福州精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合

1、福州精选备战中考数学易错题专题复习圆的综合一、圆的综合1 .如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过 点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点 Q,连接PQ, M为线段PQ的中 点.(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当。M与x轴相切时，求点 Q的坐标；QM扫过图形的面积.(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段【答案】 见解析；(2) Q的坐标为(3行，9) ；(3)日.8【解析】(1)解：连接AM、BM,. AQXAP, BQ，BP4APQ和ABPa都是直角三角形， M是斜边PQ的

2、中点 ,-.AM = BM = PM=QM= - PQ,2A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MGy轴于G, MCx轴于C,. AM = BM .G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x由BO'QHB,彳导 x2=3XQ 8, x= 3 贬 点Q的坐标为(3 J2 , 9)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2,

3、0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5) .MiM2= 9 -3= - , QiQ2=6-4= 222线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：1x3 + 2) X 4.5 63.【解析】【分析】根据已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接 解答此题.【详解】(1)解：连接 AM、BM,. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= 5 PQ, A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个

4、圆上。(2)解：作 MGy轴于G, MCx轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x由BO'QHB,彳# x2= 3X 8, x= 3.点Q的坐标为(3区9)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 9)则Mi (3, 4.5) 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M

5、2 (4.5, 4.5)9 c 3-,- . M iM 2= 7 3=), QiQ2= 64=2线段QM扫过的图形为梯形 MiM2Q2Qi其面积为：4x4+2）X4当号.【点睛】本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键2.如图，在锐角 4ABC中，AC是最短边.以 AC为直径的。O,交BC于D,过O作OE/ BC,交 OD于 E,连接 AD AE、CE(1)求证：/ACE玄 DCE；(2)若/B=45, / BAE=15,求/EAO的度数;aS CDF 2, ，一(3)若 AC=4,一,求

6、CF的长.S COE 3【答案】（1）证明见解析，（2） 60。； （3） 逑3【解析】(1)易证 /OEG/OCE /OEG/ECD 从而可知 Z OCE=Z ECD,即 / ACE=/DCE;(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/ BC,所以SvCDF1.,=,由圆周角定理可知SvCAE 3/AEO=/AGC=60 ；所以 /EAO=/AEO=60 ;(3)易证2工，由于2 2,所以SvCAE2SvCOE3/AEO/FDO90 ；从而可证明 CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】（1） OC=OE,ZOEC=Z OCE1.O

7、E/ BC, ，/OEG/ECD/ OCE=/ECQ 即 / ACE=/DCE(2)延长AE交BC于点G. / AGC是 ABG 的外角，Z AGC=ZB+Z BAG=60 :1. OE/ BC,/ AEO=Z AGC=60 :. OA=OE,/ EAO=Z AEO=60 :(3) :。是 AC中点，SVCOE SVCAESvCDFSVCOESvCDF1SVCAE3. AC是直径，/AEO/FDO90 :. / AC曰/FCD,ACDFACEA, .|F =立，CF=2 CA= 43 .【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性 质，圆周角定理，相似三

8、角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.3.如图，已知 4ABC中，AB=AC, ZA=30°, AB=16,以AB为直径的。与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DEL AC于点E.(1)求证：DE是。的切线；(2)求CE的长；(3)过点B作BG/ DF交OO于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2) 8-4 J3 (3) 4兀【解析】【分析】(1)如图1,连接AD, OD,由AB为。O的直径，可得 AD± BC,再卞据AB=AC,可得BD=DC,再卞据OA=OB,则可得 OD/ AC,继而可得 DEX OD,问题得证；(2)如图2,连接BF,根

9、据已知可推导得出 DE=1 BF, CE=EF根据/A=30°, AB=16,可 得BF=8,继而得 DE=4,由DE为。的切线，可得 ED2=EF?AE即42=CE? (16- CEO ,继 而可求得CE长；(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG/ DF,可得/ CBG4 CDF=30 ,再根据 AB=AC可 推导得出/ OBG=45 ,由OG=OB,可得/ OGB=45 ,从而可得/ BOG=90 ,根据弧长公式即 可求得？G的长度.【详解】(1)如图1,连接AD, OD;.AB为。的直径，/ ADB=90 ,° 即 ADXBC,.AB=AC,BD=DC,-.OA=O

