利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧用心爱心专心 115号编辑9趣题引入已知函数g(x)=xlnx设Ocacb，证明:分析:O g(a) + g(b)(b -aHn 22主要考查利用导数证明不等式的能力。证明:a + Xg(x)=lnx+1，设 F(x)=g(a)+g(x)2g(丁)F(X)=g(x) 2g()xl = g(x) g() =ln x ln2 2 2 2当 OxO，即F(x)在x(O,a)上为减函数，在X忘(a,母)上为增函数- F(x)min =F(a)=O，又 ba /. F(b)F(a)=O,a + b即 gGrbS”。a + x设 G(xg(ag(xH2g(-a)ln2

2、a + x/. G (x) = ln X - In-In 2 = ln x - ln(a + x)2xO时，g(x)vO，因此G(x)在区间(O,址)上为减函数;因为 G(a)=O，又 bna /. G(b)vG(a) = O，a + x即 g(a) +g(x) -2g() (x - a)1 n2 cO2a + x故 g (a) + g(x) -2g () c (x - a) ln 2a + b综上可知，当 Ocacb 时，Ocg(a) + g(b)-2(_b)c(b-a)l n22本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中

3、选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不 等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单 调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。1利用题目所给函数证明【例1】 已知函数f(x)=l n(x+1)-x，求证：当X1时,1恒有 1 -ln(X +1) x x+1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1g(x)=ln(x+1)+-1,从其导数入手即可证明。

4、x+1【绿色通道】f，(x)=-1=-亠x+1x+1当-1 ex cO时，f (X)aO ,即卩f(X)在川(1,0)上为增函数当XA0时，f(x)-1时，f(x)f(0)=0，即 In (x+1)-x0 I n(x+1)x (右面得证)，现证左X_ 2 2 x+1 (x+1) (x + 1)1 1X +1面，令 g(x) =1n(x+1)+-1，则g(x) =当 x-(1,0)时,g(x) 0;当 X 己(0,p)时,g(x)A0，即g(x)在x(_i,0)上为减函数，在x(0,xc)上为增函数,1x + 11 1 In(x+1)知-，综上可知，当 X1 时,有一-1ln(x+1)-1 时，

5、g(x)g(0)= 0，即 In (x+1)+ 一10x+1x+1【警示启迪】如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有f(X)f(a)，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、直接作差构造函数证明1 2【例21已知函数f(x)= X +ln X.求证：在区间(1, 上,函数f(x)的图象在函数22 3g(x) =X的图象的下方；不等式f(X) g(x)问题， 恒有2+lnx1时，F(x)F(1)，这只要证明：g(x)在区间(1,址)是增函数即可。【绿色通道】设 F(x) = g(x)-f(X)，即 F(x) =2x3 -x2 -lnx3 2贝 UF(x)=2x2-

6、x-1x2(xg +X + 1)当 x1 时0f(x)F(X)=(x j)(2x +X+1)从而 F(x)在(1,T 上为增函数， F(x)F(1)=丄x6当 x时 g(x) - f(x) aO ,即 f(x)vg(x),故在区间(1，+=c)上，函数2 3的图象在函数g(x) = x3的图象的下方。3【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移 项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数 单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设F(x) = f(x)-g(x )做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元后作差构造函数证明【例31证明：对任意的

7、正整数n,不等式In(丄+1)丄-丄 都成立.n n n1分析：本题是山东卷的第(II)问，从所证结构出发，只需令-=x，则问题n转化为：当x0时，恒有in (x+1)x2-x3成立，现构造函数 h(x)=x3-x2+ln(x+1)，求导即可达到证明。【绿色通道 1 令 h(x)=x3-x2+l n(x+1)，则 h(x)=3x2-2x +1= 3 +(xT)2X +1X +1在x(0,+)上恒正，所以函数h(x)在(0)上单调递增， X巳0,+) 时，恒有 h(x) h(0) = 0，即 X3 -x2 +1 n(x +1) 0， ln(x +1) x2 - x31 1 11对任意正整数n，取

8、X =-亡(0,代)，则有In(- +1) -3nnn n【警示启迪】我们知道，当F(x)在a,b上单调递增，则xAa时，有F(x)：F(a).如果 f(a) = (a)，要证明当 xa 时，f(x)A(x)，那么，只要 令F(x) = f(x) (x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F(x) 0即可.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式 xf(x) f (x)恒成立，且常数a，b满足ab，求证：.a f (a)b f (b)【绿色通道】由已知xfx) + f(x)0 构造函数 F(x)=xf(x)，则

9、F(x)=x f (x) + f (x) 0 ,从而F(X)在R上为增函数。寫 ab F(a)F(b)即 a f(a)b f (b)【警示启迪】由条件移项后xf (X)+ f(X)，容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数F(x) =xf(x),求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf (X)f(x),则移项后xf (x) - f(X)，要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。【思维挑战】1、设 a0, f(x)=x-1-l n2x + 2al nx求证：当 X 1 时，恒有 X Aln2x-2aln x+1 ,2、 已知定义在正实数集上的函数f(x)=1x2 +2ax, g(x) =

10、 3a21 nx+b,其中a0,25 22b= a -3a Ina，求证：f(x)g(x)2X3、已知函数f(x)=ln(1+x)-，求证：对任意的正数a、b ,1 +x4、(2007年，陕西卷)f (x)是定义在(0，+ 8)上的非负可导函数，且满足xf(X) f(x) W 0，对任意b , 若 a b ,贝U必(A) af (b)wbf (a)(B)bf (a) w af (b)(C) af (a)W f (b)【答案咨询】(D)bf (b)0时，不难证明2皿1时，2f(x) A f (1) =0 ,当 XA1 时，恒有 xAln X 2al nx + 11、提示：f(X)=1 -+更XX

11、1 3a22、提示：设 F(X)=g(x)一 f(X)= X2 +2ax _3a21n x _b 则 F (x) = x + 2a -2 Xx故F (x)在(0,a)上为减函数，在(a,+=c)上为增函数，于是函数F(x) 在(0,P)上的最小值是F(a) = f(a)-g(a) = 0，故当x 0时，有f(X)g(x) 0，即 f(x) g(x)=(x-a)(x 十到 (x0)寫 a0，.当 x = a 时，F(x)=0,X2 21 +x (1 + x)2(1 + x)23、提示：函数f(x)的定义域为(-1,亦)，(x)= 1当-1x0 时，f-(x) f (0) = 0,从而 In(1 + x)X