圆锥曲线题型及方法.

1、黄冈立传教育导学案高二数学 导学案学生：课题圆锥曲线复习时间2012 年 11 月日名称第课时课型复习课 课时6主备人张思藤审核人教学目标： 掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧。将圆锥曲线知识系统化，形成问题规律化。教学重点： 椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质及应用等知识，主要考查概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题主要解题策略 ：运用第一定义，第二定义进行突破；构造含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；与直线有关的问题经常通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理进行变形求解；充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解

2、题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识体现主要数学思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论，应用定义时是否符合要求等（一）考查概念例 1（ 2009，全国）已知椭圆 C : x2y21的右焦点为 F ，右准线为 l ，点 Al ，线段 AF2交C于点 B，若 FA3FB ，则 | AF |=()A.2 B.2C.3D. 3w解析： 过点B作BM l于 ，并设右准线l与x轴的交点为，易知=1 MNFN由题意 FA3FB，故|BM |23又由椭圆的第二定义，得|BF|222233|AF |2故选 A.归纳小结 ：本题充分挖

3、掘图形的几何性质，应用椭圆的第二定义解决问题例 2椭圆 x 2y21的焦点为 F1 ， F2，点 P 为其上的动点， 当F1PF2 为钝角时， 点 P 横94坐标的取值范围是分析： 欲求点 P 横坐标 x0的取值范围，需要建立关于x0的不等式，从不同的知识点切入就得到不同的解法解法 1：（两个定义相结合）由条件可知，a 3， b2 ，所以c5 ， ec5a3根据椭圆的定义，|PF1 |PF2|2a6 ，于是两边平方得PF2PF222 PF1PF236 ，1222又在F1 PF2 中，由余弦定理得，cosPF1PF2F1F20，2 PF1PF2PF12PF22220 ，所以F2 F2将代入上式得

4、，PF1 PF28 ，设 P 的横坐标为 x0 ，由焦半径公式得(aex0 ) (aex0 )8 ，所以95 x028 ，故35x035955解法 2：（与向量知识结合）因为F1 PF2 为钝角，所以 PF1 PF20 设 P(x0 , y0 ) ，由分析1 可知， PF(5x ,y ) ， PF2(5x ,y) ，10000所以 (5 x0 , y0 ).( 5 x0 , y0 )2y025 0，x0又 P(x0 , y0 ) 在椭圆上，所以x02y021，94、两式联立，消去y0 ，即得35x03555归纳小结 ：本题考查椭圆的定义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决

5、问题的能力例 3（ 2009 全国卷理） 已知直线y k x2 k 0 与抛物线 C : y28x 相交于 A、 B 两点， F 为C的焦点，若 |FA | 2|FB| ，则 k（）12222A B CD3333解析： 分析图形，利用三角形相似，再利用抛物线的定义将问题转化，求出直线上一点的坐标，求得k 的值设抛物线C : y28x 的准线为l : x2. 直线yk x2k0恒过定点P2,0如图过 A、B分别作 AMl于 M， BNl于N.由|FA | 2|FB |，则 |AM | 2|BN |，点 B 为 AP的中点连结 OB ，则 |OB|1|AF |，2| OB | | BF | . 点

6、 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为 (1,2 2) k2202 2，故选 D1(2)3归纳小结 ：充分研究图形，结合抛物线的定义解决问题是解析几何重要方法（二）基本量求解例 4（ 2009，上海）已知F1、 F2x 2y 21（ a b 0）的两个焦点，P 为椭是椭圆 C:2b 2a圆 C 上一点，且 PF1 PF2若 PF1 F2 的面积为9，则 b =_PF1PF22a解析： 依题意，有PF1PF218，22PF1PF24c2可得 42 36 4 2，即a2c2 9，故有b3ca归纳小结 ：本题主要考查椭圆的定义、长轴、短轴、焦距之间的关系属于基础知识、基本运算的考查例 5椭圆 x2

7、y21(ab0) 的半焦距为 c ，若直线 y2x 与椭圆一个交点 P 的横坐标a2b2恰好为 c ，则椭圆的离心率为（）A 22. B.221C.2 1D.3122分析： 求离心率关键是根据已知条件得到a 、 b 、 c 的等量关系若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的解法 1：由题知点 P(c,2 c) ，因为点 P 在椭圆 x2y 21上，a2b2所以 c24c21，a2b2化简得 b2c24a2c2a2b2 ，又因为 b2a2c2 ，所以 (a2c2 )c24a2 c2a2 ( a2 c2 ) ，化简得 c46a2c2a40 ，同除以 a4 得 e46e2