10、B,.OD/AC,.DEXAC,DEXOD,/ ODE=Z DEA=90 : .DE为。O的切线；(2)如图2,连接BF,.AB为。的直径，/ AFB=90 ,° .BF/ DE,.CD=BD,一 1 一 .DE=-BF, CE=EF2 / A=30 ； AB=16,.BF=8,.DE=4,. DE为。O的切线，ED2=EF?AE -42=CE? (16- CE), .CE=8-4百，CE=8+4/3 (不合题意舍去)；(3)如图3,连接OG,连接AD,1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,°,.AB=AC,/ ABC=Z C=75 ；/ OBG=75 - 30

11、 =45 ；.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ；/ BOG=90 ,BG的长度=908 =4兀.180【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键4.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形 ABCD内接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求证：四边形 ABCD为圆内 接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，。半径为5. 若AD为直径，且sinA=4,求BC的长；5 若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD则四边形ABCD的面积

12、是;(3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.图1留用图等用圉【答案】(1)见解析；(2)BC=6, 受叵或更；(3)见解析44【解析】【分析】(1)先判断出Z ADC=180° - 2Z A.进而判断出/ABC=2/A,即可得出结论；(2) 先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；(3)先得出BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出EBBAEDA,即可得出 结论.【详解】(1)设 / A=a,贝U / DCB=

13、180 - a. Z DCB- Z ADC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 % . ./ABC=180 -ZADC=2 a =2A, 四边形ABCD是。O内接倍角四边形;(2)连接BD. AD 是。的直径，Z ABD=90 :在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A=4, BD=8,根5据勾股定理得： AB=6,设 / A=a, / ADB=90° - a.若/ ADC=60 °时./ BDC=90° -%Z ADB=Z BDC,BC=AB=6;四边形ABCD是圆内接倍角四边形，/ BCD=120或/

14、 BAD=30 ：I、当 /BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD. 1 _一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60/ CDO=60 ，AD 是。O2的直径，(为了说明 AD是直径，点O没有画在AD上) / ADC+Z BCD=180 ；BC/ AD,AB=CD.BC=CD, AB=BC=CD, . .OAB, ABCCF3sAAOB=3X 2= 75yl. BOC, ACOD是全等的等边三角形，S四边形n、当/ BAD=30时，如图4,连接OA, OB, OC, OD.四边形 ABCD是圆内接四边形， ，/BCD=180

15、- Z BAD=150 :BC=CD,/ BOC=Z COD,/ BCO=Z DCO=- / BCD=75 ；/ BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：连接 AC, / DAC=1 / BAD=15 ：2 / ADO=Z OAB- / BAD=15 : ：. D DAC=Z ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd.过点C作CHI± OB于H.在 RtZxOCH中，CH=a OC= , S四边形 abcd=Szcod+Sboc+SaobSaaod=Sboc+Saob= X 5+- X 5X 5=. 2 224故答案为：坛3或75；441 ,

16、 四边形 ABCD是。的内接四边形，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEZ A, .1. Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c./ 八 /""CE BC d c b ,2 . /BCE=/A, /E=/ E, .-.AEBCAEDA,. ,/. -,，d2-AE AD a b d本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性 质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.5.如图，在VABC中， ACB 90°，BAC的平分线AD交BC于点D,过点D

17、作DE AD交AB于点E,以AE为直径作e O .1求证：BC是e O的切线；2 若 AC 3, BC 4,求 tan EDB 的值.【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明 OD/ /AC ,再利用AC BC得至|J OD BC ,的判定定理得到结论;2先利用勾股定理计算出 AB 5,设e O的半径为r,则OA OD r,再证明VBDO sVBCA ,利用相似比得到r： 3 5r然后根据切线OB 5 r,接着利用勾.一 155,解得r 853股定理计算BD 则CD -,利用正切定理得tan1 EDB ,从而得到tan EDB的值.1证明：连接OD,如图,Q AD 平分 BAC , 12,QO

