直线圆锥曲线有关向量地问题

1、直线圆锥曲线有关向量的问题咼考考什么知识要点: 1直线与圆锥曲线的公共点的情况直线：ax+by+c=O 2(或A'y2 + B'y+ C' = 0):曲线：f(x,y)=O = AX +Bx+C=0(1)没有公共点方程组无解(2) 一个公共点 i)相交，a=0ii)相切一；A = 0,A.=：0(3)两个公共点r A=0,厶.02连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式:AB =+k2 捲 一x2yi 一 y23以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出

2、现的向量内容(3)给出if -匸,等于已知丄-是:阪的中点；(5)给出以下情形之一： L '，/ ,;存在实数.三二_；若存在实数.八等于已知三点共线.(6)OA-AOB,等于已知j是丄三的定比分点,i为定比，即亠二二(7给出.,等于已知 二一亠T ,即丄亠T是直角,给出:,等于已知丄亠T是钝角，给出乙.頁二、'|,等于已知是 锐角。(9)在平行四边形中，给出II，等于已知二二是菱形；(10)在平行四边形丄二中，给出二三；二-二；，等于已知一二是矩形；(")在士_中，给出，二.J二"，等于已知_是山匕一的外心(三角 形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂

3、直平分线的交点)；(12)在；'中，给出j、二，.T二，等于已知J是山-匕_：的重心(三角形的重 心是三角形三条中线的交点)；(13)在二中，给出_J，：,'，等于已知J是二.的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)；(16)在_二中，给出 爲匚| .厂'I,等于已知丄是中二边的k_i中线；高考怎么考主要题型：1 三点共线问题；2 公共点个数问题；3 弦长问题；4.中点问题；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为(1) 考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。(2) 考查学

4、生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方 程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：厶法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例1.过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A,B两点，点Q与点P 关于y轴对称，0为坐标原点，若BP pPA且0Q AB =1，则点P的轨迹方程是(D )A.3B .33x2 3y2 =1(x 0,y 0)3x2 -3y2 =1(x 0, y 0)2 2C.D3 223 22x 3y =1(x0, y 0)x 3y =1(x0, y 0)2 22x 2例2.已知椭圆Ci: 4 + y = 1，椭圆G以C

5、的长轴为短轴，且与 Ci有相同的离心率.(1)求椭圆G的方程;设0为坐标原点，点A, B分别在椭圆 G和C2上，0B= 20A求直线 AB的方程.解：(1)由已知可设椭圆2 2y x- = 1(a>2),其离心率为 ：，故亠鼻°=1，则a= 4,故椭圆C2的方程为 鲁+ x = 1.2a 2164 解法一：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA) , (xb, yB),由0B= 2(3A(1)知，0 A B三点共线且点 A, B不在y轴上，因此可设直线 AB的方程为 y= kx.2x 2将y = kx代入匚+ y = 1中,4得(1 + 4k2)x2 = 4，所以 xA=41

6、 + 4k2,2 2y x2 2将 y = kx 代入 16+ 4 = 1 中，得(4 + k)x = 16,所以xB=炸，又由 0B= 20A 得 xB= 4xA,164+ k2161 + 4k2,解得k=± 1，故直线AB的方程为y= x或y= x.解法二：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA) , (xb, yB),由0B= 20A(1)知，0 A B三点共线且点 A, B不在y轴上，因此可设直线 AB的方程 为 y= kx.2222将 y = kx 代入+ y = 1 中，得(1 + 4k )x = 4,所以 xA= p,由 0B= 20A216216k得 xb=2, y

7、B=1 + 4k J 1 + 4k2 2 2 将 xB , y2代入 16+ f = 1 中，得 144k2= 1,即 4 + k2= 1 + 4k2 ,解得k=± 1,故直线AB的方程为y= x或y= x. 例4已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，0A OB点C坐标为(0, 2p)(1)求证：A,B,C三点共线;(2)若 AM = BM (R)且OM AB=0试求点M的轨迹方程。2 2(1)证明：设人(为，乞)，B(X2，旦),2p2p由 OA OB = 0 得 X!X2 乞空=0,. XM - -4p2,2p 2p2 2 2又：AC二化-冷空 乞)2p

8、2p22X!2"一眄頭区一小0，AC / AB即A,B,C三点共线。(2)由(1)知直线AB过定点C,又由OM AB=0 及 AM =，BM ( 二 R)知 OIMAB垂足为 M所以点 M的轨迹为以 OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为2 2 2x+(y-p) =p(xO y=0)。2例6设Fi、F2分别是椭圆y2 =1的左、右焦点.4T T(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值；(n)设过定点 M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B,且/ AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线 I的斜率k的取值范围.解：(I)解法一：易知 a=2,