8、10 ，解得 e2322 (21)2，因为 0e1 ，所以e2 1，故选 C解法 2：由题知点 P 在椭圆上且横坐标为c ，纵坐标为正数，所以点P 的坐标为 (c, b2) ，又a因为点 P 在直线 y2 x 上，所以 b22c ，a即 b22ac ，又因为b2a2c2，所以 c22aca20 ，同除以 a2 得 e22e10 ，解得 e12 ，因为 0e1 ，所以e21，故选 C解法 3：由题意可知点P 坐标为 (c,2 c) ，即 | PF2 | 2c 所以PF1 F2 为等腰直角三角形，所以|PF1|22c由椭圆定义|PF1|PF2|2a ，即 2 2c2c2a，c121，故选 C所以

9、e2a1归纳小结 ：本题三种解法各有特点，解法 2、解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识例 2(2009 山东理 ) 设双曲线 x2y21的一条渐近线与抛物线 yx21只有一个公共点，a 2b2则双曲线的离心率为（）5B 55D 5A C42解析： 双曲线 x2y21 的一条渐近线为b x ，由方程组ybx ，消去22yay，得abayx21x2 b x 10 有唯一解，所以 = ( b )240 ，aa所以 b2 ， eca2b21( b )25 ，故选 Daaaa（三）最值问题例 6已知抛物线y24x ，过点P(4

10、,0) 的直线与抛物线相交于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，则 y12y22 的最小值是解析： 由于过点P(4, 0) 且与抛物线y24x 相交的直线不能是x 轴，故可设这条直线为x my4(mR) ，与抛物线方程联立，消去x ，得 y24my 160 ，所以，y1y24m，y1 y216进而 y12y22( y1 y2 ) 22 y1 y216m 23232，当且仅当 m 0 ，即直线与 x 轴垂直时， y12y2232 归纳小结 ：本题并没有落入“设直线的斜率为k 、将 y12y22 转化为 k 的函数，这个函数的最小值”的俗套而是类比直线方程的斜截式，将这条直

11、线设为xmy 4(m R) ，如此处理，既不丢解又简捷明快例 8（ 2006 江西） P 是双曲线 x2y21的右支上一点， M ，N 分别是圆 ( x5)2y 24916和 (x 5)2y21上的点，则 | PM | PN |的最大值为（）A.6B.7C.8D .9解析：双曲线的两个焦点F1(5,0)与 F2 (5,0)恰好是两圆的圆心， 欲使 | PM | PN |的值最大，当且仅当 | PM |最大且 | PN |最小，由平面几何性质知， 点 M 在线段 PF1 的延长线上， 点 N是线段 PF2与圆的交点时所求的值最大 .此时 | PM | PN | ( PF12)( PF21)PF1

12、PF239因此选 D（四）突出几何性质的考查例 6如图，已知圆 O 方程为 x2y 2100，点 A 的坐标为（6，0）， M 为圆 O 上任意一点，线段AM 的垂直平分线交 OM 于点 P ，则点 P 的轨迹方程为（）x2y2B(x3)2y21A125162516x2y2D(x3)2y21C125162516解析： 由于 PAPOPMPO 106 ，所以，点 P 的轨迹是以 A、 O 为焦点、以10 为长轴长的椭圆因此选B归纳总结： 应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一例 7 已知椭圆

13、 x2y21的左右焦点分别为F1 、 F2 ，过 F1 的直线交椭圆于B、D两点，过32F2 的直线交椭圆于 A、C两点，且 ACBD ，垂足为 P.（ 1）设 P 点的坐标为x02y0 2( x0 , y0 ) ，证明：1；32（ 2）求四边形ABCD的面积的最小值分析:因为 ACBD 于点 P，又 F1 、 F2是两个定点，所以，点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上，即 P 点的坐标为(x0, y0 ) 满足 x2y21，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式00x0 2y0 232的取值范围的问题了方法显然不唯一由条件知 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四边形的面积怎

14、样计算呢？由平面几何易知，SABCD1| AC | | BD | 这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然|AC|，2| BD |的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了解：（ 1）方法 1：椭圆的半焦距c321 ，由 AC BD 知点 P 在以线段 F1 F2 为直径的圆上，故 x02y021，所以， x02y02x02y021132222方法 2：由方法 1 知， x02y021，即 y021 x02 ，x02y02x021 x021 x0211 所以2322623（ 2）（）当 BD 的斜率 k 存在且 k0 时， BD 的方程为 yk (x1) ，代入椭圆方程x2y21，并化简