18、A OD ,23,13,OD /AC , Q AC BC, OD BC , BC是e O的切线；2 解：在 RtVACB 中，ab J3242 5， 设e O的半径为r,则OA OD r , OB 5 r ,QOD /AC ,VBDO sVBCA,OD ： AC BO ： BA,15即 r： 35 r ： 5,解得 r 15 ,8OD15OB258在 RtVODB 中，BDOB2 OD2【详解】83在 RtVACD 中，x , CD ， 1 , tan 1 AC 3 2Q AE为直径，ADE 900,EDB ADC 900,Q 1 ADC 900,1 EDB ,1tan EDB . 2【点睛】

19、本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.6.如图，OM与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（3, - 1）,点A的坐 标为（-2, J3）,点B的坐标为（-3, 0）,点C在x轴上，且点 D在点A的左侧.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若。M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当。M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接 BD,求

20、: t的值；ZMBD的度数;BD所在的直线的距离为 1时，求t的值.【答案】(1)8; ( 2)7 ;105° ; ( 3)t=6 -通或6+工 3【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2,（2）如图2,先根据坐标求 EF的长，由 的值；所以可得周长为 8;EE-FE=EF=7,列式得：3t -2t=7,可得 t 先求/EBA=60：则/FBA=120：再得ZMBF=45 °,相加可得: / MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;BD(3)分两种情况讨论：作出距离MN和ME,第一种情况：如图 5由距离为1可知:为。M的切线，由BC是。M的切

21、线，得/MBE=30。，列式为3t+J3=2t+6,解出即可；第二种情况：如图 6,同理可得t的值.详解：(1)如图1 ,过A作AE± BC于E.点 A 的坐标为(-2, J3),点 B 的坐标为(-3, 0) , ，AE=J3, BE=3-2=1,-AB= Jae2 be2 = &V3)2 12 =2四边形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周长=2 X 4=8(2) 如图2, OM与x轴的切点为F, BC的中点为E. M (3, - 1) , F (3, 0). BC=2,且 E为 BC的中点，E ( - 4, 0) , . EF=7,即

22、EEFE=EF, ，3t2t=7, t=7;由(1)可知：BE=1 , AE=73,AE 、3tanZ EBA=J3 , . . / EBA=60 ,如图 4, . / FBA=120 .BE 11 ,1 ,四边形 ABCD是菱形，/ FBD=- / FBA=- 120 =60 .2 2BC是 O M 的切线，MF ± BC. F是BC的中点，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ;(3)连接BM,过M作MN± BD,垂足为N,作MEXBCT E,分两种情况： 第一种情况：如图5.四

23、边形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/CBD=60°,，/NBE=60°. 点M与BD所在的直线白距离为 1,，MN=1,，BD为。M的切线. BC是 O M 的切线，/ MBE=30 °.ME=1, EB= 73 ,3t+73 =2t+6, t=6一出；第二种情况：如图 6.四边形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/DBC=60：/ NBE=120 点M与BD所在的直线白距离为1,MN=1,BD为。M的切线.BC是 O M 的切线，/ MBE=60 °. ME=MN=1, .RtBEM 中，tan60

24、=ME , EB=-1-=,BE tan60 3.-3t=2t+6+ , t=6+;3综上所述：当点 M与BD所在的直线的距离为 1时，t=6 - J3或6+ .3点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动 方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间 t的值.7.阅读下列材料：如图1, OOi和。O2外切于点C, AB是。Oi和。O2外公切线，A、B为切点，求证：ACL BC证明：过点C作。Oi和。O2的内公切线交AB于D,.DA、DC是。Oi的切线DA=D

25、C.Z DAC=Z DCA.同理 / DCB=Z DBC.又 / DAC+/ DCA+Z DCB+Z DBC=180 , / DCA+Z DCB=90 ,°即 AC± BC.根据上述材料，解答下列问题：(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；(2)以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图 2),已知A、B两点的坐标为(-4, 0) , (1,0),求经过 A、B、C三点的抛物线 y=ax2+bx+c的函数解析式；。1。2（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心 上，并说明理由.1

