ex 1 x*, 1 nx x 1( x 0) *即可，考试出现了其它变形换元转化为这2个不等式即可。探究3:观察：“插中”不等式（当然是我编的名字）变形4：In xx 1(x0) *变形6：In x1-1(x0

3、)*X两式相加除以12，试比较：左边In X还是右边 （X2丄）的大小并证明:x1结论：“插中”不等式*:若0 X 1,则Inx 121-.;若 x 1,则 Inxx请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。点评：数学很美，插中值不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到,往后看总结：ex 1 X*, In X X 1(x0) *“插中”不等式*，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。题型一：化归为指数型ex 1 X放缩例1、（20XX年全国）设函数f X ex2ax 0 (1)若 a0,求f X的单调区间；（2）若x 0时f X 0，

4、求a的取值范围。（提示:练习1： （20XX年全国）已知函数f x2，（1）求f X的解析式及单调区间；（2）若f x1x2 aX b，求a 1 b的最大值。练习2： (20XX年全国)已知函数f X ex ln x m .当m 2时，证明f x 0.提示：用ex 1 x, l nx x 1(x 0)两次放缩一眼看出。In x 12。1)若曲线y练习3： (20XX年广一模)已知函数f X ex m x3,g x点0,f 0处的切线斜率为1求实数m的值。2)当m1时，证明：f X g xX3。(20XX年广二模也有用至U)提示：用 ex 1 x , ln X x1(x 0)两次放缩一眼看出。练

5、习4:已知函数f(x) exax 1(a0,e为自然对数的底数).求函数f(x)的最小值;若f (x) 0对任意的xR恒成立,求实数a的值;在的条件下，证明:(分nn 1 n n n()nL)nn ne(其中n N*).e 1练习5:已知函数f (x)=ax ex，其中aM 0.(1 )若对一切x R, f (x) 1恒成立，求a的取值集合.(2)在函数f (x)的图像上取定两点A(xi,f(xi) , B(X2, f(X2) (xi x2)，记直线AB勺斜率为K, 问：是否存在xo(xi, X2),使f (X0) k成立？若存在，求X0的取值范围；若不存在，请说 明理由.lnx k，曲线y

6、f X在点练习6：（20XX年山东）已知函数f X xe轴平行。1）求k的值；2）求f X的单调区间；3）设g X X21,f 1处的切线与xx ,其中f x为f X的导函数，证明：对任意x 0,g（x）值域即可）1 e 2。（提示：对分母进行1 x放缩，分子直接求题型二：化归为对数型Inx x 1（x0）放缩。例2、（20XX年湖北）1）已知函数fIn xx 1,x 0,.求函数的最大值；2）设ak,bk k 1,2,., n 均为正数,证明：若a1bia2b2. anbn bl b2 . bn，则耳论；2.孟 1 (提示：In X x 1)练习1：（20XX年全国）函数In x1，若对所有

7、的x 1都有f x ax成立，求实数a的取值范围。练习2：已知函数f（x）(x1)ln X x 1 .(1)若 xf (x) X2 ax1，求a的取值范围;(2)证明：(X 1)f(x)练习3：(20XX年陕西)设函数f X In 1 x ,g x xf x ,x0,其中f x是f x的导函数。若f X ag x恒成立，求实数a的取值范围。x(a 0).练习4: (2011浙江理22,替换构造)已知函数f(x) 2a In(1 x)求f(x)的单调区间和极值;6求证：4,ge罟罟X lge苛 n 1)(n N*). n练习5：已知函数f(x) ln(x1) k(x 1)1.(1)求函数f (x)的极值点。(2)若f(x) 0恒成立，试确定实数k的取值范围。(3)证明：山3815Inn (n 4)(n1) (nn2 1N,n 1).练习6:已知函数f(x) In(X 1)k(x 1) 1.求函数f(x)的单调区间;若f(x) In x在1,)上恒成立,求a的取值范围;ln( n1)练习1:已知 f(x) ax -x(1)求a，b满足的关系式;(2)若f(x) 2ln X在1,+(3)证明: 111 L2)上恒成立，求a的取值范围;