9、b=1,c=._3 ,所以 R -、一3,0 ,F2 3,0，设 P X,y ,则 Pf1 PF2 - - 3 - xy , .3 x, y = x2 y2 - 3 = x2 1 - 仝 一 3 =1 3x2 -844因为x1-2,2 1, 故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时,PF1 PF2有最小值-2当x=_2，即点P为椭圆长轴端点时， PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a =2,b =1,c =、,3，所以 F1 - .3,0 , F23,0，设 P x, y，则PFPF1 Pf2 cos F1PF2 二 PF1 PF2_ 2X .-3 y2-12 =x2y _3 (以下同解法一)(n

10、)显然直线 x二0不满足题设条件,可设直线I :y 二kx-2,A 为小，B Xzi ,一2联立”，消去y，整理得:-1k2- x2 4kx 3 = 04二 XiX2 =4k3,X1 X2 :k2 -k2 -44(2-4 1k 3 =4k -3 0得:I 4丿又 00 :/A0B ：90° 二 cos. A0B 0= OA OB 0 ,rOB = %x2 %y2 03 k2 又 Yiy2=kx12kx22 二k2x1x22kx1x24 二k2 14-k213-k2 1+k2- k21440，即 k2 ： 4 -2 k ：2故由、得 -2 ： k < 或3: k : 22自我提升

11、O为坐标原点，已知OC = ：，0A OB，其中二"尺且-1，则点1、平面直角坐标系中,A ( 3, 1), BC的轨迹方程为(-1 , 3)，若点C满足2 x-y =0 Dx+2y-5=02 2A. 3 x+2y-1 仁0 B . (x-1) +(y-2) =5 C .2、已知i, j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x - 2)i yj , b =(x 2)i yj ,且满足I a |+| b|=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C )A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线5. 2012-许昌一模设R、F2分别是双曲线2y5 = 1的左、右焦点.若点 p在双曲线上，且 pF Pfc=

12、 0，则 | PF+Ph| =()A. 2 .2B. 10 C . 4.2B.5. D 解析根据已知厶PFF2是直角三角形，向量 PF+ Pfc= 2PO根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PF PF2= 0，则| PF+ PF2| = 2| BO = | F；F2| =冯刁0.6.已知A B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线 AB过焦点F, A、B在准线上的射影分别为C、D,则y轴上恒存在一点 K,使得KA KF =0 :CFDF = 0 :存在实数使得 AD二 AO ;若线段AB中点P在在准线上的射影为 T,有FT AB = 0 。中说法正确的为27.已知椭圆

13、y2 =1,过P(1,0)作直线I，使得I与该椭圆交于 A,B两点，I与y2轴的交点为Q且AQ，求直线I的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1),因为AB的中点与PQ的中点重合由2得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以y2 =1xa2y =k(x-1)Xp+Xq=1故4k2 得2，所求的直线方程为2厂1k1y1)。& 2012 瑞安质检设椭圆MX y a2 + 2 =2a1( a> 2)的右焦点为F1,直线I : x = a2-2 与x轴交于点 A,若OF+ 2AF = 0(其中O为坐标原点).(1) 求椭圆M的方程；(2) 设P是椭圆M上

14、的任意一点，EF为圆N：x2+ (y 2)2= 1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点)，求PE- PF的最大值.解：(1)由题设知，A,0 , F1(a 2，0),由 OF+ 2AF = 0,得寸a - 2 = 2X2 22 .解得a2= 6.所以椭圆M的方程为6 +三=1.(2)解法1:设圆N: x2+ (y 2)2= 1的圆心为N,B BB BB BB BB B B q B 2B 2贝 U PE- PF= (NE-NP (NF- NP = ( NF- NP (NF- NP = NP NF= NP 1.2 2xo yo设 P(xo, yo)是椭圆 M上一点，贝U 6 + 2 = 1,所以

15、 NP= x0 + (yo 2) 2=- 2(yo+ 1)2+ 12.因为y° 2,2，所以当yo= 1时，NP取得最大值12.所以PE- PF的最大值为11.|X2= X1 ,解法 2：设点 E(X1, y1), F(X2, y2), P(xo, yo)，所以4y1. 可得PE- PF= (X1 xo)( X2 xo) + (y1 yo)( y2 yo) = (X1 xo)( X1 xo) + (y1 yo)(4 y1 yo)2 2 2222 2 2=xo X1 + yo 屮 + 4y1 4yo= xo+ yo 4yo (X1+ y1 4yJ .因为点 E 在圆 N上，所以 x1+

16、 (y1 2)2 = 1，即卩 x1+ y1 4y1 = 3.2 2Xo yo 又因为点P在椭圆M上，所以6 + 2 = 1, 即 xo= 6 3y2.所以 PE- PF= 2y2 4yo+ 9= 2(yo+ 1)2 + 11.因为 yo 2,2，所以当 yo= 1 时，丽min= 11.2 29.设椭圆C:笃爲=1(a . b o)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF a b 8 '的直线交椭圆C于另外一点P,交X轴正半轴于点Q 且AP PQ5(1) 求椭圆C的离心率；(2) 若过A、Q F三点的圆恰好与直线l :x3y -5 =0相切，求椭圆C的方程.解：设 Q (xo, 0),由 F (-c , 0) *A(0,