26、23【答案】（1）见解析；（2） y x x 2 ； （3）见解析 22【解析】试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°,可知用了三角形内角和定理；（2）先根据勾股定理求出 C点坐标，再用待定系数法即可求出经过A B、C三点的抛物线的函数解析式；（3）过C作两圆的公切线，交 AB于点D,由切线长定理可求出 D点坐标，根据C,D 两点的坐标可求出过 C,D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的 关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适 合即可.试题解析：（1）DA、DC是eO1的切线，. DA=D

27、C应用的是切线长定理；DAC DCA DCB DBC 180°,应用的是三角形内角和定理.（2）设 C点坐标为（0,y）,则 AB2 AC2 BC2,即 | 4 1 24 2 y2 12 y；即25 17 2y2,解得y=2（舍去）或y=-2.故C点坐标为（0,-2）,1 a2b 32c 2,设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y ax2 bx c,16a 4b c 0则a b c 0 解得 c 2,1 o 3故所求二次函数的解析式为y -x2 -x 2.2 23过C作两圆的公切线 CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A（-4,0）, B（1,0）可知D（ 一，0）,2设过C

28、D两点的直线为y=kx+b,则34-k b 0 k2解得 3b 2,b2,故此一次函数的解析式为y 4X 2,34过Q,O2的直线必过C点且与直线y -x 2垂直， 33 故过。,。2的直线的解析式为y -x 2,4325由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(-,£5),2833代入直线解析式得24225,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心QO2 上.8.对于平面直角坐标系 xOy中的线段MN和点P,给出如下定义：点 A是线段MN上一个 动点，过点A作线段MN的垂线I,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点 P为旋转中 心，将垂线I沿逆时针方向旋转 60。后与线段MN有公

29、共点，我们就称点 P是线段MN的关联点如图，M (1, 2) , N (4, 2).(1)在点Pi (1, 3) , P2 (4, 0) , P3 (3, 2)中，线段MN的关联点”有(2)如果点P在直线y x 1上，且点P是线段MN的关联点”，求点P的横坐标x的取 值范围；(3)如果点P在以O (1, 1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联 点”，直接写出OO半彳仝r的取值范围.留用困【答案】(1) Pi和P3； (2) 1WxW国3；(3) 还wrW3愿. 22【解析】【分析】(1)先根据题意求出点 P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；(2)由直线

30、y=x+1经过点M (1, 2),得出x>,设直线y=x+1与P4N交于点A,过点A 作ABMN于B,延长 AB交x轴于C,则在 4AMN中，MN=3, / AMN=45 ,ZANM=30 °,设 AB=MB=a, tan Z ANM= -AB-,即 tan30 = a,求出 a 即可得出结果；BN3 a(3)圆心。到P4的距离为r的最大值，圆心 。到MP5的距离为r的最小值，分别求出两 个距离即可得出结果.【详解】(1)如图1所示：I Q 1X34/ 图1 点A是线段MN上一个动点，过点 A作线段MN的垂线I,点P是垂线l上的另外一个动 点，M (1, 2) , N (4,

31、2),，点P的横坐标1W x/4 以点P为旋转中心，将垂线I沿逆时针方向旋转 60后与线段MN有公共点，,，一、一 MN 3-当/MPN=60 时，PM=7 =百tan60 、3'同理 P' N=/3 ,.点P的纵坐标为2- J3或2+ £ ,即纵坐标2-而WyW2+3, 线段MN的关联点”有P1和P3；故答案为：P1和P3 ；(2)线段MN的 关联点午的位置如图所示，直线y x 1经过点M (1, 2), x> 1.设直线y X 1与P4N交于点a .过点A作AB，MN于B,延长 AB交x轴于 C.由题意易知，在 AMN 中，MN = 3, / AMN = 4

32、5； / ANM = 30.° 设 AB = MB = a, AB - a.tan ANM ,即 tan30 ,解得a 33 3 .2点A的横坐标为x a 1 3依 3 1 式3_.22.3.3 1 x .2(3)点P在以O (1, -1)为圆心，r为半径的OO±,且点P是线段MN的关联点”，如 图3所示：r0图3连接P4O交x轴于点D, P4、M、D、O共线，则圆心。到P4的距离为r的最大值，由(1)知：MP4=NP5 = J3,即 OD+DM+MP4=1+2+73=3+73,圆心。到MP5的距离为r的最小值，作 OEL MP5于E,连接OP5,则OE为r的最小值，MP5