15、得(3k 22)x26k 2 x 3k 26 0 32显然0 设 B( x1，y1 ) ， D( x2， y2 ) ，则 x1x26k2， x1x23k26 .3k223k22BD( x1x2 )2( y1y2 ) 2(1 k 2 ) ( x2x2 ) 24x1 x24 3( k21) ；3k22又由于直线 AC 与 BD 过同一点 P ，且相互垂直，同理可得，431143( k21)ACk212k2332k 2四边形 ABCD 的面积为SSABCS ADC1|AC| |BP|1|AC| |DP|1BDAC22224(k 21)2( k 21)2296 (3k 22)(2k23)(3k 22)

16、(2 k 2253)2当 k21 时，上式取等号（）当 BD 的斜率 k 0 或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积 S 4 综上，四边形 ABCD 的面积的最小值为96 25归纳小结 ：第一问实际上是证明点P在椭圆的内部， 这只需利用不等式进行放缩即得到结论，或者，由点 P 满足的关系，消去变量y0 ，得到关于 x0 的函数，求其取值范围即可；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题， 这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现（五）轨迹问题x, y 之间的关系 F (x, y)0 ； 直接法 ：直接利用条件建立如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线

17、x3 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：y212(x4)(3 x4) 或 y24x(0x 3)）； 待定系数法 ：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M（ m，0） (m0) ，端点 A 、B 到 x 轴距离之积为2m，以x 轴为对称轴，过 A、 O、 B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：y22x ）； 定义法 ：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如 (1) 由动点 P 向圆 x2y201作两条切线 PA、 PB，切点分别为 A、B， APB=60，则动

18、点 P的轨迹方程为（答： x2y24 ）；（ 2）点 M与点 F(4,0)的距离比它到直线l：x50的距离小于1，则点 M的轨迹方程是 _（答： y 216x ）；(3) 一动圆与两圆 M： x2y 21 和 N： x 2y28x12 0 都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）； 代入转移法 ：动点 P( x, y) 依赖于另一动点Q( x0 , y0 ) 的变化而变化，并且 Q(x0 , y0 ) 又在某已知曲线上，则可先用x, y 的代数式表示x0 , y0 ，再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线 y2x21上任一点，定点为A(0,1) , 点

19、M分 PA 所成的比为 2，则 M的轨迹方程为 _ （答： y6 x 2 1 ）；3 参数法 ：当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x, y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（ 1） AB是圆 O的直径，且 |AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN AB，垂足为 N，在 OM上取点 P，使 |OP| MN |，求点 P 的轨迹。（答： x2y2a | y | ）；（ 2）若点 P(x1, y1 ) 在圆 x2y 21上运动，则点 Q( x1 y1 , x1y1 ) 的轨迹方程是 _ （答：y22 x 1(| x

20、 |1) ）；2例 7已知点 P1(x0x2y21（ b 为正常数）上任一点，F2 为双曲线的右, y0 ) 为双曲线2b28b焦点，过 P1 作右准线的垂线，垂足为A ，连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程分析： 求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段 P1P2 的中点，可利用相关点法解： 由已知得 F2 (3b,0), A(8 b, y0 ) ，则直线 F2 A 的方程为： y3y0 ( x3b) 3b令 x0 得 y9 y0 ，即 P2 (0,9 y0 ) xx02设 P（ x，y），则，y0 9 y0y5y02

21、x02x221得： 4x22即y代入 x0y0y1，y08b2b28b225b25即 P 的轨迹 E 的方程为x2y21( xR )2b225b2归纳小结 ：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（六）求参数范围问题例 8（2008，福建）椭圆 x2y21 ( a b 0) 的一个焦点是 F (1,0) ， O 为坐标原a2b2点（ 1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点若直线l 绕点 F 任意转动，恒有222OAOBAB ，求 a 的取值范围分析：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转

22、化为代数等式，解之即得 b 3 ，继而由椭圆参数之间的关系便可求出 a ；对于第（ 2）问，容易知道，当三点A,O , B 不共线时，222OA OB 0x1x2 y1 y20OAOBABcos AOB 0（设 A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ）由此可得关于 a, b 的不等式，再由 b2a21消去 b ，就得到关于 a 的不等式，解之即可解： (1) 设 M , N 为短轴的两个三等分点，因为 MNF 为正三角形，所以 OF3MN，132b ，解得 b 3 223a2b214, 因此，椭圆方程为 x2y21 43(2)设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) (

