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文档简介

1、第四十三讲 偏导数重点：偏导数的求法难点：二元分段函数偏导数的求法一、偏导数的概念一元函数中，我们曾经研究过函数的导数，即函数对自变量的变化率，。对于二元函数同样需要讨论它的变化率。但二元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在二元函数中，如果只有自变量变化，而自变量固定（即），这时就是的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数。 记=，称为函数对的偏增量，有如下定义：定义 设函数在点及其附近有定义。如果当时，比值的极限存在，则称此极限值为函数在点 处对的偏导数，记作 ，或,即 =。同样，称为函数对的偏增量。函数在点处对的偏导数定义为 =记作，或,即 =。

2、如果函数在区域内每一点(,)处对的偏导数都存在，那么这个偏导数也是、的函数，此函数称为函数对自变量的偏导函数，记作，或。类似地，如果函数在区域内每一点(,)处对的偏导数都存在，那么这个偏导数也是、的函数，此函数称为函数对自变量的偏导函数，记作，或。在不致混淆的情况下，偏导函数简称为偏导数。偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。由偏导数的定义可以看出，多元函数对某一变量求偏导数，就是将其余变量看作常数，而对该变量求导数。因此求函数的偏导数不需要建立新的运算方法。例1 求函数在点（1，2）处的偏导数。解 求对的偏导数，把看作常数，于是 = =；求对的偏导数，把看作常数，于是 = =。所以 ， 。例

3、2 求函数的偏导数。解 求对的偏导数，把看作常数，于是=； 求对的偏导数，把看作常数，于是=。例3 求函数的偏导数。例4 设，求证： 。我们已经知道，如果一元函数在某点可导，则它在该点一定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于，但不能保证点按任意方向趋于点时，函数值都趋于。例如，函数 =在点（0，0）对的偏导数为 =0；同理，有 =0。但是我们在上一节中已经知道这函数在点（0，0）处并不连续。我们知道，一元函数导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率，而二元函数在点处的偏导数，实际上就是一

4、元函数及分别在点及处的导数。因此，二元函数的偏导数的几何意义也是相应曲线在该点处切线的斜率。是曲线在点处的切线的斜率；是曲线在点处的切线的斜率。二、高阶偏导数由例1知道，二元函数的两个偏导数 ，都是、的二元函数，并且这两个偏导函数的偏导数，都存在。一般地，二元函数在区域内的两个偏导函数 =，=。仍然是、的函数，如果这两个偏导函数关于、的偏导数也存在，则称它们的偏导数是函数的二阶偏导数。按照对变量求偏导次序的不同，二阶偏导数有四个： = = = =其中、称为二阶混合偏导数。类似地，可以定义三阶、四阶、n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。例5 设，求、及。本例中=，这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。定理9.1 如果函数在区域上两个二阶混合偏导数、

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