33、= JMN2二m2 (司)2=2点,OM=OD+DM=1+2=3, OMP5 的面积=-OE?MP5=-OM?MN，即工 X OEX331 X 3内32222解得：OE=3_3 ,2.弄一爬.2【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握关联点”的含义，作出关于 MN的 关联点”图是关键.9.如图，AB是。的直径，弦 BC= OB,点D是Ac上一动点，点 E是CD中点，连接 BD分别交OC, OE于点F, G.求/ DGE的度数；(2)什CF 1- BF右=，求的值;OF 2 GF(3)记CFB, ADGO的面积分别为 S,S2,若。求SOFS2的值.

34、(用含k的式子表示)【答案】(1)/DGE= 60° (2)工；(3)2S1S2k2 kk 1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得/DGE的度(2)过点F作FHI±AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 BF的BF .长度，再证得 4568 4FCB进而求得 工 的值；GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表，S1 ,不出的值.S2解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；，1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,点E为

35、CD中点,OEXCD),/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)过点F作FHAB于点H 设 CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 ° OH= 1OF=1,2 .HF=OH=百，HB= OB- OH=2, 在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 百， 由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .,.FGOAFCB,.OF GFBF CF '2GF=yy，BF 7, -一GF 2过点F

36、作FHAB于点H,设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1, / COB= 60 ;-11 OH = OF=一,22 .HF= ，30H3 , HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= VHb"_HF7 Jk2 k 1， 由(2)得：AFGOAFCB.GO OF_GO 1一，即 2/ 2)CB BF k 1 k k 1.GOk2 k 1【点睛】过点C作CP，BD于点P / CDB= 30 °一1 PC= CD, 2 点E是CD中点，一 1 一 "DE= - CD2PC= DE, .DEXOE,_SL _ BFS2 - GO圆的综合题，

37、解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.10.如图，AB是。的直径，D> D为。上两点，C。AB于点F, CE!AD交AD的延长 线于点E,且CE=CF.(1)求证：CE是。的切线；(2)连接CD CB,若AD=CD=a求四边形 ABCD面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)连接OC, AC,可先证明 AC平分/BAE结合圆的性质可证明 OC/ AE,可得Z OCB= 90°,可证得结论；(2)可先证得四边形 AOCD为平行四边形，再证明 OCB为等边三角形，可求得 CRAB,利用梯形的面积公式可求

38、得答案.【详解】(1)证明：连接OC, AC.-. CF±AB, CE!AD,且 CE= CF./ CAE= / CAB.1 .OC= OA,/ CAB= / OCA./ CAE= / OCA.2 .OC/ AE.3 / OC斗 Z AEC= 180 ；4 / AEC= 90 ；/ OCE= 90 即 OCX CE,5 .OC是。O的半径，点C为半径外端，6 .CE是。O的切线.(2)解：AD=CD,/ DAC= / DCA= / CAB,7 .DC/AB,8 / CAE= / OCA,9 .OC/ AD,四边形AOCD是平行四边形，.OC= AD= a, AB= 2a,10 / C

39、AE= / CAB,-.CD=CB= a,.CB= OC= OB,11 .OCB是等边三角形，在 RtA CFB 中，CF= JO 一屏=三,12 .S 四边形 ABCD-2 (DC+ AB) ?CF=-£【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.11.已知P是e O的直径ba延长线上的一个动点，/P的另一边交e O于点C、D,两点1位于AB的上万，AB=6, OP=m, sin P=-,如图所示.另一个半径为6的e Oi经过点C、D,圆心距 OOi= n .(1