23、 ) 当直线 AB 与 x 重合时，OA2224a2 (a2222OB2a2 , AB1) ，因此，恒有 OAOBAB ( ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB的方程为 xmy 1(mR) ，代入 x2y21，a2b2整理得 (a2b2m2 ) y22b2 my b2a2 b20 ，所以 y1y22b2 m，y1 y2b2a2b2a2b2m2a2b2 m2因为恒有22AB2AOB 恒为钝角OAOB，所以即 OAOB( x1 , y1) ( x2 , y2 )x1x2y1 y20 恒成立x1 x2y1 y2(my1 1)(my21) y1y2(m2 1) y1 y2m( y1y2

24、) 1(m21)(b2a2 b2 )2b2 m21m2a2b2b2a2b2a2a2b2 m2a2b2m2a2b2 m20又 a2b2 m20 ，所以m2a2b2b2a2b2a20 对 mR 恒成立，即 m2a2b2a2b2a2b2 对 mR 恒成立，当 mR 时， m2a2 b2 最小值为 0，所以 a2b2a2b20 ， a2b2 (a2 1) b4 ，因为 a 0, b0 ， a b2a21，即 a2a1 0 ，解得 a125 或 a125 ( 舍去 ) ，即 a15 ，2综合（ i ）(ii)，a 的取值范围为 (15 ,) 2归纳小结 ：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭

25、圆与不等式交汇问题，是对多个知识点的综合考查本题的亮点在第2 问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的充分必要条件 当三点A,O, B不共线时，222cos AOB 0x1 x2y1 y2 0OAOBAB为了得到 x1 x2y1 y2 ，需要将过点 F 的直线 l 与椭圆的方程联立， 通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到x1 x2y1 y2 用 m 表示解析式，应用不等式性质使问题获得解决如果选择“点斜式”的方法给出直线 l 的方程，则需要按直线 l 与 x 轴是否垂直分类讨论例7 过抛物线 C: yx 2 上两点 M ， N 的直线 l 交 y 轴于点 P

26、 0, b （ 1）若 OM ON0（ O 为坐标原点），求实数 b 的取值范围；（ 2）若 b2 ，曲线 C 在点 M ， N 处的切线的交点为Q 证明：点 Q 必在一条定直线上运动分析： 结合向量知识及抛物线的知识建立关于b 的关系式求 b 的取值范围；（ 2）问结合导数的知识求切线的方程，求交点Q 满足的关系解 ：（ 1 ） 设 点 M ， N 坐 标 分 别 为 ( x1 , x12 ) ， ( x2 , x22 )( x1 x2 ) ， 则 OM ( x1 , x12 ) ， ON ( x2, x22 ) 由题意可设直线 l 方程为 y kx b .y x2k 24b0由，消去 y

27、得， x2kxb 0 ，则 x1x2kykx bx1x2b因为 OM ON0 ，所以 OMONx1 x2 x12 x22bb 20 ，解得 0 b 1 所以实数 b 的取值范围为0,1 （ 2）当 b2 时，由（ 1）知 x1x2k,x1x2b2,因为函数 yx2的导数为 y2x ，抛物线在 M (x1, x12 ) ， N ( x2 , x22 ) 两点处切线的斜率分别为 kM2x1 ， kN2 x2 ，所以抛物线在点M ， N 处的切线方程分别为yx122x1 ( x x1 ) 和y x222x2 (x x2 ) ，y x122x1( x x1 ),x2 ) ，解得交点 Q 的坐标 ( x, y) 满足xx1x2 ,由y x22( x122x2 ( x x2 )yx1 x2 ,xk ,所以点 Q 在定直线 y2 上运动即2y2,归纳小结 ：（ 2）中结论的一般化是： 过点 (0, b) 的直线与抛物线x22 py 相交于 A ， B 两点，抛物线在A，B两点处的切线的交点为Q，则点Q的轨迹是y（去掉在抛物线内部的部分） b例 8给定抛物线 C : y24x ，F 是 C 的焦点， 过 F 的直线 l 与 C 交于 A 、 B 两点，记 O 为坐标原点（）求 OA OB 的值；（）设 AFFB ，当三角形 OAB 的面积 S2,5 时，求的取值范围分析： 结合向量知识