40、)当m=6时，求线段 CD的长；(2)设圆心01在直线AB上方，试用n的代数式表示 m；(3) POQ在点P的运动过程中，是否能成为以001为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由.【答案】(1)CD=2，5;(2)m=3n81 ;(3) n 的值为J5 或 95A52n55【解析】 分析：(1)过点。作0H，CD ,垂足为点H ,连接0C 解RtA POH ,得到0H的 长.由勾月定理得 CH的长，再由垂径定理即可得到结论；(2)解RtA POH ,得到OH = m.在RtVOCH和RtA QCH中，由勾股定理即可得到3结论;(3) POOi成为等腰三角形可分以下几种

41、情况讨论： 当圆心Oi、O在弦CD异侧O在弦CD同侧时，同理可得结论.时，分OP= OO1和01P= OO1 ,当圆心O1、详解：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC ._, _1.2.在 Rt POH 中，QsinP= , PO 6, . . OH3. AB =6, . OC=3.由勾股定理得：CH 5OH - CD 2CH 2石i(2)在 RtA POH 中，QsinP=, 3在 RtA OCH中，CH 2= 9在 RtA O1CH中，CH 2= 36mOH = 3可得：362m -n =93m二3n2 8i2n2（3） POOi成为等腰三角形可分以下几种情况:当圆心Oi、O

42、在弦CD异侧时i） OP= OOi，即 m= n ,由 n=3n一笆，解得：2ne Oi外切不合题意舍去.即圆心距等于e O、e Oi的半径的和，就有e O、ii)OiP= OOi,由 (n2 / m、2 m (一)3解得：m= 2-n ,即2n 33_3n22n81,解得：当圆心Oi、O在弦CD同侧时，同理可得:8i 3n2 m=2n2POOi是钝角，二只能是m n,即n=,解得：2nn=衿【答案】（i）证明见解析9 9 综上所述：n的值为一J5或一 JT5.点睛：本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解 答（3）的关键是要分类讨论.i2.如图，在RtA AB

43、C中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上，OO经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.（i）求证：BC是。的切线；E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留兀和根号）【解析】【分析】(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD.口 . OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； OD±BC, . . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De

44、 ,OE± AD. ./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等边三角形，ZAOE=60°,.SmS 扇形 oae- Sa aoe 60 22 J3 .36043【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型.13.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90, AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,

45、连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90°连接AF,过A, E, F三点作圆，如图 2.若EC=4, ZCEF=15°,求i建的长.图1图2【答案】(1) BE="FH"理由见解析(2)证明见解析二2兀【解析】试题分析：（1）由ABEEHF （SAS即可得到 BE=FH（2）由（1）可知AB=EH,而BC=AB, FH=EB从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45°,而/ ACB也为45°,从而可证明（3）由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接EO,过点E作ENL

46、 AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下：四边形ABCD是正方形/ B=90 ；1 . FHXBC / FHE=90 °又,：L AEF=90/ AEB+/ HEF="90"且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF2 .ABEAEHF (SAS.BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH BE=FH 又BE+EC=EC+CH. BE="CH".CH=FH/ FCH=45

47、 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形对角线，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EFAEF是等腰直角三角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90。过E作EN± AC于点NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=0RtA ENA 中，EN =氏又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧对等角）/ EAC=30 °AE=-L/RtA AFE 中，AE=40 = EF,，AF=8AE所在的

48、圆O半径为4,其所对的圆心角为 Z AOE=90°定=2 兀- 490 - 36。° =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数14.如图，四边形 ABCD是。的内接四边形，AC为直径，？D AD，DE± BC,垂足为E.(1)判断直线ED与。O的位置关系，并说明理由;(2)若CE=1, AC=4,求阴影部分的面积.2-【答案】(1) ED与e O相切理由见解析；(2) S阴影二一73.3(1)连结OD,如图，根据圆周角定理，由？D AD得到/ BAD= / ACD,再根据圆内接四边形的性质得 / DCE=Z BAD,所以/ ACD=/DCE；利用内错角相等证明 OD/ BC,而 DE± BC,则OD, DE,于是根据切线的判定定理可得DE为。的切线；(2)作OH± BC于H,易得四边形 ODEH为矩形，所以 OD=EH=2,则CH=HE- CE=1,于 有/HOC=30。，得到/COD=60。，然后根据扇形面积公式、等边